必修四三角函数全

1、咨询电话：7106999区地址：吉安宾馆前行 30 米二楼1三角函数三角函数知识导航知识导航一、基础知识一、基础知识定义定义 1 角，一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。角的大小是任意的。定义定义 2 角度制，把一周角 360 等分，每一等价为一度，弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。360 度=2 弧度。若圆心角的弧长为 L，则其弧度数的绝对值|=,其中 r 是圆的半径。rL定义定义 3 三角函数，在直角坐标平面内，把角 的顶点放在原点，始边与 x 轴的正半

2、轴重合，在角的终边上任意取一个不同于原点的点 P，设它的坐标为（x,y） ，到原点的距离为 r,则正弦函数 sin=,余弦函数 cos=,正切函数 tan=，余切函数 cot=，ryrxxyyx定理定理 1 同角三角函数的基本关系式，倒数关系：tan=,商数关系：tan=；cot1sincoscot,cossin乘积关系：tancos=sin,cotsin=cos；平方关系：sin2+cos2=1, tan2+1=sec2, cot2+1=csc2.定理定理 2 诱导公式（）sin(+)=-sin, cos(+)=-cos, tan(+)=tan;（）sin(-)=-sin, cos(-)=c

3、os, tan(-)=-tan; （）sin(-)=sin, cos(-)=-cos, tan=(-)=-tan; （）sin=cos, cos=sin（奇变偶不变，符号看象限） 。22定理定理 3 正弦函数的性质，根据图象可得 y=sinx（xR）的性质如下。单调区间：在区间上为增函数，在区间上为减函数，最小正周22 ,22kk232 ,22kk期为 2. 奇偶性：奇函数. 有界性：当且仅当 x=2k+时，y 取最大值 1，当且仅当2x=2k-时, y 取最小值-1。对称性：直线 x=k+均为其对称轴，点（k, 0）均为其22对称中心，值域为-1，1。这里 kZ.定理定理 4 余弦函数的性质

4、，根据图象可得 y=cosx(xR)的性质。单调区间：在区间2k, 2k+上单调递减，在区间2k-, 2k上单调递增。最小正周期为 2。奇偶性：偶函数。对称性：直线 x=k 均为其对称轴，点均为其对称中心。有界性：当且仅当0 ,2kx=2k 时，y 取最大值 1；当且仅当 x=2k- 时，y 取最小值-1。值域为-1，1。这里 kZ.定理定理 5 正切函数的性质：由图象知奇函数 y=tanx(xk+)在开区间(k-, k+)上为222增函数, 最小正周期为 ，值域为（-，+） ，点（k，0） ， （k+，0）均为其对称中2心。咨询电话：7106999区地址：吉安宾馆前

5、行 30 米二楼2 sinyxcosyxtanyx图象定义域RR,2x xkk值域1,11,1R最值当时，22xkk；当 max1y22xk时，kmin1y 当时， 2xkk；当max1y2xk时，kmin1y 既无最大值也无最小值周期性22奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在2,222kk上是增函数；在k32,222kk上是减函数k在上是2,2kkk增函数；在2,2kk上是减函数k在,22kk上是增函数k对称性对称中心,0kk对称轴2xkk对称中心,02kk对称轴xkk对称中心,02kk无对称轴定理定理 6 两角和与差的基本关系式：cos()=coscossinsin,sin()=sincosc

6、ossin; tan()=.)tantan1 ()tan(tan定理定理 7 和差化积与积化和差公式:sin+sin=2sincos,22函数性质咨询电话：7106999区地址：吉安宾馆前行 30 米二楼3sin-sin=2sincos,22cos+cos=2coscos,22 cos-cos=-2sinsin,22sincos=sin(+)+sin(-),21cossin=sin(+)-sin(-),21coscos=cos(+)+cos(-),21sinsin=-cos(+)-cos(-).21定理定理 8 倍角公式:sin2=2sincos, cos2=cos2

7、-sin2=2cos2-1=1-2sin2, tan2=.)tan1 (tan22定理定理 9 半角公式:sin=,cos=,22)cos1 (22)cos1 (tan=2)cos1 ()cos1 (.sin)cos1 ()cos1 (sin定理定理 10 万能公式: , ,2tan12tan2sin22tan12tan1cos22.2tan12tan2tan2定理定理 11 辅助角公式：如果 a, b 是实数且 a2+b20，则取始边在 x 轴正半轴，终边经过点(a, b)的一个角为 ，则 sin=,cos=，对任意的角 .22bab22baaasin+bcos=sin(+).)(22ba

8、定理定理 12 正弦定理：在任意ABC 中有，其中 a, b, c 分别是RCcBbAa2sinsinsin角 A，B，C 的对边，R 为ABC 外接圆半径。定理定理 13 余弦定理：在任意ABC 中有 a2=b2+c2-2bcosA，其中 a,b,c 分别是角 A，B，C 的对边。定理定理 14 图象之间的关系：y=sinx 的图象经上下平移得 y=sinx+k 的图象；经左右平移得咨询电话：7106999区地址：吉安宾馆前行 30 米二楼4y=sin(x+)的图象（相位变换） ；纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到 y=sin(1x)的图象（周期变换） ；横坐标不变

9、，纵坐标变为原来的 A 倍，得到 y=Asinx 的图象0（振幅变换） ；y=Asin(x+)(0)的图象（周期变换） ；横坐标不变，纵坐标变为原来的A 倍，得到 y=Asinx 的图象（振幅变换） ；y=Asin(x+)(, 0)(|A|叫作振幅)的图象向右平移个单位得到 y=Asinx 的图象。定义 4 函数 y=sinx的反函数叫反正弦函数，记作 y=arcsinx(x-1, 1)，函2,2x数 y=cosx(x0, ) 的反函数叫反余弦函数，记作 y=arccosx(x-1, 1). 函数 y=tanx的反函数叫反正切函数。记作 y=arctanx(x-, +). y=cosx(x0,

10、 )的2,2x反函数称为反余切函数，记作 y=arccotx(x-, +).定理 15 三角方程的解集，如果 a(-1,1)，方程 sinx=a 的解集是x|x=n+(-1)narcsina, nZ。方程 cosx=a 的解集是x|x=2kxarccosa, kZ. 如果 aR，方程 tanx=a 的解集是x|x=k+arctana, kZ。恒等式：arcsina+arccosa=；arctana+arccota=.22定理 16 若，则 sinxxtanx.2, 0 x二、经典解题方法与考点题型二、经典解题方法与考点题型1结合图象解题。结合图象解题。例 1 求方程 sinx=lgx 的解的个

11、数。过手练习（浙江卷 7）在同一平面直角坐标系中，函数)20)(232cos(，xxy的图象和直线21y的交点个数是 ( ) （A）0 （B）1 （C C）2 （D）42最小正周期的确定。最小正周期的确定。例 2 求函数 y=sin(2cos|x|)的最小正周期。【解】 首先，T=2 是函数的周期（事实上，因为 cos(-x)=cosx，所以 cos|x|=cosx） ；其次，当且仅当 x=k+时，y=0（因为|2cosx|20).由 y=sinx 的图象向左平移个单位，然后保持横坐标不变，纵坐标变为原来的 A 倍，然后再保持纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到 y=Asin(x+)的图象；也可

12、以由 y=sinx1的图象先保持横坐标不变，纵坐标变为原来的 A 倍，再保持纵坐标不变，横坐标变为原来的，最后向左平移个单位，得到 y=Asin(x+)的图象。1 例 5 已知 f(x)=sin(x+)(0, 0)是 R 上的偶函数，其图象关于点对称，且在区间上是单调函数，求和的值。0 ,43M2, 0【解】 由 f(x)是偶函数，所以 f(-x)=f(x)，所以 sin(x +)=sin(-x+)，所以cossinx=0，对任意 xR 成立。又 0，解得=，2因为 f(x)图象关于对称，所以=0。0 ,43M)43()43(xfxf取 x=0，得=0，所以 sin)43(f. 0243所以(

13、kZ)，即=(2k+1) (kZ).243 k32又0，取 k=0 时，此时 f(x)=sin(x+)在0，上是减函数；3222取 k=1 时，=2，此时 f(x)=sin(2x+)在0，上是减函数；22取 k=2 时，此时 f(x)=sin(x+)在0，上不是单调函数，31022综上，=或 2。32过手练习1.(09 山东)将函数的图象向左平移个单位, 再向上平移 1 个单位,所得图象sin2yx4的函数解析式是 2.（1） （0707 山东）山东）要得到函数的图象，只需将函数的图象向 sinyxcosyx平移 个单位（2） （全国一 8）为得到函数的图像，只需将函数的图像cos 23yxs

14、in2yx向 平移 个单位咨询电话：7106999区地址：吉安宾馆前行 30 米二楼8（3）为了得到函数的图象，可以将函数的图象向 平移)62sin(xyxy2cos 个单位长度3.将函数 y = cos xsin x 的图象向左平移 m（m 0）个单位，所得到的图象关于 y 轴3对称，则 m 的最小正值是 （ ） A. B. C. D. 6323564.（湖北）将函数的图象F按向量平移得到图象,若的一条对3sin()yx(,3)3FF称轴是直线,则的一个可能取值是 4x( ) A. B. C. D. 125125121111126三角公式的应用。三角公式的应用。例

15、6 已知 sin(-)=，sin(+)=- ，且 -，+，求135135,22 ,23sin2,cos2 的值。【解】 因为 -，所以 cos(-)=-,2.1312)(sin12又因为 +，所以 cos(+)=2 ,23.1312)(sin12所以 sin2=sin(+)+(-)=sin(+)cos(-)+cos(+)sin(-)=,169120cos2=cos(+)-(-)=cos(+)cos(-)+sin(+)sin(-)=-1.例 7 求证：tan20 +4cos70 .【解】 tan20 +4cos70 =+4sin2020cos20sin20cos40sin220sin20cos2

16、0cos20sin420sin20cos40sin10cos30sin220cos40sin40sin20sin. 320cos20cos60sin220cos40sin80sin过手练习1、 （1）(07(07 全国全国) 是第四象限角，则12cos13sin（2） （09 北京文）若，则 .4sin,tan05 cos咨询电话：7106999区地址：吉安宾馆前行 30 米二楼9（3） （09 全国卷文）已知ABC中，则 .12cot5A cos A (4) 是第三象限角，则= = 21)sin(cos)25cos(2 2、(1)(1) (07(07 陕西陕西) )

17、 已知则= .5sin,544sincos(2)（04 全国文）设，若，则= . (0,)23sin52cos()4（3） （06 福建）已知则= 3(, ),sin,25tan()43. (1)(07(1)(07 福建福建) ) = sin15 cos75cos15 sin105 (2)（06 陕西）= 。cos43 cos77sin43 cos167oooo（3） 。sin163 sin223sin253 sin3134已知，则的值为 （ ）53)2cos(22cossinA B C D25725162592575已知 sin=，（，0） ，则 cos（）的值为 （ ）131224 ABC

18、D2627262726217262176.若，则的取值范围是： ( )02 ,sin3cos（） （） （） （）,3 2 ,34,333,327.若则= （ ,5sin2cosaaatan） （A） （B）2 （C） （D）212127.7.函数单调性练习函数单调性练习1.（04 天津）函数为增函数的区间是 （ ), 0()26sin(2xxy）. A. B. C. D. 3, 0127,1265,3,652.函数的一个单调增区间是 （ ）sinyx ABCD ，3，32，咨询电话：7106999区地址：吉安宾馆前行 30 米二楼103.函数的单调递增区间是 ( )

19、sin3cos (,0)f xxx x （ ）A B C D5,65,66,03,064 （0707 天津卷）天津卷） 设函数，则 （ ( )sin()3f xxxR( )f x）A在区间上是增函数B在区间上是减函数2736，2 ，C在区间上是增函数D在区间上是减函数3 4 ，536，5.函数的一个单调增区间是 ( )22cosyxA B C D(,)4 4 (0,)23(,)44(, )26若函数 f(x)同时具有以下两个性质：f(x)是偶函数，对任意实数 x，都有 f()= f(x4)，则 f(x)的解析式可以是 x4（ ）Af(x)=cosxBf(x)=cos(2x)Cf(x)=sin(

20、4x)Df(x) =cos6x228.8. 函数对称性练习函数对称性练习1.（08 安徽）函数图像的对称轴方程可能是 （ sin(2)3yx）ABCD6x 12x 6x12x2 （07 福建）函数的图象 （sin 23yx） 关于点对称关于直线对称03，4x 关于点对称关于直线对称04，3x 3（09 全国）如果函数的图像关于点中心对称，那么的最小3cos(2)yx4(,0)3咨询电话：7106999区地址：吉安宾馆前行 30 米二楼11值为 （ ） (A) (B) (C) (D) 64329函数函数图象练习图象练习4 （2006 年四川卷）下列函数中，图象的一部分如

21、右图所示的是 （ ） （A） （B） sin6yxsin 26yx（C） （D）cos 43yxcos 26yx5.（2009 江苏卷）函数（为常数，sin()yAx, ,A ）在闭区间上的图象如图所示，则= . 0,0A,07(2010天津)下图是函数 yAsin(x)(xR)在区间上的图6，56象，为了得到这个函数的图象，只要将 ysinx(xR)的图象上所有的点 ()A向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变312B向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变3C向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变

22、612D向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变68(2010全国)为了得到函数 ysin的图象，只需把函数 ysin的图象 (2x3)(2x6)()A向左平移 个长度单位 B向右平移 个长度单位44咨询电话：7106999区地址：吉安宾馆前行 30 米二楼12C向左平移 个长度单位 D向右平移 个长度单位229(2010重庆)已知函数 ysin(x)的部分图象如图所示，则 ( 0，| 2)()A1， B1，66C2， D2，6610.10.解三角形练习解三角形练习1.(2009 年广东卷文)已知中，的对边分别为若ABCCBA, ,a

23、 b c且，则 62ac75Aob 2.（2009 湖南卷文）在锐角ABC中，1,2 ,BCBA则cosACA的值等于 ，AC的取值范围为 . 3.（09 福建） 已知锐角的面积为，则角的大小为 ABC3 34,3BCCAC5已知ABC 中，则的值为 7:5:4sin:sin:sinCBACcos7.在中， ABC5cos13B 4cos5C （）求的值；sin A（）设的面积，求的长ABC332ABCSBC11.综合练习综合练习1. （04 年天津）定义在 R 上的函数既是偶函数又是周期函数，若的最小正周)(xf)(xf期是，且当时，则的值为 2, 0 xxxfsin)()35(f咨询电话：

24、7106999区地址：吉安宾馆前行 30 米二楼132(04 年广东)函数 f(x)是 22sinsin44fxxx（ ）A周期为的偶函数 B周期为的奇函数 C 周期为 2的偶函数 D.周期为 2的奇函数 3 （ 09 四川）已知函数，下面结论错误的是 )(2sin()(Rxxxf( ) A. 函数的最小正周期为 2 B. 函数在区间0，上是增函数)(xf)(xf2 C.函数的图象关于直线0 对称 D. 函数是奇函数)(xfx)(xf4(07 安徽卷) 函数的图象为C, 如下结论中正确的是 )32sin(3)(xxf图象C关于直线对称; 图象 C 关于点对称;1211

25、x)0 ,32(函数)内是增函数;125,12()(在区间xf由的图象向右平移个单位长度可以得到图象 C.xy2sin335.（08 广东卷）已知函数，则是 2( )(1 cos2 )sin,f xxx xR( )f x（ ）A、最小正周期为的奇函数 B、最小正周期为的奇函数2C、最小正周期为的偶函数 D、最小正周期为的偶函数26.在同一平面直角坐标系中，函数的图象和直线的交)20)(232cos(，xxy21y点个数是（A）0 （B）1 （C）2 （D）47若 是第三象限角，且 cos0，则是 22（ ）A第一象限角 B第二象限角 C第三象限角 D第四象限角8已知函数对任意都有，则等于 (

26、)2sin()f xxx()()66fxfx()6f（ ）A、2 或 0 B、或 2 C、0 D、或 022咨询电话：7106999区地址：吉安宾馆前行 30 米二楼1412.12.解答题练习解答题练习1 （05 福建文）已知.51cossin, 02xxx （）求的值；xxcossin （）求的值.xxxtan1sin22sin22（06 福建文）已知函数22( )sin3sin cos2cos,.f xxxxx xR（I）求函数的最小正周期和单调增区间；( )f x（II）函数的图象可以由函数的图象经过怎样的变换得到？( )f xsin2 ()yx xR3 （20

27、06 年辽宁卷）已知函数，.求:22( )sin2sin cos3cosf xxxxxxR(I) 函数的最大值及取得最大值的自变量的集合；( )f xx(II) 函数的单调增区间.( )f x4.（07 福建文）在中，ABC1tan4A 3tan5B （）求角的大小；C咨询电话：7106999区地址：吉安宾馆前行 30 米二楼15（）若边的长为，求边的长AB17BC5. （08 福建文）已知向量,且(sin,cos),(1, 2)mAA n0.m n ()求 tanA 的值；()求函数R)的值域.( )cos2tansin (f xxAx x6.（2009 福建卷文）已知函数其中，( )sin(),f xx0|2 （I）若求的值； coscos,sinsin0,44 （）在（I）的条件下，若函数的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于，( )f x3求函数的解析式；并求最小正实数，使得函数的图像象左平移个单位所( )f xm( )f xm对应的函数是偶函数。7.已知函数（）的最小正周期为2( )sin3sinsin2f xxxx0（）求的值；（）求函数在区间上的取值范围( )f x203，咨询电话：7106999区地址：吉安宾馆前行 30 米二楼168.知函数（）的最小值正周期是22s(incoss