中考数学专题复习--圆压轴八大模型题(5)-三切线组合

1、6 / 6圆压轴题八大模型题（五）泸州市七中佳德学校易建洪引言：与圆有关的证明与计算的综合解答题，往往位于许多省市中考题中的倒数第二题的位置上，是试卷中综合性与难度都比较大的习题。一般都会在固定习题模型的基础上变化与括展，本文结合近年来各省市中考题，整理了这些习题的常见的结论，破题的要点，常用技巧。把握了这些方法与技巧，就能台阶性地帮助考生解决问题。类型5三切线组合直角梯形 ABCD中，AD/BC,O与CD相切于点E./B=90° ,以AB为直径的半圆。图(1) AD= 4(2)求证：BC= 9,求 AB; 4AD BC= AB.(3)求证：CO- CB- CD(4)求证：CO/ A

2、E DO/ BE【分析】（1）法一：如图（a）过点D 作 DF，BC, AB= DF = 7(92_4) =12.法二：如图（b）由aOBCs DAO或 COEsODE 得:r2=4X9=36, r = 6,AB = 12.(2)由OBCsDAO,或 COEsODE 得：r2 = AD BC,(4AD - BC= AB2(3)由 RtACBORtACOD 得:(4) / CFE = Z COG = / EGD =(94)图图图（6）求证：EP=FP.(6)求证：DG=AG.求证：EP=FP.(8)若 AB=2<'5 , AD=2,求BC和EF的长.【分析】(5)由 CB / EF

3、 / DA, CB = CE, DA= DE 得空DAt 空空，EP=FP.CA BD DA(6)由 CB=CE, / CBE=Z CEB=Z DEG; CB/ DA 得/ CBE = Z D, . . / DEG = / D.DG= EG,又 EG = GA, DG = AG. EF/DA,得空 史 FP,又 DG=GA,得 EP=FP. DG BG GA(8)由 AB2=4AD BC 得：(2#) 2=4X 2BC,，BC=2. 5, CF= BC=2. 5, BF = 5.在 RtABF 中，AF =&2庖 52 = 3 J5 .由 AD / BF 得普ADCF .EF= 5AF

4、 = 5 *3指=5疾【典例】（2018 湖南娄底）如图，已知半圆O与四边形ABCD的边AD、AB、BC都相切，切点分别为 D、E、C,半径 OC=1,贝U AE BE.【分析】连接OE,由切线长定理可得/ AOE=1/DOE,2/BOE=1/EOC,再根据/ DOE + Z EOC= 180° ,可 2得/AOB=90° ,继而可证 AEOAOEB,根据相似三角形对应边成比例即可得 解：如图，连接 OE, AD、AB与半圆 O相切， OEXAB, OA 平分/ DOE , ./AOE= 1 / DOE ,同理/ BOE= - Z EOC,22,. Z DOE + Z EO

5、C=180° , AOE+Z BOE = 90° ,即/AOB = 90° , . ABO + Z BAO= 90° , . Z BAO + Z AOE= 90° , . . / ABO = /AOE,. / OEA=/BEO= 90° , AEOA OEB,.AE: OE=OE: BE, . AE?BE= OE2= 1,答案：1.【点拨】由切线长定理引出的四个母子相似三角形中，含直角三角形、等腰三角形、全等三角形及相似三角形。除开由切线长所在的特殊四边形的特殊结论以外，往往借助切线长定理中的边等角等和比例线段证明线段相等，或运用局部

6、占总体的比例求线段长。善于分解图形，构建基本的图形模型，综合运用解决问题。【变式运用】1.（2016大庆）如图，在RtAABC中，/ C = 90°,以BC为直径的。O交斜边 AB于点M,若H是AC的中点，连接 MH.求证：MH为OO的切线.若MH = 3 , tan/ ABC = 3 ,求。O的半径.24在（2）的条件下分别过点 A、B作。O的切线，两切线交于点D , AD与。O相切于N点，过N点作NQXBC,垂足为E,且交。O于Q点，求线段 卜解：(1)连接 OH、OM ,. H是AC的中点，O是BC的中点， .OH 是 AABC 的中位线，. OH II AB, / COH =

7、 / ABC , / MOH = / OMB ,又. OBmOM, ./ OMB = / MBO , ./ COH =/ MOH ,在ACOH与AMOH中，gOM NCOH=/MOH, . COHA MOH (SAS), tOH=OH ./ HCO =/ HMO = 90°, .MH是。O的切线；(2) MH、AC 是。O 的切线，3.-.HC = MH =y, AC=2HC = 3,JQ的长度.AvZJ7图5-2.4.&考图b. tan/ABC= 4 , BC = 4 , .BC=4, .-.O O 的半径为 2.(3)连接OA、CN、ON, OA与CN相交于点I, . A

8、C与AN都是。O的切线， .AC=AN, AO 平分 / CAD,.-.AOXCN,. AC=3, OC = 2,由勾股定理可求得：图cAO=/l3, AC?OC=AO?CI, .CI='H, .由垂径定理可求得：CN=13H2f 21313设OE = x,由勾股定理可得：CN2 CE2=ON2 OE2,( 2+x) 2=4-x2,13110：1024 x = 号，.CE= 詈，由勾股定理可求得：EN=*,48 由垂径定理可知：NQ = 2EN=二.2.( 2016广西梧州)如图，AB、BC、CD分别与。O切于E、F、G,且AB / CD .连接OB、OC,延长 CO交。O于点 M,过

9、点 M作MN / OB交CD于N.(1)求证：MN是。的切线；(2)当OB = 6cm, OC = 8cm时，求。O的半径及 MN的长.(1)如图所示，连接 OE、OF、OG.OE、OF、OG都是。的半径，.OE=OG = OG.AB、BC、CD分别与。O相切于点E、F、G,/ OEB = / OFB = / OFC = / OGC = 90.在 RtOEB 和 RtAOFB 中，fOB = OBOE = OFRtAOEBRtAOFB ,图5-2D NC则/ OBE = Z OBF.同理可证 RtAOFCRtAOGC, 则/ OCF = Z OCG. AB / CD, ./ OBE + Z O

10、BF + Z OCF + Z OCG = 180,即/ OBF + Z OCF = 90°,则/ BOC = 180°-Z OBF-Z OCF=90°. . MN / OB, ./ NMC = Z MOB = 180°-Z BOC = 90°,即OM，MN,又 OM是。O的半径，.MN是。O的切线。(2)如图所示，由(1)可得，在 RtOBC 中，OFBC, /BOC = 90°。由勾股定理得，BC 一 /。用+d出斗群=10,则“权即 10OF= 48，故 OF = 4. 8. ; OM =OF = 4. 8,.MC = OM +

11、OC= 12. 8。由(1)知，/ OCB=Z MCN , / NMCZ BOC=90°,MN _ MG MN _ 12.8则nmcsboc,因此7n记，即 一=国，Ei 故''=叫综上所述，O O的半径为4.8cm, MN的长为9.6cm.E为。O3. （2018 湖北襄阳）如图， AB是。O的直径，AM和BN是。O的两条切线,上一点，过点 E作直线DC分别交AM, BN于点D, C,且CB=CE.图5-3(1)求证：DA=DE;(2)若AB=6, CD = 4，3,求图中阴影部分的面积.解：(1)证明：连结OE, OC. BN 切。O 于点 B, ./ OBN = 90°. . OE=OB, OC=OC, CE=CB, /. OECAOBC. ./ OEC = Z OBC=90°. .CD是。O的切线. AD 切。O 于点 A,，DA = DE.(2)过点D作DF，BC于点F,则四边形 ABFD是矩形.，AD = BF, DF = AB = 6. .DC = BC + AD=4p.FC= DC=DF2