二次根式专题(含答案详解)

1、数学专题第六讲：二次根式欧阳歌谷(2021.02.01)【基础知识回顾】-、二次根式式子需()叫做二次根式提醒：次根式需必须注意a_o这一条件，其结果也是一个非 数即：需_o二次根式石(a>o)中，a可以表示数，也可以是一切符合条 件的代数式二、二次根式的性质： (a>o)(、方)2= (a>0) ( a <o)亦二(a>0 ,b>0 ) 招二(a>0, b>0)提醒：二次根式的性质注意其逆用：如比较2的和3血的大 小，可逆用(需)2=a(a>0)将根号外的整数移到根号内再比较被 开方数的大小三、最简二次根式：最简二次根式必须同时满足条件：

2、1、被开方数的因数是，因式是整式2、被开方数不含的因数或因式四、二次根式的运算：1、二次根式的加减：先将二次根式化简，再将的二次根式进 行合并，合并的方法同合并同类项法则相同2、二次根式的乘除：乘除法则：五丘=(a>0 ,b>0)除法法则：手二(a>0, b>0)3、二次根式的混合运算顺序：先算再算最后算提醒：h二次根式除法运算过程一般情况下是用将分母中的根号化去这一方法进行：如：£ =2. 二次根式混合运算过程要特别注意两个乘法公式的运用3. 二次根式运算的结果一定要化成重点考点例析考点一：二次根式有意义的条件例1如果代数式启有意义，则x的取值范围杲()A.

3、 x=/=3 B. x<3 C. x>3 D. x3思路分析：根据二次根式的意义得出x-3>0,根据分式得出x-3 农0,即可得出x-3>0,求出即可.解：要使代数式启有意义，必须x-3>0,解得：x>3.故选C.点评：本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件的 应用，注意：分式斗中AO,二次根式丽中aAO.A对应训练1 使代数式吝有意义的X的取值范围是（）2x-lA. x>0 B. xM丄C. xNO且.x壬丄D. 一切实2 2数解：由题意得：2xlM0, x>0,解得：x>0,故选：C.考点二：二次根式的性质例2实数a、b在轴上

4、的位置如图所示，filal>lbl,则化简 7-|d+Z?l 的结果为（r ）>a0bA. 2a+b B. -2a+b C. b D. 2a-b思路分析：现根据数轴可知x0, b>0,而lal>lbl,那么可知a+b<0,再结合二次根式的性质、绝对值的计算进行化简计算即 可.解：根据数轴可知，a<0, b>0,原式=-a- （a+b） =-a+a+b=b.故选 C.点评：二次根式的化简和性质、实数与数轴，解题的关键是注意开方结果是非负数、以及绝对值结果的非负性.对应训练2. 实数a, b在数轴上的位置如图所示，则低莎的化简结果 为.解：T由数轴可知：b

5、<O<a, lbl>lal, J（d+by + a=b,故答案为：-b.考点三：二次根式的混合运算思路分析：利用二次根式的分母有理化以及分数指数幕的性质和 负整数指数幕的性质，分别化简，进而利用有理数的混合运算法 则计算即可.解：原式=上* +血+1 +的-血=2-V5 + VJ+1 +辰运=3.二次根式的混合运算以及负整数指数幕的性质，将各式进行化简 是解题关键.对应训练3. 计算:屈辰+何.=4 + >/6 .考点四：与二次根式有关的求值问题例4先化简，再求值：(丄)"： +斗,其中x=：x x + 1 a + l)-(x-l)2思路分析：先根据分式混合运

6、算的法则把原式进行化简，再把X的值代入进行计算即可.解:原式二1XyJ(X+)2x(x + l) 4x当x二丄时，x+1 >0,2可知 7(x + l)2 =x + l,故原式=宀豊巴=+V;x(x + l) 4x 4x 4x122点评：考查的是二次根式及分式的化简求值，解答此题的关键是 当X二*时得出J(x+1)2 =兀+ 1 ,此题难度不大.对应训练4. 计算J1142642502之值为何？()A. 0 B. 25 C. 50 D. 80 分析：根据平方差公式求出1142-642= (114+64) x (114-64) =178x50,再提出50得出50x (178-50) =50

7、x128,分解后开出即 可.解：V1142 - 642 - 502二 J(114 + 64)(114 64)5()2= 7178x50-50= j50x(178-50)=(50x128= V2x5Ix8Ix2 =2x5x8,=80,故选D.考查了平方差公式，因式分解，二次根式的运算等知识点的应用，解此题的关键是能选择适当的方法进行计算【聚焦中考】1下列运算正确的是()B.A. J(-5)2 = -5B.(一丄)-2 =16C x64-x3=x2 D(x3)Y42. 计算：4右-爲=03. 计算：（-3）。+ VHxd = 7【备考真题过关】选择题1. 要使式子E有意义，则x的取值范围是（D ）

8、A. x>0 B. x>-2 C. x>2 D. x<22. 计算辰尼（A ）A. 75 B. 5 C.迈 D.迈2 23. 计算：3近-近=（）4. 己知加=（-£）x（-2血T）,贝J有（）A. 5<m<6 B. 4<m<5 C. -5<rm<-4 D. -6<m<-5解：加= (f)x(2Q)J= 27 =>/28,/ 5 < >/28 < 6,即 5<m<6,故选A.5. 下列计算正确的是（D ）A. x3r+x3=x6B m2em3=m6C.3 近-迈= 30. V1

9、4x>/7 =726. 下列等式一定成立的是（BA.扃-肩=躬 B. 75xa/3=aAI C. >/9=±37使式子后+产有意义的x的取值范围是（A. x> - 1 B.一 l<x<2C.x<2D.-1<x<2解：根据题意，得x+l >02 - ，解得，-l<x<2;故选B.C.&在下列各式中，二次根式石兀的有理化因式是（A. Va+b B.D.解： “3 一3 - b= ° _b,二次根式岳P的有理化因式是：茁p.故选：C.主要考查了二次根式的有理化因式的概念，熟练利用定义得出杲解题关键“9. 下

10、列计算错误的是（A.逅-岛眾B.屁十箱二2D.)血后馮 C78=22分析：根据二次根式的乘法对A、B进行判断；根据二次根 式的除法对C进行判断；根据二次根式的性质对D进行判断.解：A、V2-VW6,所以A选项的计算正确；B、血与卯是同类二次根式，不能合并，所以B选项的计算错误；C、咅竝=山2十3=毎2,所以C选项的计算正确;D、Vs=V4X2=V4xV2=2V2, 故选B.10. 下列计算正确的是（A.岳近眾B.伍一后近 D.所以D选项的计算正确.）於后 C.倔三近二4分析：根据冋类次根式才能合并可对A进行判断；根据次根式的乘法对B进行判断；先把屈化为最简二次根式，然后 进行合并，即可对C进行

11、判断；根据二次根式的除法对D进行判 断.解：A、与血不能合并，所以A选项不正确;B、V3xV2=V6,所以B选项不正确;C、a/12 -V5=2a/3 " VW3,所以 C 选项正确;D、VsW2=2V2?Vz=2,所以D选项不正确.故选C.C. Vi二±311. 下列计算或化简正确的是（）A. a2+a3=a? B.D.-1 1- x+1 X 1分析： A、根据合并同类项的法则计算;B、化简成最简二次根式即可;C. 计算的是算术平方根，不是平方根;D. 利用分式的性质计算.解：A. a2+a3=a2+a此选项错误;,此选项错误;B、C、=3,此选项错误；D、广打,此选项正

12、确.一 x+1 X 1故选D.考查了合并同类项、二次根式的加减法、算术平方根、分式的性质，解题的关键是灵活掌握有关运算法则,并注意区分算术平方C.丽二± 2根.平方根.12. 下列计算正确的是（ A逅括二1 B.V?十逅二2D.欧阳歌谷创编欧阳歌谷创编2021年2月1分析：根据二次根式的乘除法则，及二次根式的化简结合选项即可得出答案.解：A、伍电=1,故本选项正确；B、4故本选项错误；C、7673=/2,故本选项错误；D、冷2,故本选项错误；故选A.二.填空题13. 当X=-4时，l6-3x的值是3血14. 若乔是整数，则正整数n的最小值为.5解:V20n=22x5n.整数n的最小值

13、为5.故答案是：5.15. 若二次根式冃有意义，则x的取值范围是.x>-l16. （当x时，二次根式£有意义.>017. 己知77（«->/3）<0,若b=2a,则b的取值范围是.2-y/3<b<2解：血（“-Q<0, >0,6/ 3 v 0,解得a>0且a<羽,0 < a <, /3 < ci < 0 , 2 -< 2 - a < 2 ,即 2_>/J<v2.故答案为：2-<b<2 .18. 计算顷£的结果是.219. 计算芍迴的结果是.血+1

14、解：原式=(2+f)込哲土皿+1.V2xV22故答案为：血+1。20. 计算：>/32-V2=. 3 迈21. 计算 y/24-y/l8x=. y/622使式子荷P有意义的最小整数m是.分析：根据被开方数大于等于0列式计算即可得解.解：根据题意得，m-2>0,解得m>2,所以最小整数m是2.故答案为：2.三.解答题.23.计算：(-1)】0】+(71-3) 0+学7厶解:原式=-1+1+2- (72-1) =3->/2 .24计算：73x712+l-4l-9x3-1-20L2°.解：V3xVi2+l-4l-9x3-,-2012°欧阳歌谷创编2021年2月1=73712+4-9x1-13=6+4-3-1=6.25.计算：V2（V2