二项式定理知识点及题型归纳总结

1、二项式定理知识点及题型归纳总结知识点精讲一、二项式定理a bn C： anb°C： an1b展开式具有以下特点：（D 项数：共n 1项C： anbC； a°bn n N*.(2)二项式系数：依次为组合数c0,c1,c2, , C:（3 ）每一项的次数是一样的，都为n次，展开式依a的降幕、b的升幕排列展开特别地，1 Xn 1 C； X C： X2CnnXn 二、二项式展开式的通项（第 r1项）二项式展开的通项为TnC： an rbrr 0,1,23,n.淇中C的二项式系数令变量（常用x）取1，可得Tri的系数.注通项公式主要用于求二项式展开式的指数、满足条件的项数或系数、展开

2、式的某一项或系数在应用通项公式时要注意以下几点： 分清C； anb是第r 1项，而不是第r项;在通项公式Th C： anrbr中，含Tri,Cr； ,a,b,r, n这6个参数，只有a,b,r,n是独立的，在未知r,n的 情况下利用通项公式解题，一般都需要先将通项公式转化为方程组求n和r.三、二项式展开式中的系数（1 ）二项式系数与项的系数二项式系数仅指Co,6,C,，CJ而言，不包括字母a,b所表示的式子中的系数例如：2 x “的展开式中含有灯的项应该是1C： 2nrXn，其中6叫做该项的二项式系数，而x的系数应该是C； 2nr （即含x项的系数）.（2）二项式系数的性质在二项式展开式中，“

3、等距离”的两项的二项式cn cncn cn ,cn cn '与首末两端二项展开式中间项的二项式系数最大如果二项式的幕指数n是偶数，中间项是第21项，其二项式系数C最大；如果二项式的幕指数n是奇数，中间项有两项，即为第项和第器1项，它们的二项式系数62和C,相等并且最大.（3） 一项式系数和与系数和nn n二项式系数和-0Cn (1+1 )2奇数项二项式系数和等于偶数项二项式系数和,即 C°C； C：135 n 1cn刘cn2系数和求所有项系数和，令X1 ;求变号系数和，令X1 ;求常数项，令X 0。题型归纳及思路提示题型1二项式定理展开式的应用思路提示对二项展开式的认识不仅要

4、矢注展开式中对各项的特点，更重要的是要理解等式两边的矢系, 右边是左边个因式ab积的结果，而左边是右边各项和的结果，这就为此类问题的解决提供了思考的 方向和解决的思路。用计数原理证明：丫c： an % c： an2b2 L danrbr Lc； bn nN ,r 0,1,2, ,n 中每一个取r个a b中每一个取b相乘取得的这样的取法（只需从r个a b中取b，自然剩余nr个a b中取a）共有Cn眛中,Ar Cn r 0,1,2 ,n .解析4 2 g4% 2。沪厶？ /4申，其展开式的通项为 Aran rbr，是由n个a b中的 n个01 n 1Cnacna b靠Lr n r rcna bn

5、nCnb变式12x3的展开式中，x的系数为（A. 15B.85 C.120 D.274变式254x 2的展开式中，X的系数为（用数字作答）变式32的展开式中整理后的常数项为X（用数字作答）题型2二项展开式通项的应用思路提示二项展幵式的通项从微观角度反映了二项展幵式的全貌，是展开式的缩影，它可以用于求二项展开式的任意指定项及 其系数等。21 5例1231（ 1）X22 1的展开式的常数项是（）XA.3B.2C.2 D.312、XT5展开式中X的系数为（)A.4B.2C.2 D.4得常数项为1C545，故展开式中常数项为3 ，故选D.1 2.x33x变式2变式3 已知1例 12.32(1)(2)求

6、证:解析(1)因为即 2nC°(2)首先6、.X 12x 8x、x展开式中含X的项1求证：2n2nC;-1+C2，显然有，10x10展开式中的常数项为2nCn1 5 3 x 10 3 x7 10x1 12x2x.故选 C.n的展开式中没有常数 项，N, n3.nN，所以cn2n2.证毕.12!n2!3!13!1n!1 Cn(至少有3故有2n项)，变式a, b0,n求证：变式求证：变式对于n求证：1111±c22cn例 12.33(1)展开式中X的系数为。，45x 寶 x yx? 故1展开式至少有4项,1 n!L+八72，n N的展开式中常数项为（A. 35C.354D. 1

7、05.x的系数为4,得(2) Tri即常数项为Tr13r3rTr小r9Cq aX=1得©=C82r为 C9a9 rx的幕由展开式中的错误！未找到引用源。C8r4r，令 4r0,得r=4，124Bo（用数字作答）。变式1 J18的展开式中含X15的项的系数为变式2设二项式0）的展开式中x3的系数为A,常数项为B,若B=4A则a的值为（用数字作答）。变式3 x y io展开式中x3 y?与X? y3的系数和为4严例 12.34 x V3y展开式中系数为有理数的项共有项。解析：T 1 C：咲2°43y *=错误！未找到引用源。（r 0,1,2丄20）依题意，r为4的整数倍,r 0

8、,4,8,12,16,20 故展开式中系数为有理项的项共有6项。变式J73/ 2MX11:2,求展开式中有理项有多少个?变式2“2 a b2 ( a, b为有理数)，则a b=(A. 45 B. 55 C. 70 D. 80n变式3 x、.x |展开式中存在常数项正整数n的最小值为题型3二项展开式的系数和问题思路提示有尖系数和的问题不仅要注意二项式系数和的结果，重要的是研究二项式系数所用的方法即赋值法 要读者根据题目结合已知条件进行赋值。这里就需例12.35已知12x =a° a xa?x2 L(1) ai a2a7 ；(2)ai a3 as37；(3) aa234a6 ； a0 3

9、ia7.解析令x 1，则a。a1 a2az1，贝 U aoai a2 a3 a4a5a6因为a。 c° 1，所以ai a2a7(2)()2得qS3 35371094.（+）错误味找到引用源。得aoa2（4）解法一：因为展开式中ao,a2,a4,a6大于2S7X3737.2.34361093'而玄仆玄彳厶耳小于零'所以a。 a(a°a2 a4 a6)(ai aaasa?) =2187.解法二：a0 aia7即为展开式1 2x 7中各项的系数和故只需要对1 2x 7中令xa0 aia?的值等于 37=2187.评注：求矢于展开式中的系数和问题，往往根据展开式的特

10、点给其中字母一些特殊的数值，如等，此即赋值法。变式1已知二项展开式2x 3ao aixa4Xa° a2 2 a4引昭=变式2Xa12X 的展开式中各项系数的和为XX2,则该展开式中常数项为（)A. -40 B. -20 C. 20 D. 40a7 =1即可得1, -1，则例 12.36 若 1 2x2015 = a o aAx2015( x R)，则电卑號的值为(A. 2 B. 0 C. -1 D. -2，令X 0得a。丨，所以a?222吃01522015-a o1，故选C.变式1已知1 X21 xfn1 x =a°a/自然数n的值为()A. 3B. 4C. 5D.6变式2

11、若172xaix Soa?x7 ，贝 U2a2anXl若 ai a2an 129 n，那么737 = 1 1 1解析：存二项式届开式中，令 x .得0 % 尹2题型4 二项展幵式中系数或项的最大、最小问题思路提示系数或项的最大、最小问题需按该项二项式系数最大（小）问题按前述“知识点精讲”原理求解 大于（或小于）等于相邻两项，列不等式组求解。例12.37a bn展开式中：（1）只有第7项的二项式系数最大，则;（2）第7项二项式系数取最大值，n =.分析：只有一项的二项式系数爵大n是偶数；有两项二项式系数最大n是奇数°解析：（1） Tr仁C討b只有Te 1二项式系数最大，错误！未找到引用

12、源。为偶数，最大值为Cn2 c；，6，得n 12 . （2）当n为偶数时，n 12 ；当n为奇数时，最大二项式系数为2n 13 或 n 11.所以 n 11,12,13。、，10变式1求1 X展开式的系数最大项和最小项。11变式2求1 2X展开式中二项式系数最大项数和系数最大项数。有效训练题1.2x21 §的二项展开式中，XX的系数为（A. 10B.-10C.40D. -402. 1n3x (其中6）展开式中，x5与x6的系数相等贝U n -（）A. 6B. 7C.8D. 95的展开式X3x的系数为10 则实数a等干（A. 1 B.丄C. 1D. 27.7项的二项式系数相等，则该展开式中的XA. -24B. -6C. 6D.245若n11展开式中的所有二项式系数和为XA. -84B. 84C. -36D. 366.设 X?91 2x 1 = aoa2 XA. 2B.-1 C. -2D.4. 2x 1的展开式中的常数项为（7的展开式中第3项与第X512,则该展开式中的常数项为（）11aAx，贝U a印an的值为1 X 2。的二项展开式中，X的系数与x9的系数之差为9.10F1 知 X 1ai a?xaux10,若数列玄皑赳.,ak(1 k 11,kZ）是一个单调递增数列，则k的最大值为10.LJ4右