二次根式的基本定义

1、【知识要点】二次根式的定义：形如V -，：-：的式子叫二次根式，其中.< 叫被开方数，只有当工是一个非负数时，才有意义. 注意理解：1、定义是从结构形式上定义的，必须含有二次根号。根指数省略不写。不能从化简结果上判断， 如L"，L厂都是二次根式。2、 被开方数是一个数，也可以是含有字母的式子。但前提条件是必须是大于或等于0.3、如果是给定的式子，就是有意义的。、4、 形如b '（a 1的式子也是二次根式，b与，是相乘关系，当b是分数时，写成假分数。5、式子'（a 1表示的是非负数。& L、+b（a三，:和形式是含有二次根式的式子，不能叫二次根式。 二次根

2、式定义：【例1】下列各式丁25,3).X2 2,4).4,5).'( ；)2,6) .口,7) a2 2a 1，其中是二次根式的是（填序号）.变式练习：1、A、F列各式中，一定是二次根式的是（）a B、10 C a 1 D、.j a2、3、在.a、： a2b、.x 1 ,1 x2、.3中是二次根式的个数有下列的式子一定是二次根式的是（）C.式子：戶；勺1;jF；肿+ 2 式的代号为（）A.4、B.C中是二次根D.【例2】若'是正整数，最小的整数 门是（B. 3A. 6变式练习：'是整数，则满足条件的最小正整数C.48D. 21、已知:n的值是（A. 0B. 1C.D.

3、52、二次根式. 是一个整数，那么正整数a最小值是.1、二次根式具有双重非负性。店02、如果式子中既含有二次根式又含有分式，那么它有意义的条件是：二次根式中的被开方数是非 负数，分式中的分母不为0.3、 如果式子中含有零指数幕或负整数指数幕，有意义的条件是，度数不为0.【例3】式子 :有意义的x的取值范围是 变式练习：1、 使代数式有意义的x的取值范围是()x 4A、x>3B、x>3 C、x>4D、x> 3 且 xm42、 使代数式，'x2 2x 1有意义的x的取值范围是. 13、如果代数式m =有意义，那么，直角坐标系中点 P (m, n)的位置在()JmnA

4、、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限【例 4】若 y=、x 5 +、5 x +2009,则 x+y=变式练习：1、 若X1 .厂X (x y)2，则x-y的值为()A. 1B. 1C. 2D. 32、若x、y都是实数，且y= 2x 33 2x 4，求xy的值3、当a取什么值时，代数式 2a 1 1取值最小，并求出这个最小值。4、 若实数 a、b、c 满足_ H+|a+b|=+，则 2a-3b+6 的值为.J, - 9 + J - / + 95、 已知y=，求2x+y的算术平方根. 二次根式整数部分小数部分：已知a是、5整数部分，b是5的小数部分，求a 的值。b 21、若-3的整数部分

5、是a，小数部分是b，则.3a b 。2 12、若.17的整数部分为X，小数部分为y，求X y的值二次根式性质：1非负性：a(a 0)是一个非负数.注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到.2.( .a)2 aa 0).注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：a （ a）2（a 0）3. 泾 |a| 旳 0)0) a(a 0)注意：（1）字母不一定是正数.（2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替.（3）可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外.4. 公式存1创爲：）与（佝2a

6、a 0）的区别与联系(1)(2)（.a）2表示一个数的算术平方根的平方,a的范围是非负数.(3).a2和（，a）2的运算结果都是非负的.a2表示求一个数的平方的算术根，a的范围是一切实数.例 5】若 a 2 b 3 c 4变式练习：1、若3 (n 1)20，贝U mn的值为2、已知x,y为实数，且.x 13则x y的值为（）A. 3B.- 3 C. 13、已知直角三角形两边X、D.y的长满足| x2 4 | + . y25y 6 = 0，则第三边长为.4、若2005与a 2b 4互为相反数，则a b【例6】如果(x-2)=2?x，那么x取值范围是（A. x<2B. xv 2C. x>

7、;2D. x>2【例7】化简二次根式aa 22的结果是a(A). a 2(B)、a 2(C)、a 2(D). a 2变式练习：1、把二次根式a *化简，正确的结果是（）A. aB. aD. a2、已知Ovav 1,化简斗3、若化简11 - xl - J? - 8x + 16的结果为2x-5,则x的取值范围是（）a + 匚）？|b?c|=.A、任意实数 B、1- C> xD、x 4、若实数a、b、c在数轴的位置，如图所示，贝U化简5、已知：实数a, b在数轴上的位置如图所示，化简：J(日+ l)'+2j3-l)|a-b| .6已知，I尤-H = 2,求勺/-必十16点斗/ -

8、 4工+ 1的值。最简二次根式：(1) 最简二次根式的定义：被开方数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的数 或因式，(被开方数中每个因数(式)的指数都小于根指数2,都是1); 分母中不含根号. 化最简根式时注意：(1) 被开方数是带分数的要化成假分数。(2) 被开方数学是小数的要化成分数。(3) 被开方数中含有能开方的多项式时，要先因式分解再开方。同类二次根式(可合并根式)：几个二次根式化成最简二次根式后， 如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式， 即 可以合并的两个根式。【例7】在根式1）、a2 b2;2）xy;4) , 27abc，最简二次根式是()A. 1)2)B.

9、 3)4)C. 1)3)D. 1)4)2、下列根式中，不是.最简二次根式的是()A.7 B.3C.13、下列根式不是最简二次根式的是()A. . a21B. . 2x 1D.2. 2bC.4【例8】下列根式中能与 3是合并的是()A. . 8 B. 27 C.2 5D.例 9】将a根号外的因式移入根号内的结果是练习：化简：Q15，%O72，J32,y'(y < 0)?，、25<? + 血九分母有理化定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因 式。有理化因式确定方法如下：单项二次根式：利用,a .a a来确定，如：a与a， . a b与a b，: a b与. a b等分别互为有理化因式。两项二次