二元一次方程组专题

1、二元一次方程组19知识结构图考点一：代入消元法将其中一个方程中的一个未知数 （最好在方程中系数为 1 或者-1 ）用另一个 未知数表示出来，再代入另一个方程中实现消元，从而转化成一元一次方程 .例题 1.1 ：3x 5y 94x y 12变式 1.1 ：2x 5y 76x 4y 9变式 1.23x 2(3x y) 312x 3(3x y) 20考点二：加减消元法利用等式的性质使方程组中两个方程中的某一个 未知数 前的系数的绝对值 相等，然后把两个方程相加或相减， 以消去这个未知数， 使方程只含有一个未知 数而得以求解。5x 2y 11a1)( a为已知数 )4x 4y 6ax y x y 1变

2、式 2.1 ：( 1) 2 5 13(x y) 2(x y) 62)考点三：代入消元法与加减消元法的综合利用先用加减消元法将方程化简，再利用代入消元法例题 3，解下列方程组45x 33y 241)25x 37y 462) 132x 83y 10583 132y 110变式 3.1 ， 解下列方程组2018x 2020y 30002013x 2015y 3000(1)2) 1997x 1999y 39951999x 1997y 3997考点四：已知方程组的解求系数x例 4.1 （ 1）已知22是方程组13mx 2y 1 的解，则 m2n2 的值为4x ny 7 2y（2）若满足方程组3x 2y

3、4的 x、y 的值相等，则 k kx (2k 1)y6变式 4.1 ：若方程组2x y 32kx (k 1)y的解互为相反数，则10k 的值为3x 4y 2变 式 4.2 若 方 程 组 b 与ax y 523x by 4 有 相 同 的 解 ， 则 a=2x y 5b=考点五：两个方程 3 个未知数，求含未知数代数式的值 把其中一个未知数当成已知数例题 5. 有铅笔，圆珠笔，钢笔三种学习用品，若购买铅笔 3 支，圆珠笔 7 支，钢笔 1 支共 需要 3.15 元，若购买铅笔 4支，圆珠笔 10 支，铅笔 1支共虚 4.2 元。现购买铅笔， 圆珠笔， 钢笔，各一支共需要多少钱？6xy2z0变式

4、 5.1 已知( 其中 z3xy2802x0) 求 x2y2z的值.x 2y 3z 0 变式 5.2 ，已知 求 x: y:z 的值3x 4y 2z 0考点六：方程组有同解及看错系数问题 同解对方程组中每一个方程都成立， 看错解问题：将解代入系数未被看错的方程中，等式成立，求解出相关系数640x 20y n 3x y 8 例题 6.1 ，已知方程组 与方程组 求 m n 的值2x y 7 500x 489y m3x4y5(n8m)x8y 10有解，求 m+n的值5x6y95x(10m2n)y 9变式 6.1 ：关于 x,y 的方程组例题 6.2 甲、乙两人解方程组4x by 1 x 2，甲因看

5、错 a，解得，乙将其中一个方ax by 5 y 3x1程的 b 写成了它的相反数，解得，求 a、b 的值y2ax 5y 15变式 6.2 ：甲、乙两人共同解方程组, 由于甲看错了方程中的 a4x by2得到方程组的解为x 3 ；乙看错了方程中的 b ,得到方程组的解为x 5 。试计算 a2004200511 b 的y1y410值.考点七：方程组有解问题知识点总结： Ax B(1) 若方程有唯一解，则 A 0;(2) 若方程无解，则 A 0,B 0;(3) 若方程有无穷解则 A 0,B 0;若是二元一次方程组有无解问题，则先消元转化成一元一次方程，再利用以上结论。2x y 1例题 7.1 (1)

6、关于 x、y 的二元一次方程组没有解时， mmx 3y 22x y m(2)二元一次方程组有无数解，则 m=， n=x ny 3变式 7.1 ，已知关于 x,y 的方程组ax2x2y2(a1a1)y分别求出 a 为何值时31) 方程有唯一一组解2) 无解3) 有无穷多个解考点八，二元一次方程整数解问题例题 8.1 ，关于 x,y 的方程组的解为整数，且满足： (3x 2y)(2x y) 5,求x, y的值变式 8.1 ，方程组 x y m 的解是正整数，试求整数 m的值5x 3y 11变式 8.2 ，甲种书每本 3 元，乙种书每本 5 元， 38 元可买两种书各几本？考点九：二元一次方程组的应

7、用（中考常考）设未知数找等量关系 - 列方程组 解方程组 - 检验例题 9.1. 某单位组织 34 人分别到井冈山和瑞金进行革命传统教育 , 到井冈山的人数是到瑞 金的人数的 2倍多 1 人,求到两地的人数各是多少 ?设到井冈山的人数为 x 人, 到瑞金的人数 为 y 人, 请列出满足题意的方程组变式 9.1. 我国明代数学家程大位的名著直接算法统宗里有一道著名算题： “一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”意思是：有100个和尚分 100 个馒头， 正好分完； 如果大和尚一人分 3个，小和尚 3人分一个， 试问大、 小和尚各几人？设大、小和尚各有 x，y 人，则可

8、以列方程组例题 9.2 . 小华写信给老家的爷爷 , 问候“八一”建军节 . 折叠长方形信纸、装入标准信封时 发现 : 若将信纸如图连续两次对折后 , 沿着信封口边线装入时 , 宽绰有 3.8 cm; 若将信纸如 图三等分折叠后 ,同样方法装入时 , 宽绰 1.4 cm. 试求信纸的纸长与信封的口宽 .变式 9.2 ，某种为打造书香校园，计划购进甲乙两种规格的书柜放置新购置的图书，调查发 现，若购买甲种书柜 3个，乙种书柜 2个，共需要资金 1020元；若购买甲种书柜 4 个，乙 种书柜 3 个，共需资金 1440元 .（1）甲乙两种书柜每个的价格分别是多少元？（2）若该校计划购进这两种规格的

9、书柜共20 个，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，学校至多提供资金 4320 元，请设计几种购买方案供这个学校选择?灵活运用【 1】 下列说法正确的是（）A. 二元一次方程只有一个解B. 二元一次方程组有无数个解B. 二元一次方程组的解必是它所含的二元一次方程的解D. 三元一次方程组一定由三个三元一次方程组成题文】 把 x=1 代入方程 x-2y=4 ，那么方程 变成()A. 关于 y 的一元一次方程B. 关于 x 的一元一次方程C. 关于 y 的二元一次方程D. 关于 x 的二元一次方程已知关于 x 的方程 x2 (m+2)x+(2m 1)=0.(1)求证：无论 m 取何值，方程总有两

10、个不相等的实数根；(2) 若此方程的一个根是 1，请求出 m 的值及方程的另一个根，并求 以此两根作为两边的等腰三角形 (不是等边三角形 )的周长 .如图，长青化工厂与 A、B 两地有公路、铁路相连这家工厂从 A 地购买一批每 吨 1000 元的原料运回工厂，制成每吨 8000 元的产品运到 B 地，已知公路运价 为 1.5 元/（吨·千米），铁路运价为 1.2 元/（吨 ·千米），且这两次运输共支出公 路运输费 15000 元，铁路运输费 97200 元。求：（1）该工厂从 A 地购买了多少吨原料？制成运往 B 地的产品多少吨？（2）这批产品的销售款比原料费与运输费的和多

11、多少元？.如图，小岛 A 位于港口 P 的西偏南 39°方向，小岛 B 位于 P 的正西方向，且位 于 A 的正北方向，已知小岛 A 与港口 P 相距 81 海里。（1）求小岛 B与港口 P 的距离（精确到 1海里）；（2）甲船从 P 出发驶向 A，乙船从 B 出发驶向 P，甲、乙两船的行驶速度分别 为 12 海里/小时和 9海里/小时，两船同时出发，问：几小时后，它们与 P 的距 离相等？12.阅读并解答下面问题：（1）如图所示，直线 l 的两侧有 A、B 两点，在 l 上求作一点 P，使 AP+BP 的 值最小。（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写画法和证明）（2）如图 A、B 两

12、个化工厂位于一段直线形河堤的同侧， A 工厂至河堤的距离 AC 为 1km ，B工厂到河堤的距离 BD 为 2km，经测量河堤上 C、D 两地间的距 离为 6km ，现准备在河堤边修建一个污水处理厂，为使 A、B 两厂到污水处理厂 的排污管道最短，污水处理厂应建在距 C 地多远的地方？（3）通过以上解答，充分展开联想，运用数形结合思想，请你尝试解决下面问题：若 ，当 x 为何值时， y的值最小，并求出这个最小 值。13.如下图，在矩形 ABCD 中，AB=12 cm ，BC=6 cm点 P沿 AB 边从点 A开 始向点 B以 2 cm/s 的速度移动；点 Q沿 DA 边从点 D 开始向点 A以

13、 1 cm/s 的 速度移动如果 P、Q 同时出发，用 t（s）表示移动的时间（ 0< t<6）那么1）当 t 为何值时， QAP 为等腰直角三角形？2）求四边形 QAPC 的面积，提出一个与计算结果有关的结论；3）当 t为何值时，以点 Q、A、P为顶点的三角形与 ABC 相似？14. 如图，在平面直角坐标系中，已知 Rt AOB 的两条直角边 OA 、OB 分别 在 y 轴和 x 轴上，并且 OA 、OB 的长分别是方程 x27x 12=0 的两根（OA < OB ），动点 P 从点 A 开始在线段 AO 上以每秒 1 个单位长度的速度向点 O 运动；同时，动点 Q 从点

14、B 开始在线段 BA 上以每秒 2 个单位长度的速度向点 A 运动，设点 P 、 Q 运动的时间为 t 秒 .（ 1 ）求 A 、 B 两点的坐标 . （ 2 ）求当 t 为何值时， APQ 与 AOB 相似， 并直接写出此时点 Q 的坐标 .（ 3 ）当 t=2 时，在坐标平面内，是否存在点 M ，使以 A 、 P 、Q 、M 为顶 点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出 M 点的坐标；若不存在，请说 明理由.15.某市为了进一步改善居民的生活环境，园林处决定增加公园 A 和公园 B 的绿 化面积，已知公园 A，B分别有如图 1，图2 所示的阴影部分需铺设草坪， 在甲、 乙两地分别有同种

15、草皮 1608m2 和 1200m2 出售，且售价一样若园林处向甲、 乙两地购买草皮，其路程和运费单价见下表：注：运费单价指将每平方米草皮运送 1 千米所需的人民币）1）分别求出公园 A，B 需铺设草坪的面积；（结果精确到 1m2）2）请设计出总运费最省的草皮运送方案，并说明理由。已知四边形 ABCD 是正方形， O 为正方形对角线的交点，一动点 P 从 B 开始， 沿射线 BC 运到，连结 DP，作 CN DP 于点 M，且交直线 AB 于点 N，连结 OP，ON。（当 P 在线段 BC 上时，如图 9：当 P在 BC 的延长线上时，如图 10） （1）请从图 1，图 2 中任选一图证明下面

16、结论：BN=CP ： OP=ON ，且 OPON（2） 设 AB=4 ，BP= ，试确定以 O、P、B、N 为顶点的四边形的面积 与 的函 数关系。17. 如图，某市两地之间有两条公路，一条是市区公路 ，另一条是外环公路.这两条公路转成等腰梯形，其中.（ 1）求外环公路总长和市区公路长的比；（2）某人驾车从 地出发，沿市区公路去 地，平均速度是 40km/h ，返回时沿外环公路行驶，平均速度是 80km/h ，结果比去时少用了 h，求市区公路的长18. 如图，有一块等腰梯形的草坪，草坪上底长 48 米，下底长 108 米，上下底 相距 40 米，现要在草坪中修建一条横、纵向的 “H型”甬道，甬道宽度相等，甬道面积是整个梯形面积的，设甬道的宽为 x 米1）求梯形 ABCD 的周长；2）用含 x 的式子表示甬道的总长；3）求甬道的宽是多少米？19. 已知， ， 是 的平分线，点 P 在 上， 将 三角板的直角顶点放置在点 P 处，绕着点 P 旋转，CB 交于点 E，另一条直角边 与直线 CA、直线 CB 分别交于点 F、点 G（1）如图 9，当点 F 在射线 CA 上时， 求证： PF = PE设 CF= x，EG=y ， 求 y与 x的函数解析式并写出函数的定义域（2）联结 EF，当CEF与EGP相似时，求 EG 的长20. 如图，在平面直角坐标系中有