二轮复习专题

1、20XX届二轮复习专题-恒成立存在性问题知识点梳理1、恒成立问题的转化：a f X 恒成立=a f X max ； a 乞 f X 恒成立=a 乞 f X min2、能成立问题的转化：a f x 能成立= a . f x min ； a < f x 能成立= a < f x max3、恰成立问题的转化：I a > f f x 在 M上恒成立 a f x在M上恰成立：j a f x的解集为M'丿'丿a兰f(x庐CrM上恒成立另一转化方法：右X -D, f(x) A在D上恰成立，等价于f(x)在D上的最小值fmin(x)二A，若D, f(x)vB在D上恰成立，则等

2、价于f(X)在D上的最大值fmax(X)= B 4、设函数fX、gx，对任意的X1 a , b l,存在X2 C ,d ,使得 fXi_ g X2，则fmin X - gminX5、设函数fX、gX，对任意的Xi 0 , b 1，存在X2 C ,d 1，使得 fXi_ g X2，则fmax X _ gmaxX6、设函数fX、gX，存在 Xa ,b 1，存在 X2 C ,d 1，使得 f Xi gX2，则fmaxX _ gmin X7、设函数fX、gx，存在 xa ,b 1，存在 X2 C,d 1，使得 f Xi- gX2，则fminX -gmax X8、 若不等式f x x在区间D上恒成立，则

3、等价于在区间D上函数y = f x和图象在函数y = g x图象 上方；9、 若不等式f x : g x在区间D上恒成立，则等价于在区间D上函数y = f x和图象在函数y = g x图象 下方；例题讲解：题型一、常见方法a仁已知函数 f (x)二 x2 -2ax 1， g(x) ，其中 a 0， x = 0 .x1 )对任意1,2，都有f(x) g(x)恒成立，求实数 a的取值范围；2 )对任意x 1,2, x 2,4，都有f(xi)g(x2)恒成立，求实数a的取值范围；a112、设函数h(x)x b，对任意a ,2，都有h(x)乞10在x ,1恒成立，求实数b的取值范围.x243、已知两函

4、数f (x) =x2， g(x) = -m，对任意x<0,2丨，存在x21,2】，使得f(xj一 gx2，则实12丿数m的取值范围为题型二、主参换位法(已知某个参数的范围，整理成关于这个参数的函数)1、对于满足 P兰2的所有实数p,求使不等式x2+px+ip+2x恒成立的x的取值范围。2、已知函数f(x)n(ex £)(a为常数)是实数集R上的奇函数，函数 g x = .f(x) -sinx是区间I-1,1上的减函数, (I )求a的值；(n )若g(x)st21在x"-1,1上恒成立，求t的取值范围；题型三、分离参数法(欲求某个参数的范围，就把这个参数分离出来)1、

5、当(1,2时，不等式x2 mx 4 :：: 0恒成立，则m的取值范围是题型四、数形结合(恒成立问题与二次函数联系(零点、根的分布法)1、若对任意x运R,不等式|x|3ax恒成立，则实数a的取值范围是 2、已知函数f x =x2 _2kx 2，在x 恒有f x _k，求实数k的取值范围。题型五、不等式能成立问题(有解、存在性)的处理方法若在区间D上存在实数x使不等式f xA成立,则等价于在区间 D上f x max A；若在区间D上存在实数x使不等式f(XB成立,则等价于在区间 D上的f(X)min£B.1、存在实数x，使得不等式|x*3px_1兰a2 da有解，则实数a的取值范围为 。

6、2、已知函数f x = In x - lax22-2x a = 0存在单调递减区间，求a的取值范围小结：恒成立与有解的区别恒成立和有解是有明显区别的，以下充要条件应细心思考，甄别差异，恰当使用，等价转化，切不可混为一体。 不等式fx:M对X.I时恒成立二fmax(x) : M?,X.I。即fX的上界小于或等于M； 不等式f X :M对X - I时有解=fmin(x) :M?, X - I。 或f X的下界小于或等于M ； 不等式fXM对X-I时恒成立U fmin(X) M?,xI。即fx的下界大于或等于M； 不等式fXM对X-I时有解=fmax(X) M , XI.。或fX的上界大于或等于M；

7、课后作业：姓名： 班级座号1、 设a 1，若对于任意的xa,2a，都有y a, a2满足方程log a x log a3，这时a的取值集合为()(A) a|1 ：az2( B)a|a_2( C)a|2 乞 a3( D) 2,3x y _02、 若任意满足<x+y5启0的实数x, y，不等式a(x2 + y2)兰(x + y)2恒成立，则实数a的最大值是 _ .y -3 _03、不等式sin2x _4sinx T _a ：0有解，则a的取值范围是 4、 不等式ax_.x4-x在x 1.0,3 1内恒成立，求实数 a的取值范围。5、已知两函数 f x =7x2 28xc , g x =2x3

8、 4x2_40x。(1) 对任意,3 ,都有f x _g x )成立，求实数c的取值范围;(2) 存在x：=|'3,3 ，使f x _g x成立，求实数c的取值范围；(3) 对任意x，X2 口,3 ,都有f X _g x2 ，求实数c的取值范围；(4) 存在儿2 X，3 1,都有f人<g x2 ，求实数c的取值范围；13226、设函数 f(x) x 2ax -3a x b (0 ： a ：1, b R).3(i) 求函数f x的单调区间和极值；(n)若对任意的x引a+1,a+2,不等式f"(x*a成立，求a的取值范围。7、已知 AB、C是直线总上的三点，向量 oAOB&

9、amp;满足：OA jy+2f(1卩忑+1 n(x+1)6C=0.(1) 求函数y= f(x)的表达式；2x(2) 若 x>0，证明：f(x) >x + 2；(3) 若不等式 干 乞fx2 . m2 _2bm -3时，x"T,11及 bT,1都恒成立，求实数 m的取值范围.8、设f x二px -q -21n x，且f e二qe -P -2 (e为自然对数的底数)xe(I) 求p与q的关系；(II) 若f x在其定义域内为单调函数，求p的取值范围；(III) 设g x ，若在1,e上至少存在一点X。，使得f X。g x0成立，求实数p的取值范围x参考答案：题型一、常见方法1

10、、已知函数 f(x) =X2 -2ax 1，g(x) ，其中 a 0，x = 0 . x1)对任意x：二1,2，都有f(x) .g(x)恒成立，求实数a的取值范围;2)对任意为 1,2, X2 2,4，都有f(xj . g(X2)恒成立，求实数a的取值范围；【分析：】1) 思路、等价转化为函数f(x)_g(x) .0恒成立，在通过分离变量，创设新函数求最值解决.2) 思路、对在不同区间内的两个函数f(X)和g(x)分别求最值，即只需满足fmin(X)QmaW即可.简解：3 +3 *(1 )由X2 -2ax1 - a .0= a :： X 2 X成立，只需满足(x) X 2 X的最小值大于a即可

11、.对x2x +12x +1x'('x2x 亠 x 亠 12(X)二求导，：(x)产.0，故(X)在 X，1,2是增函数，*n(X)(1) = 3，所以 & 的2取值范围是0 : a ：3a112、设函数h(x)x b，对任意a -,2，都有h(x)冬10在x,1恒成立，求实数b的取值范围.x24分析：思路、解决双参数问题一般是先解决一个参数，再处理另一个参数以本题为例，实质还是通过函数求最值解决.方法 1：化归最值,h(X)_10 ：= hmax(X)_10 ；方法2：变量分离，b_10-(旦x)或a_-x2 (10 -b)x ；x一 1 1方法3：变更主兀，:(a)a

12、 x b10乞0 , a ,2x2Ir简解：方法 1：对 h(x) =g(x) x b 二旦 x b 求导，h(x) =1-冷二一a),XX2X211由此可知，h(x)在_,1上的最大值为h()与h(1)中的较大者.4414a +_ +b 兰104:厂、，<10h(1) <101 a b 1039b 乞39 - 4a14，对于任意aE,2，得b的取值范围是b _9 -a2b< .43、已知两函数 f(x)=x2, g(x)=-1 -m，对任意捲匸b,2】，存在X2匸1,2】，使得f(xj兰g(x2 )，则实 、.2 丿数m的取值范围为乂 J Jx解析：对任意x< 0,2

13、 1,存在x21,2 1,使得 f(xj g X2 等价于 g(x)二-m在12上的最小值1 1不大于f(x"x2在0,2上的最小值0,既-0，- m J题型二、主参换位法(已知某个参数的范围，整理成关于这个参数的函数)1、对于满足p兰2的所有实数P,求使不等式x2+px+1Ap+2x恒成立的X的取值范围。解:不等式即x T px2x 10,设f p =x-1p，x2-2x 1，则f p在-2,2上恒大于0,故有:f -20 x -4x 3 0f 20x2 -1 0x3或 x -1x 1或 x ： -1= x T 或 x 32、已知函数f(x) =ln(ex a)(a为常数)是实数集

14、R上的奇函数，函数g x ='f(x)，sinx是区间-1,1上的减函数,求a的值；(n )若g(xb<t .t 1在X ：二1'1,1上恒成立，求t的取值范围;(n)分析：在不等式中出现了两个字母：，及t,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。显然可将，视作自变量，则上述问题即可转化为在-二,二内关于，的一次函数大于等于 o恒成立的问题。(n)略解:由(I )知：f(x)=x，二g(x)=Xx+sinx , ； g(x)在 口，1 上单调递减，二 g "(x) =&+cosx 兰0 二人兰_cosx 在口上恒成立，.，_-1，g(x) l

15、ax =g(-D-sin1 ,.只需_sin1 乞.t 1 , (t -1b t2 sinl d_0 (其中 <_1 )恒成立,2It +1 VO由上述结论：可令 f =(t1)t sin1 1_0(*_1),则+ “ +2_t 一1 t sin1 1 _0 恒成立，.t1。题型三、分离参数法(欲求某个参数的范围，就把这个参数分离出来)1、当门,2时，不等式x2 mx 4 :：: 0恒成立，则m的取值范围是2 解析：当 x (1,2)时，由 x2 - mx 卜4 ： 0得 m ： _ x二 m _ -5.x题型四、数形结合(恒成立问题与二次函数联系(零点、根的分布法)1、若对任意x壬R,

16、不等式|x|rax恒成立，则实数a的取值范围是 t2；0，而 t2_tsin1_0t t - sin1 _0解析：对-X，R,不等式|x|_ax恒成立、则由一次函数性质及图像知-1空a1，即-1乞a1。2、已知函数f x =x2 _2kx 2，在x】：V恒有f x ：k，求实数k的取值范围。分析：为了使f x _k在x. I，:：恒成立，构造一个新函数F x二f x _k，则把原题转化成左边二次函数在区间I-1-时恒大于等于0的问题，再利用二次函数的图象性质进行分类讨论，使问题得到圆满解决。解：令F xj=f x k=x2 _2kx 2_k，则F x _0对l-1：恒成立，而F x是开口向上的

17、抛物线。当图象与x轴无交点满足.0，即厶=4k2 _2 2 -k <0，解得/ ：k ：1。F_0解得2冬，故由知-3 <k ：1 。-2kV当图象与x轴有交点，且在xN1,:时F x _0，则由二次函数根与系数的分布知识及图象可得：小结：若二次函数 y =ax2 bx c a =0大于0恒成立，则有 .0，同理，若二次函数y =ax2 bx c a =0小于L恒成立，则有*a<0。若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识.0求解。题型五、不等式能成立问题(有解、存在性)的处理方法 若在区间D上存在实数x使不等式f x A成立,则等价于在

18、区间D上f x max A ；若在区间D上存在实数x使不等式f(XB成立,则等价于在区间D上的f(x)minvB. 1、存在实数x，使得不等式IxTx-1兰a2 £a有解，则实数a的取值范围为 。解：设 f x =x p |x -1，由 f x _a2 -3a 有解，=a2 -3a _ f x ,又 x V -.x J _ x_ x 一1 =4a2 _3a _4，解得 a _4 或 a _ -1。1 22、已知函数f x =1 nxax-2x a = 0存在单调递减区间，求 a的取值范围22解：因为函数f x存在单调递减区间，所以f' x =丄-8乂_2=-坐 2x -1 ：

19、 0xx12 120, 有解.即ax，0：能成立，设ux 2.x2 xx2 x1o (12由 u X1-1得，umi n X 二-1.于是，a -，x2 x lx丿由题设a=0,所以a的取值范围是-1,00,-小结：恒成立与有解的区别：恒成立和有解是有明显区别的，以下充要条件应细心思考，甄别差异，恰当使用，等价转化，切不可混为一体。 不等式fx:：: M对X.I时恒成立：二fmax(x) :：: M?,X.I。即fX的上界小于或等于M； 不等式f X :：:M对X. I时有解=fmin(x) :：:M?，X. I。 或f x的下界小于或等于M ； 不等式fXM对X.I时恒成立：二fmin(x)

20、 M?，x.I。即fX的下界大于或等于M； 不等式fXM对X.I时有解二fmax(x) M，x. I.。或fX的上界大于或等于M；课后作业:1、设a =1，若对于任意的xwa,2a，都有y可a,a2满足方程log a x+log a y = 3，这时a的取值集合为()(A) a|1 ：a2( B)a|a_2( c) a|2 乞 a3( D) 2,3答案:B。解析：由方程3alog a X - loga y = 3可得y，对于任意的X23xa,2a，可得-< a2，依题意2 x2a<2 二a2 _a2a _2。Jx -y 乞 oI2、若任意满足 x y -5 _0的实数x, y，不等

21、式a(x2 y2) _(x y)2恒成立，则实数a的最大值是y -3 乞0答案：225222a 1y 3。解析：由不等式 a(x y ) _(x y)可得x y，由线性规划可得 仁-13xy x3、不等式sin2x -4sinx J-a ：0有解，则a的取值范围是 解：原不等式有解n a>sin2X-4sin X+1=(sin X2j3(/兰sinxM 有解，而(sinx-2$_3=-2，所以 a 。4、不等式axx 4 - x在x 0,3 1内恒成立，求实数 a的取值范围。y = ax和 y = x 4 -x 在 x 二 0,31x=3 时 y=、3， a -3解：画出两个凼数上的图象

22、如图知当0,3 1时总有ax » x 4 - x所以5、已知两函数 f X =7x2 -28x -c , g x =2x3 4x40x。(1) 对任意：,3 ,都有f x g x成立，求实数c的取值范围；(2) 存在x|U,3 ,使f x乞g x成立，求实数c的取值范围；(3) 对任意X1 , x 13,3 1,都有f X1 _g x2，求实数c的取值范围；(4) 存在 X1, X21-3,3 ， 都有f (X1戶g(X2 )，求实数c的取值范围；解析：(1 )设 h x=gx?-fx=2x3-3x2-12xc，问题转化为x 七3时，h x _0 恒成立，故hminx _0。令h x

23、 =6x2 -6x -12 =6x1 x -2 =0，得x = J或2。由导数知识，可知h x在I-3,1 1单调递增，在1-1,21单调递减， 在 2,3 I单调递增，且 h e =c -45 , h x 极大值=h -A =c 7 , h x 极小值=h 2 =c -20 , h 3 =c -9，/. hm x 阡-$ -4，由 c -45 _0，得 c _45。(2)据题意：存在2,3 ，使f x _g x成立，即为：h x二g x -f x _0在x ；,3 有解，故hmax x _0，由(1 )知 hmax X i=c 7 _0，于是得 C。(3)它与(1 )问虽然都是不等式恒成立问

24、题，但却有很大的区别，对任意X1,x 1-3,31，都有f X1 <g x2成立,不等式的左右两端函数的自变量不同，X1，X2的取值在I©3 1上具有任意性，要使不等式恒成立的充要条件是：fmax(x) Egmin(x)?xW-3?。，f (x)=7 (x-2 jc-28,x 壬I3,3 f (xhx=f(-3戶47c，/ g X=6x28x-42 3x 10 x-2， g x =0在区间鸟，3 1 上只有一个解x=2。g xmin =g 2 二 Y8，. 147c_V8，即 c_195.(4)存在Xi,X2_3,3 ,都有 fXi<gX2,等价于fmin石乞 gmaxX

25、?,由得 Jin N 二 f 2C - 28 ,gmax X? = g ：；-3 =102, -c28_102= c# ：-130点评：本题的三个小题，表面形式非常相似，究其本质却大相径庭，应认真审题，深入思考，多加训练，准确使用其成立的充要条件。6、设函数 f (x) - -1 x3 2ax2 -3a2x b (0 ： a ： 1, b R).3(i)求函数f x的单调区间和极值；(n)若对任意的 xa+1,a+2,不等式f'(xj兰a成立，求a的取值范围。解：(i) f (x) - -x2 4ax -3a2 (1 分)令f (x)0,得f (x)的单调递增区间为(a,3a )令f

26、(x) ：0,得f (x)的单调递减区间为(一：，玄)和(3a, +- )(4分)3当 x=a 时，f (x)极小值=a3b；4当x=3a时，f (x)极小值=b.(6分)(n)由 | f (x) | w a，得a< x2+4ax 3a2< a. ( 7 分)/ 0<a<1, a+1>2a.22- f (x)二-x - 4ax - 3a 在a 1, a 2上是减函数.(9 分)- f (x)max 二 f (a 0 =2a -1-f (x)min f (a 2) 4a - 4.于是，对任意X a 1,a2，不等式恒成立，等价于 a 兰 4a 4, a >2a

27、 -1._a _1.又 0 :： a : 1,da:1.OA 一 ly 2f 1 1 OB In x 1 OC =0.7、已知 a b、c是直线总上的三点，向量 Oa Sb, 6C满足:(1) 求函数y= f(x)的表达式；2x(2) 若 x>0，证明：f(x) >x + 2；(3)若不等式 寸乂？ -fx? m 2bm 3时，x - 1, 11及I-1 , 1都恒成立，求实数 m的取值范围.解：(1) OA y + 2f /(1)OBs+ ln(x + 1)OC= 0,. SA= y + 2f /(1)OBS ln(x + 1)OC由于 A B C 三点共线即y + 2f /(1

28、)+ ln(x + 1) = 1 2分y = f(x) = ln(x + 1) + 1 2f /(1)1 1f /(x)= x+ 1，得 f /(1)= 2，故 f(x) = ln(x + 1) 4分2x12(x + 2) 2xx2(2 )令 g(x) = f(x) x + 2，由 g/(x) = XT (x + 2)2= (x + 1)(x + 2)2 x>0, g/(x) >0,. g(x)在(0 ,+ )上是增函数 6分故 g(x) > g(0) = 02x即 f(x)> XT2 8分1(3) 原不等式等价于 2x2 f(x2) w m2- 2bm- 3112x

29、x3 x令 h(x) = 2x2 f(x2) = 2x2 ln(1 + x2)，由 h/(x) = x 1Tx2 = 1+ X2 10分当 x 1, 1时，h(x)max = 0,. m2-2bm 3> 0Q(1) = m2- 2m- 3>0令 Q(b) = m2- 2bm 3,则 q( i)= m2+ 2m 3> 0得 m> 3 或 me 3 12分8、设f x ：=px -q -2ln x，且f e =qe -P -2 （e为自然对数的底数） xr e（I）求p与q的关系；（II）若f x在其定义域内为单调函数，求p的取值范围；(III)2e设g x i= ，若在x

30、1, e 1上至少存在一点X。，使得f X。 g X。成立，求实数p的取值范围qpi1 '1解：（I）由题意得 f e二pe 2ln e二qe 2= p - q e0而e 0 ,所以P二q3分eeIe 丿e2（II） 由（I）知 f x 二 px-E-21 nx, f x4 分xx xx2令h x=px -2x - p，要使f x在其定义域（0,+ ：）内为单调函数，只需h（x）在（0,+ ：）内满足：h（x）> 0或h（x） e 0恒成立5分当p乞0时，px2乞0, -2x ：0 h x ： 0，所以f x在（0,+ ：）内为单调递减，故 p乞0 ；2 1当p 0时，h x = px -2x p，其图象为开口向上的抛物线，对称轴为x0，-,I 1二 hmin(X ) = h -p22=1 ,且X=1时等号成