最新人教版八年级数学上册第一学期期末专题复习资料

1、1类比归纳专鬆:三角形中内、外角的有关计算2类比归纳专霍；与三角唏言角平分线有巧专鬆:利用全等解决问鬆的模型与技巧4难惑兗专鬆:动态变化中的三角形全第5 易错易泯专题:等腰三角形中易漏礙滲解6 陶妬专题:等腰三角形中帥线的作法7 勰构建专题:共顶点如腰三角形8类比归纳专鬆:证明线段相等的基本思路的问鬆9解基巧专题：睡公式的10 解舷巧专题：选挥合潮方法因式分解M易措专鬆:分 式中帛见的陥阱12解!強巧专鬆:分式运算中的技巧1、类比归纳专题：三角形中内、外角的有关计算全方位求角度类型一 已知角的关系，直接利用内角和或结合方程思想1. 在 ABC 中，/ A-Z B = 35° / C=

2、 55° 则/ B 等于（）A. 50 ° B . 55 ° C. 45 ° D. 40。周国年 10312. 在 ABC 中，已知Z A= 2Z B = 3Z。，则厶 ABC 是（）A 锐角三角形 B 直角三角形C 钝角三角形D 形状无法确定 周国年10313. 如图，在 ABC中，Z C =Z ABC = 2ZA, BD是AC边上的高，求Z DBC的度数.4. 如图， ABC 中，Z B = 26° Z C= 70 ° AD 平分Z BAC, AE丄 BC 于 E, EF丄 AD 于F，求Z DEF的度数.周国年1031类型二综合

3、内外角的性质 周国年10315. 如图，BD、CD分别平分/ ABC和/ ACE,/ A= 60 °则/ D的度数是（）A. 20 °B. 30 °第6题图6. 如图，/ B= 20 ° / A=/ C= 40 ° 则/ CDE 的度数为7. 如图，AD 平分/ BAC，/ EAD =/ EDA .周国年1031求证：/ EAC = / B;若/ B= 50 ° / CAD :/ E= 1 : 3，求/ E 的度数.类型三在三角板或直尺中求角度（2015 - 2016瑶海区期末）将一副三角板按如图所示摆放，图中/120 °

4、B. 105 ° C. 90 ° D. 75 °9.A.将两个含30。和45。的直角三角板如图放置，则/10 ° B . 15 ° C. 20 ° D. 25。周国年伽10. 一副三角板如图所示叠放在一起，则图中/aa的度数是（a的度数是（周国年103111. 如图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若/周国年10311= 55 °则/ 2的度数为类型四与平行线结合12. （2015南充中考）如图，已知 B、C、E在同一直线上，且 CD/ AB，若/ A= 75 ° / B = 40°则/ ACE的度数

5、为（）A. 35 ° B. 40 ° C. 115 ° D. 14513 .如图，AB / CD，直线PQ分别交 AB、AB于点G.若/ PFA = 40 °那么/ EGB等于（CD于点F、E, EG是/ DEF的平分线，交A. 80 ° B. 100 ° C. 110 ° D. 120 ° 周国年103114. 如图，BD是厶ABC的角平分线，DE / BC,交AB于点E, / A= 45 ° / BDC = 60 ° 则 / BDE =15. 如图，在 ABC中，点 D在BC上，点E在AC上

6、，AD交BE于F.已知EG / AD 交 BC 于 G, EH 丄 BE 交 BC 于 H , / HEG = 55°(1) 求/ BFD的度数；(2) 若/BAD = Z EBC, / C = 44 ° 求/ BAC 的度数.类型五与截取或折叠相关16. 如图，把厶ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE的外部时，则Z A与Z 1B. 2/A=Z 1-Z 2D .3/ A= 2(/ 1-Z 2) 周国年1031/ ACB = 90 ° / A= 52 °将其折叠，使点和Z 2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是A.

7、 Z A=Z 1-Z 2C. 3Z A= 2Z 1-Z 217 .如图，Rt ABC 中， 处，折痕为CD，则/ ADB =第18题图第17题图18. 在 ABC中，Z B = 70 °若沿图中虚线剪去 Z B,则Z 1 + Z 2等于.19. 如图.（1）将厶ABC纸片沿DE折叠成图 ，此时点A落在四边形BCDE内部，则 Z A与Z 1、Z 2之间有一种数量关系保持不变，请找出这种数量关系并说明理由.若折成图或图，即点A落在BE或CD上时，分别写出Z A与Z 2、Z A与Z 1之 间的关系式（不必证明）；周国年1031（3）若折成图，写出Z A与Z 1、Z 2之间的关系式（不必证明

8、）.a' I:fj誉A1、参考答案与解析1. C 2.C3.解：设Z A = x,则Z C=Z ABC= 2x.根据三角形内角和为180。知Z C +Z ABC +Z A =180° 即 2x+ 2x+ x= 180° x= 36° /-Z C= 2x= 72°在 Rt BDC 中，/ DBC = 90° / C = 90° 72° = 18°方法点拨：三角形中给出的条件含比例且不易直接求出时，一般需要设未知数， 根据三角形的内角和列方程求解.周国年10314. 解： ABC 中，Z B= 26°

9、 Z C = 70°BAC = 180 °Z B Z C = 180 ° 26°1170° = 84°. v AD 平分Z BAC , /Z DAC = -Z BAC =-X 84° = 42°.在厶 ACE 中，Z CAE= 90°22Z C= 90° 70° = 20° / DAE = Z DAC Z CAE = 42° 20° = 22°vZ DEF +Z AEF = Z AEF + Z DAE = 90°, /Z DEF =Z

10、DAE = 22°5. B 6.80 °7. (1)证明：v AD 平分Z BAC，/Z BAD = Z CAD.又vZ EAD =Z EDA , /Z EAC = Z EAD Z CAD = Z EDA Z BAD = Z B;(2)解：设Z CAD = x° 则Z E= 3x。由(1)知Z EAC =Z B= 50° /Z EAD = Z EDA = (x + 50)。在 EAD 中，vZ E+Z EAD + Z EDA = 180° / 3x° + 2(x+ 50) °= 180° 解得 x = 16. /Z

11、 E= 48 °.周国年 10318. B 9.B10.75 ° 11.35 ° 12.C13.C14.15 °15. 解:(1) v EH 丄 BE，/Z BEH = 90 °vZ HEG = 55 ° /Z BEG=Z BEH Z HEG = 35 °又 v EG / AD , /Z BFD = Z BEG = 35 °(2) vZ BFD = Z BAD + Z ABE ,Z BAD = Z EBC，/Z BFD = Z EBC + Z ABE = Z ABC. 由(1)可知Z BFD = 35°

12、/Z ABC = 35°.vZ C = 44° /Z BAC = 180° Z ABC Z C= 180° 35° 44° = 101°.16. B 17.14 ° 18.250 °19.解：(1)延长BE、CD，交于点卩，则厶BCP即为折叠前的三角形.由折叠的性质知 Z DAE =Z DPE.连接 AP.由三角形的外角性质知Z 1 =Z EAP + Z EPA , Z 2 = Z DAP + Z DPA，则Z 1 + Z 2=Z DAE + Z DPE = 2Z DAE，即Z 1 + Z 2= 2Z A

13、;(2) 图中，Z 2= 2Z A;图中，Z 1 = 2Z A;(3) 图中，Z 2Z 1= 2Z A.2、类比归纳专题：与三角形的高、角平分线有关的计算模型模型1:求同一顶点的角平分线与高线的夹角的度数1. 如图，AD, AE分别是 ABC的高和角平分线.已知/ B= 40 ° / C = 60 °求/ DAE的度数； 周国年1031设/ B=a , / C =厲a<3，请用含 a, B的代数式表示/ DAE ,并证明.模型2:求两内角平分线的夹角的度数2. 如图， ABC中，/ ABC和/ ACB的平分线交于点3. 如图， ABC中，点P是/ ABC,/ ACB的

14、平分线的交点.(1)若/ A= 80 ° 求/ BPC 的度数. 周国年10311有位同学在解答(1)后得出/ BPC = 90°+ 2/ A的规律，你认为正确吗？请给出理由.模型3:求一内角平分线与一外角平分线的夹角的度数4. 如图，在 ABC中，BA1平分/ ABC, CA1平分/ ACD , BA1, CA1相交于点 A1.1求证：/ A1 = 2/ A；(2)如图，继续作/ AiBC和/ AiCD的平分线交于点 A2,得/ A2；作/ A2BC和/A2CD的平分线交于点 A3，得/ A3依此得到/ A2017,若/ A = a,则/ A2017=.BC D模型4:求

15、两外角平分线的夹角的度数【方法 5】5. (1)如图，BO平分 ABC的外角/ CBD , CO平分 ABC的外角/ BCE，则/ BOC 与/ A的关系为;请就(1)中的结论进行证明.2、参考答案与解析1.解：（1） / B = 40 ° / C = 60 ° / BAC = 180B-Z C = 180 °-40 °-60 ° =1 180 °v AE 是角平分线，/ BAE= 2/BAC =壬 80。= 40° ： AD 是高，丄 BAD = 90。 / B =90° 40° = 50°D

16、AE = / BAD / BAE = 50° 40° = 10°1(2) / DAE = 2( 3 %),证明如下：t / B = a, / C a< 3) ,BAC = 180 ° ( a+ 3 . T AE1 1是角平分线，/ BAE= 2/ BAC = 90° 2( a+ 3).t AD 是高，/ BAD = 90。/ B= 90。1 1a, / DAE = / BAD / BAE = 90 ° a 90 ° - ( a+ 3=只 3- a).2. 60°1 13. 解：(1) / BP , CP 为角

17、平分线，/ PBC +/ PCB = 2(/ ABC+Z ACB) = 0(180 °/ A)1=X (180 ° 80°) = 50° / BPC = 180° (/ PBC +Z PCB)= 180° 50°= 130°(2)正确，理由如下：T BP, CP 为角平分线，/ PBC +Z PCB = 2(/ ABC + Z ACB)=1 1 1*180°/ A) = 90。扌/ A，/ BPC = 180° (/ PBC + Z PCB) = 180° 90。A = 90°

18、;1 /八+ 一/ A.周国年103121 14. (1)证明：T CA1 平分/ ACD，/ A1CD = 2/ ACD =刁(/ A+Z ABC).又t/ A1CD1 1=Z A1 + Z A1BC， / A1 + Z A1BC= 2( / A+Z ABC) .t BA1 平分/ ABC，/ A1BC = ?1 1 1/ ABC , 3/ ABC +Z A1= 2(/ A +Z ABC), / A1 =.周国年1031a2201715. (1) / BOC = 90。 2/ A(2)证明：如图，t BO, CO分别是 ABC的外角/ DBC，/ ECB的平分线，/ DBC =2/ 1 =Z

19、 ACB + Z A, / ECB = 2/ 2 = Z ABC + Z A , 2 / 1 + 2/ 2 = 2 / A + Z ABC +1/ ACB = Z A + 180°, / 1 + Z 2 = - / A + 90°.又t/ 1 + / 2 + Z BOC= 180° / BOC =-/ A.周国年10312180 ° (/ 1 + Z 2) = 90 ° 3、解题技巧专题：利用全等解决问题的模型与技巧明模型，先观察，再猜想，后证明类型一 全等三角形的基本模型1.如图，AC= AD , BC = BD，/ A = 50 °

20、;第1题图BF = AC , BC= 7, CD = 2,贝U AF 的第2题图长为_3.AC = 6,A . 22.如图，锐角 ABC的高AD , BE相交于 .周国年1031如图，点A, D,贝U CD的长为B. 4 C .F，若C, E在同一条直线上, (4.5AB/EF, AB = EF，/ B=Z F, AE = 10, ADE 中，/ BAC =Z DAE = 90° AB= AC, AD = AE，点 C, D, E在同一直线上，连接 BD交AC于点F.求证： BAD CAE;猜想BD, CE有何特殊位置关系，并说明理由.4.如图，在 ABC,周国年1031类型二 证明

21、线段间的等量关系一、等线段代换5.如图，Rt ABC中，AB= AC,/ BAC = 90 °直线l为经过点 A的任一直线，BD丄I 于D, CE丄I于E，若BD>CE,试问：(1)AD与CE的大小关系如何？请说明理由；周国年1031线段BD, DE , CE之间的数量关系如何？请说明理由.、截长补短法6.如图，在四边形ABDE中，C是BD边的中点，若AC 平分/ BAE, / ACE = 90 °猜想线段AE、AB、DE的长度满足的数量关系，并证明.周国年1031三、倍长中线法7.在 ABC中，AB = 8, AC= 6，贝U BC边上的中线 AD的取值范围是 ()

22、A. 6v AD v 8B. 2v AD v 14C. 1v AD v 7D .无法确定 周国年10313、参考答案与解析1. 110 ° 2.3 3.A4. (1)证明：I/ BAC = / DAE = 90 ° / BAC+Z CAD = / DAE + / CAD，即/ BAD =/ CAE.在 BAD 和 CAE 中，/ AB = AC ,/ BAD = / CAE , AD = AE , BAD CAE (SAS).(2)解：BD 丄 CE.理由如下：由可知 BAD CAE, ABD = Z ACE.：/ BAC= 90 ° / ABD + / AFB

23、= 90°又AFB = / DFC ,ACE + / DFC = 90° BDC = 90° 即BD 丄 CE.5. 解：(1)AD = CE.理由如下：T BD 丄 I 于 D , CE 丄 I 于 E, / BDA =/ AEC= 90 °/ CAE + / ACE = 90°.BAC = / 90° , BAD +/ CAE = 90°, BAD = / ACE.又 / AB = AC ,ABDCAE(AAS) , AD = CE.(2)BD = DE + CE.理由如下：由 可知 ABD CAE , BD = AE

24、, AD = CE.又t AE =DE + AD , - BD = DE + CE.周国年 10316. 解：AE= AB + DE.证明如下：如图，在 AE上截取 AF = AB ,并连接 CF.： AC平分 / BAE, / BAC = / CAF.又：AC = AC , BAC FAC(SAS), BC = FC , / ACB = / ACF.：/ ACE = 90°，/ACF +/ FCE = 90°, / ACB+Z DCE = 90° , FCE = / DCE. 又：C 为 BD 的中点, BC = DC, DC = FC. 又: CE = CE

25、, FCE DCE(SAS) , DE =FE , AE = AF + FE = AB+ DE .周国年1031n c u7. C4、难点探究专题：动态变化中的三角形全等以“静”制“动”，不离其宗类型一动点变化1. 如图，Rt ABC 中，/ C = 90° AC = 6, BC= 3, PQ = AB,点 P 与点 Q 分别在 AC 和AC的垂线AD上移动，则当 AP =时， ABC和厶APQ全等.周国年1031LQA一P2. 如图， ABC 中，AB= AC = 12cm,/ B=Z C, BC= 8cm，点 D 为 AB 的中点.女口 果点P在线段BC上以2cm/s的速度由B点

26、向C点运动，同时，点 Q在线段CA上由C点 向A点运动.若点 Q的运动速度为 vcm/s，则当 BPD与厶CQP全等时，v的值为 【提示：三角形中有两个角相等，则这两个角所对的边相等】3. (2016 州中考) ABC 中,/ BAC = 90° AB = AC( / ABC = / ACB = 45°，点 D 为直线BC上一动点(点D不与B, C重合)，以AD为边在AD右侧作正方形 ADEF，连接CF.【方法11】观察猜想：如图，当点D在线段BC上时， BC与CF的位置关系为 ; 线段BC, CD , CF之间的数量关系为 (将结论直接写在横线上).USFAl;U/ C图

27、（D(2)数学思考：如图，当点D在线段CB的延长线上时，结论，是否仍然成立?若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明.周国年1031类型二图形变换4. 如图甲，已知A, E, F, C在一条直线上，AE = CF，过E, F分别作DE丄AC,BF丄AC, 且AB= CD，连接BD.(1) 试问 OE= OF 吗？请说明理由；周国年1031(2) 若厶DEC沿AC方向平移到如图乙的位置，其余条件不变，上述结论是否仍成立？请说明理由.5. 如图，在 Rt ABC中，/ ACB = 90°点D, F分别在 AB, AC上，CF = CB，连接 CD，将线段CD绕点C按顺时针

28、方向旋转 90。后得CE，连接EF.求证： BCD FCE ;若EF / CD，求/ BDC的度数.4、参考答案与解析1 . 3 或 6 解析： ABC 和厶 APQ 全等，AB = PQ ,有 ABCA QPA 或 ABC PQA当 ABC QPA 时，则有 AP = BC= 3;当厶 ABC PQA 时，则有 AP = AC = 6,二当AP = 3或6时， ABC和厶APQ全等，故答案为 3或6.2. 2或3 解析：当BD = PC时， BPD与厶CQP全等点 D为AB的中点， BD1=2AB= 6cm,. PC= 6cmBP= 8-6= 2(cm) 点 P 在线段 BC 上以 2cm/

29、s 的速度由 B 点向 C 点运动，运动时间为 Is.tA DBP PCQ , CQ = BP = 2cm, a v = 2-1 = 2(cm/s); 当 BD = CQ 时， BDP QCP. PB= PQ, / B=Z CQP.又律 B = Z C,C=Z CQP, PQ = PC,. PB = PC.t BD = 6cm, BC= 8cm, PB= PC, QC= 6cm, BP = 4cm,运 动时间为4-2= 2(s),A v = 6-2 = 3(cm/s)，故答案为 2或3.3解：垂直 BC= CD + CF(2)CF丄BC成立；BC= CD + CF不成立，正确结论：CD = C

30、F + BC.证明如下：正方形 ADEF 中，AD = AF，/ DAF = / BAC = 90°BAD =Z CAF .AD = AF ,在厶 DAB 与厶 FAC 中， / BAD = Z CAF , /. DAB FAC(SAS)，/ ABD = Z ACF, DBAB = AC,=CF.vZ ACB = Z ABC = 45°ABD = 180° 45°= 135°BCF =Z ACF-Z ACB =/ ABD -Z ACB = 90° CF 丄 BC. / CD = DB + BC , DB = CF , CD = CF

31、+ BC.4. 解：(1)OE = OF.理由如下：t DE 丄 AC, BF 丄 AC , DEC = Z BFA = 90 °.v AE =AB = CD,CF , AE + EF = CF + EF ,即 AF = CE.在 Rt ABF 和 Rt CDE 中，AF = CE ,Z BFO =Z DEO , Rt ABFRt CDE(HL) , BF = DE.在厶 BFO 和厶 DEO 中， Z BOF = Z DOE ,BF = DE, BFO DEO (AAS) , OE= OF.周国年 1031(2)结论依然成立.理由如下：T AE = CF, AE - EF = CF

32、 - EF , AF = CE.同(1)可得 BFO也厶DEO, FO = EO ,即结论依然成立.5. (1)证明：将线段 CD绕点C按顺时针方向旋转 90。后得CE , CD = CE , Z DCE =90° tZ ACB = 90° , aZ BCD = 90° - Z ACD = Z FCE.在 BCD 和 FCE 中,CB= CF ,Z BCD = Z FCE ,CD = CE , BCD FCE (SAS).(2)解：由(1)可知Z DCE = 90 ° BCD FCE, BDC =Z E.t EF / CD , E =180 °

33、-Z DCE = 90 ° , aZ BDC = 90 °5、易错易混专题：等腰三角形中易漏解或多解的问题易错归纳，各个击破类型一求长度时忽略三边关系1. （2017贺州中考）一个等腰三角形的两边长分别是4 , 8,则它的周长为（）A. 12B. 16 C. 20D. 16 或 20 周国年10312学习了三角形的有关内容后，张老师请同学们交流这样一个问题：“已知一个等腰 三角形的周长是 12，其中一条边长为 3，求另两条边的长” 同学们经过片刻思考和交流后， 小明同学举手说：“另两条边长为3、6 或 4.5、4.5.”你认为小明的回答是否正确： 理由是 周国年 10313

34、已知等腰三角形中，一腰上的中线将三角形的周长分成6cm 和 10cm 两部分，求这个三角形的腰长和底边的长4.已知等腰三角形的一个内角为A 100°B40°5等腰三角形的一个外角等于 ）A 40°，40° B 80°， 20°类型二当腰或底不明求角度时没有分类讨论周国年103140°，则这个等腰三角形的顶角为（）C 40°或 100 °D 60°100°，则与这个外角不相邻的两个内角的度数分别为C80°，80°D50°， 50°或 80°

35、;，20°6已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1 : 4,则这个等腰三角形顶角的度数为类型三 三角形的形状不明时没有分类讨论7等腰三角形的一个角是50 °则它一腰上的高与底边的夹角是（）A 25 °B 40 ° C. 25。或 40 °D .不能确定&在厶ABC中，AB= AC, AB的垂直平分线与 AC所在的直线相交所得到的锐角为50°,则/ B等于.9如果两个等腰三角形的腰长相等、面积也相等，那么我们把这两个等腰三角形称为一对合同三角形.已知一对合同三角形的底角分别为X。和y°则（用含x的代数式表示）周国年10

36、3110已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为20°求顶角的度数.类型四一边确定，另两边不确定，求等腰三角形个数时漏解11. （2016武汉中考）平面直角坐标系中，已知A（2, 2）、B（4, 0） 若在坐标轴上取点 C,使厶ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（）A 5 B 6 C. 7 D 812. 如图，在4X 5的点阵图中，每两个横向和纵向相邻阵点的距离均为1,该点阵图C,使得以点A, B, C为顶点中已有两个阵点分别标为 A, B，请在此点阵图中找一个阵点的三角形是等腰三角形，则符合条件的C点有个.5、参考答案与解析1. C2. 不正确没考虑三角形三边关系1

37、3解：设腰长为xcm,腰长与腰长的一半是 6cm时，x+ 2x= 6,解得x= 4,.底边12. A 12.5 周国年10311长=10-2X 4= 8（cm）. v 4 + 4 = 8, 4cm、4cm、8cm不能组成三角形；腰长与腰长的半是10cm时，x+ 1x= 10,解得x = 20,-底边长=6 1x 20 =細），三角形的三边20 20 8 20 8长为ycm> cm> 3cm，能组成三角形.综上所述，三角形的腰长为gem,底边长为3cm.4. C 5.D 周国年10316. 120 或 20 °7.C8.70 或 20 °9.x或90 x解析：两个

38、等腰三角形的腰长相等、面积也相等，腰上的高相等.当这两个三角形都是锐角或钝角三角形时，y= x,当两个三角形一个是锐角三角形，一个是钝角三角形时，y= 90 x.故答案为x或90 x.10.解：此题要分情况讨论：当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在其外部如图 所示，得顶角/ ACB = / D + Z DAC = 90° + 20° = 110°当等腰三角形的顶角是锐角时， 腰上的高在其内部，如图所示，故顶角/A = 90。 / ABD = 90° 20。= 70°.综上所述，顶角的度数为110°或70°.6、解题技巧专题

39、：等腰三角形中辅助线的作法形成精准思维模式，快速解题类型一利用“三线合一”作辅助线一、已知等腰作垂线（或中线、角平分线）11. 如图，在 ABC 中，AB= AC, AE丄 BE 于点 E,且 BE = qBC，若/ EAB = 20° 则/ BAC = .周国年10312. 如图，在 ABC中，AB= AC, D为BC边的中点，过点 D作DE丄AB, DF丄AC, 垂足分别为E, F.求证：DE = DF ;若/ A= 90°图中与DE相等的有哪些线段（不说明理由）？3. 如图， ABC 中，AC = 2AB , AD 平分/ BAC 交 BC 于 D , E 是 AD

40、上一点，且 EA= EC, 求证：EB丄AB.二、构造等腰三角形4. 如图， ABC的面积为1cm2, AP垂直/ ABC的平分线BP于卩，则厶PBC的面积为（）A. 0.4cm2 B. 0.5cm2 C. 0.6cm2 D. 0.7cm2 周国年10315. 如图，已知 ABC是等腰直角三角形，/ A= 90 ° BD平分/ ABC交AC于点D,CE 丄BD.求证：BD = 2CE.类型二 巧用等腰直角三角形构造全等6. (2016铜仁中考)如图，在厶ABC中，AC= BC, / C = 90 ° D是AB的中点，DE丄DF , 点E, F分别在AC, BC上，求证：DE

41、 = DF .类型三 等腰(边)三角形中截长补短或作平行线构造全等7. 如图，已知 AB= AC, Z A= 108 ° BD 平分/ ABC 交 AC 于 D，求证：BC= AB + CD.&如图，过等边厶 ABC的边AB上一点P,作PE丄AC于E, Q为BC延长线上一点, 且FA= CQ ,连PQ交AC边于D.(1) 求证：PD = DQ ； 周国年1031(2) 若厶ABC的边长为1,求DE的长.6、参考答案与解析1. 402. 证明：如图，连接AD. / AB= AC,D是BC的中点，二/ EAD = Z FAD.又；DE丄AB, DF 丄AC,. DE = DF .

42、(2)解：若/ BAC = 90°图中与 DE相等的有线段 DF , AE, AF, BE, CF.周国年103113. 证明：如图，作EF丄AC 于 F.t EA = EC,. AF = FC = 2AC.V AC = 2AB ,a AF =AB.v AD 平分/ BAC,：/ BAD = Z CAD.又t AE = AE,.A ABEAFE(SAS) ,./ ABE=Z AFE = 90° EB丄AB.4. B5.证明：如图，延长 BA 和 CE 交于点 M.t CE丄BD , / BEC=/ BEM = 90°.v BD1 平分/ ABC , / MBE =

43、 / CBE.又t BE = BE , BMEBCE(ASA) , EM = EC =MC.tA ABC 是等腰直角三角形，/ BAC = / MAC = 90 ° BA = AC , / ABD +/ BDA = 90 °t/ BEC = 90 ° / ACM + / CDE = 90 ° t/ BDA =/ EDC, / ABE =/ ACM 又t AB =AC ,ABD ACM(ASA) , DB = MC , BD = 2CE.6.证明：如图，连接 CD.t AC= BC , D是AB的中点， CD平分/ ACB , CD丄AB , / CDB

44、= 90° t/ ACB = 90° ° / BCD = / ACD = 45°, / B = 180° / CDB / BCD = 45 ° , / ACD = / B = / BCD , CD = BD.t ED 丄 DF , / EDF = / EDC + / CDF = 90 ° 又t/ CDF + / BDF = 90° , / EDC = / BDF ,ECD FBD(ASA) , DE = DF.7. 证明：如图，在线段 BC上截取 BE= BA ,连接 DE.t BD平分/ ABC , / ABD

45、=/ EBD.又t BD = BD , ABD EBD (SAS) , / BED = / A= 108° / DEC = 180° 1/ DEB = 72° 又T AB= AC, / A= 108° /-Z ACB =Z ABC =寸(180。一 108° = 36° /-Z CDE =Z DEB Z ACB = 180° 36° = 72° /Z CDE = Z DEC，/ CD = CE,/. BC = BE + EC = AB + CD.8. (1)证明：如图，过 P 作 PF / BC 交 AC

46、 于点 F，/ AFP =Z ACB, Z FPD =Z Q, Z PFD =Z QCD. / ABC 为等边三角形，/Z A=Z ACB = 60° Z AFP = 60° / APF 是 等边三角形，/ AP = PF. / AP= CQ,/. PF = CQ,/.A PFD QCD (ASA)，/ PD = DQ.(2)解： APF是等边三角形,PE 丄AC，/ AE = EF.tA PFDQCD ,/ CD = DF ,/ DE = EF + DF = 1aC.又t AC= 1，/ DE =7、模型构建专题：共顶点的等腰三角形明模型，悉结论 类型一 共直角顶点的等腰

47、直角三角形1.如图，已知 ABC和厶DBE均为等腰直角三角形.(1)求证：AD = CE;猜想：AD和CE是否垂直？若垂直，请说明理由；若不垂直，则只要写出结论，不 用写理由.周国年1031类型二 共顶点的等边三角形2 .如图，等边 ABC中，D是AB边上的动点，以 CD为一边，向上作等边 EDC , 连接AE. DBC和厶EAC会全等吗？请说明理由；试说明AE/ BC的理由；如图，将 中动点D运动到边BA的延长线上，所作仍为等边三角形，请问是否 仍有AE / BC ?证明你的猜想.也i性27、参考答案与解析1. (1)证明： ABC和厶DBE均为等腰直角三角形， AB = BC, BD =

48、BE ,/ ABC = Z DBE = 90° ,ABC -Z DBC =Z DBE -Z DBC，即/ ABD = Z CBE , ABD CBE(SAS), AD = CE.(2)解：垂直.理由如下：如图，延长AD分别交BC和CE于G和F.v ABD CBE , Z BAD = Z BCE. tZ BAD + Z ABC + Z BGA =Z BCE + Z AFC + Z CGF = 180° Z BGA = Z CGF ,/ AFC = Z ABC = 90° AD 丄 CE.2. 解：(1) DBC和厶EAC全等.理由如下： ABC和厶EDC为等边三角形

49、， BC =AC, DC = EC,Z ACB = Z DCE = 60°,ACB-Z ACD = Z DCE -Z ACD，即Z BCD=Z ACE , DBC EAC(SAS).(2) / DBC EAC ,/ EAC = Z B = 60°.又tZ ACB = 60°, EAC = Z ACB , AE / BC.(3) 仍有AE / BC.证明如下： ABC , EDC为等边三角形， BC = AC, DC = CE ,Z BCA = Z DCE = 60°BCA + Z ACD = Z DCE + Z ACD，即Z BCD = Z ACE.在厶

50、 DBCBC = AC,和厶 EAC 中，t Z BCD = Z ACE,/. DBC EAC(SAS) , EAC = Z B = 60° 又CD = CE,tZ ACB = 60° / EAC=Z ACB , AE / BC.周国年10314. (2016 2017孝南区期末)如图，在 ABC中，/ ACB= 2/ B,/ BAC的平分线 AD&类比归纳专题：证明线段相等的基本思路理条件、定思路，几何证明也容易 类型一 已知“边的关系”或“边角关系”用全等 周国年10311.如图，已知 AB = AE, BC = ED，/ B = Z E, AF丄CD , F为

51、垂足，求证： AC= AD;(2)CF = DF .周国年 10312.如图，/ C = 90 ° BC = AC, D、E分别在 BC和AC上，且 BD = CE, M是AB的中点.求证： MDE是等腰三角形.类型二 已知角度关系或线与线之间的位置关系用“等角对等边”3. 如图，在 ABC中，CE、CF分别平分/ ACB和厶ACB的外角/ ACG, EF / BC交AC于点D,求证：DE = DF. 周国年1031 交BC于D，过C作CN丄AD交AD于H，交AB于N.周国年1031(1) 求证：AN = AC;(2) 试判断BN与CD的数量关系，并说明理由.类型三已知角平分线、垂直

52、或垂直平分用相应的性质5. 如图， ABC中，/ CAB的平分线与 BC的垂直平分线 DG相交于D，过点D作DE 丄AB, DF 丄 AC,求证：BE = CF. 周国年10316. 如图，在 ABC中，/ C= 90° AD是/ BAC的平分线，DE丄AB于E, F在AC 上, BD = DF.求证：(1) CF = EB;(2) AB= AF + 2EB.周国年 1031&参考答案与解析1. 证明：在厶 ABC 和厶 AED 中，AB = AE, / B = Z E,BC = ED，丄 ABC AED , AC = AD ;(2)在 Rt ACF 和 Rt ADF 中，A

53、C= AD , AF = AFACF ADF , CF = DF.2证明：连接 CM，贝U BM = CM，且 CM 丄 MB，/ B=Z MCE = 45° BM = AM = CM.在厶 MBD 和厶 MCE 中，BM = CM，/ B = Z MCE , BD = CE, MBD MCE , DM =EMMDE是等腰三角形.BC EA3. 证明：T CE是厶ABC的角平分线，/ ACE=Z BCE.tCFABC外角/ ACG 的平分线，/ ACF = Z GCF.t EF / BC，/ GCF =Z F，/ BCE = Z CEF.aZ ACE = / CEF，/ F = Z

54、DCF , CD = ED , CD = DF , DE = DF .4. (1)证明：T CN 丄 AD, AHN = Z AHC = 90。又t AD 平分/ BAC , NAH =Z CAH. 又在 ANH 和厶 ACH 中，/ AHN + Z NAH + Z ANH = 180° / AHC + Z CAH + Z ACH = 180 °/ ANH = Z ACH , AN= AC;AN = AC ,(2)解：BN = CD.理由如下：连接ND.在厶AND和厶ACD中，/ NAD = CAD，AD = AD , AND ACD (SAS), DN = DC, / A

55、ND = Z ACD.又t/ ACB = 2 / B, AND = 2/ B. 又丄 BND 中，/ AND = / B +Z NDB , / B = / NDB , NB= ND , BN = CD.5. 证明：连接 BD、CD.t AD 是/ FAE 的平分线，DE 丄 AB, DF 丄AC, DE = DF .t DG 是 BC 的垂直平分线， BD = CD. Rt CDF 也 Rt BDE.a BE= CF.周国年 1031AE if6. 证明：(1)T AD 是/ BAC 的平分线，DE 丄 AB, DC±AC, DE = DC.又t BD = DF , Rt CFD也 Rt EBD(HL) . CF = EB;(2)在 Rt ADC 和 Rt ADE 中，AD = AD, DC = DE , Rt ADC 也 Rt ADE , AC = AE ,