专题18,导数大题专项练习（文）（解析版）

1、专题18,导数大题专项练习（文）（解析版） 1 题 专题 18 导数大题专项练习 一、巩固基础知识 1已知函数 1 623) (2 3+ - - = x x x x f 。 (1)求 ) (x f 的极值； (2)求 ) (x f 在区间 4 2 ， - 上的最小值。 【解析】(1) ) 2 )( 1 ( 3 6 3 3 ) (2- + = - - = ¢ x x x x x f ，令 0 ) ( =¢ xf ，则 1 - = x 或 2 = x ， 当 1 - < x 或 2 > x 时 0 ) ( >¢ xf ，故 ) (x f 在区间 )

2、1 ( - -¥， 或 ) 2 ( ¥ + ， 上单调递增， 当 2 1 < < - x 时 0 ) ( <¢ xf ，故 ) (x f 在区间 ) 2 1 ( ， - 上单调递减， 故函数 ) (x f 的极大值为29) 1 ( = - f ，极小值是 9 ) 2 ( - = f ； (2) 1 ) 2 ( - = - f ， 17 ) 4 ( = f ，由(1)知，29) ( =极大值x f ， 9 ) ( - =极小值x f ， 比较可知四个数中的最小值为 ) (x f 在区间 4 2 ， - 上的最小值，为 9 - 。 2函数 x b x

3、 a x x f ln ) (2× + × + = 的图像在点 ) 0 1 ( ， p 处的切线斜率为 2 。 (1)求 a 、 b 的值； (2)证明： 2 2 ) ( - £ x x f 对任意正实数 x 恒成立。 【解析】(1)解：由题设可知 ) (x f 的定义域为 ) 0 ( ¥ + ， ， ) (x f y = 在点 ) 0 1 ( ， p 处切线的斜率为 2 ， 0 1 ) 1 ( = + = a f ， 2 2 1 ) 1 ( = + + = ¢ b a f ，则 1 - = a ， 3 = b ， (2)证明：由(1)知 x

4、x x x f ln 3 ) (2+ - = ( 0 > x )， 2 2 ) ( - £ x x f ， 设 x x x x x f x g ln 3 2 2 2 ) ( ) (2+ - - = + - = ， 则xx xxx x g) 3 2 )( 1 ( 32 1 ) (2+ - = + - - = ¢ ， 当 1 0 < < x 时， 0 ) ( >¢ xg ，当 1 > x 时， 0 ) ( <¢ xg ， ) (x g 在 ) 1 0 ( ， 上单调递增，在 ) 1 ( ¥ + ， 上单调递减。

5、) (x g 在 1 = x 处有最大值 0 ) 1 ( = g ， 0 2 2 ) ( £ + - x x f ，即 2 2 ) ( - £ x x f ，原命题得证。 3设函数xe x x f × = ) ( 。 (1)求曲线 ) (x f 在 1 = x 处的切线方程； (2)求 ) (x f 的单调区间与极值； (3)若方程 0 = - × a e xx有实数解，求实数 a 的范围。 【解析】(1)xe x x f × = ) ( 的定义域为 r ，xe x x f × + = ¢ ) 1 ( ) ( ， e f 2

6、 ) 1 ( = ¢ ，又 e f = ) 1 ( ， 2 曲线 ) (x f 在 1 = x 处的切线方程为 ) 1 ( 2 - × = - x e e y ，即 0 2 = - - e y ex ； (2)xe x x f × + = ¢ ) 1 ( ) ( ，令 0 ) ( =¢ xf ，得 1 - = x ，列表如下： ) (x f 的单调递减区间是 ) 1 ( - -¥， ，单调递增区间是 ) 1 ( ¥ + - ， ，ef x f1) 1 ( ) ( - = - =极小值； (3) ) (x f 在 r 上左减右

7、增，且在 1 - = x 处取极小值，无极大值，则ex f x f1) ( ) (min- = =极小值， 又 0 = - × a e xx可化简为 a e xx= × ，可看作xe x y × = 与 a y= 图象交点，则ea1- ³ 。 4已知函数 x ax x x f 3 ) (2 3- - = 。 (1)若 ) (x f 在区间上 ) 1 ¥ + ， 是增函数，求实数 a 的取值范围； (2)若31- = x 是 ) (x f 的极值点，求 ) (x f 在 1 a ， 上的最大值和最小值。 【解析】(1) 3 2 3 ) (2- -

8、 = ¢ ax x x f ， ) (x f 在区间上 ) 1 ¥ + ， 是增函数， 则 0 ) ( ³¢ xf 在 ) 1 ¥ + ， 恒成立，即 )1(23xx a - £ 在 ) 1 ¥ + ， 恒成立， min)1(23xx a - £ ，xx1- 在 ) 1 ¥ + ， 为增函数，则 0 )1(min =-xx ， 0 £ a ； (2) 3 2 3 ) (2- - = ¢ ax x x f ，31- = x 是 ) (x f 的极值点， 0 3 )31( 2 )31( 3

9、 )31(2= - - ´ - - ´ = - ¢ a f 解得 4 = a ， x x x x f 3 4 ) (2 3- - = ， 0 ) 1 3 )( 3 ( 3 8 3 ) (2= + - = - - = ¢ x x x x x f ， 3 = x 或31- = x ， 列表如下： x 1 - )311 ( - - ， 31- ) 331( ， - 3 ) 4 3 ( ， 4 ) (xf ¢ 0 ) ( >¢ xf 0 ) ( =¢ xf 0 ) ( <¢ xf 0 ) ( =¢ x

10、f 0 ) ( >¢ xf ) (x f 2 - 增函数 2714 减函数 18 - 增函数 12 - 2714)31( ) (max= - = f x f ， 18 ) 3 ( ) (min- = = f x f 。 二、扩展思维视野 5已知函数 x ax x x f 3 ) (2 3- - = ( r aÎ )。 (1)若 0 ) 3 ( =¢ f，求 ) (x f 在 4 1 ， 上的最小值和最大值； x ) 1 ( - -¥， 1 - ) 1 ( ¥ + - ， ) (xf ¢ 0 ) ( <¢ xf 0

11、 0 ) ( >¢ xf ) (x f ¯ 极小值 ­ 3 (2)若 ) (x f 在 ) 1 ¥ + ， 上是增函数，求实数 a 的取值范围。 【解析】(1) ) (x f 的定义域为 r ， 3 2 3 ) (2- - = ¢ ax x x f ，由 0 ) 3 ( =¢ f得 0 3 6 27 = - - a ，解得 4 = a ， 3 8 3 ) (2- - = ¢ x x x f ，令 0 ) ( =¢ xf ，即 0 ) 3 )( 1 3 ( 3 8 32= - + = - - x x x x ，

12、 解得31- = x 或 3 = x ， x 1 ) 3 1 ( ， 3 ) 4 3 ( ， 4 ) (xf ¢ 0 ) ( <¢ xf 0 0 ) ( >¢ xf ) (x f 6 - ¯ 极小值 18 - ­ 12 - ) (x f 在 4 1 ， 上的最小值是 18 ) 3 ( - = f ，最大值是 6 ) 1 ( - = f ； (2)由题意得： 0 3 2 3 ) (2³ - - = ¢ ax x x f 在区间 ) 1 ¥ + ， 上恒成立， )1(23xx a - £ ， 又当

13、 1 ³ x 时， )1(23) (xx x g - = 是增函数，其最小值为 0 ) 1 ( = g ， 0 £ a ， 即实数 a 的取值范围是 0 ( ， -¥ 。 6已知函数 cx e x fx- - =-) ( ( r cÎ )。 (1)若 0 £ c ，函数 ) (x f 在区间 2 1 ， - 上的最小值为 e - -1 ，求 c 的值； (2)设xe x f x g + = ) ( ) ( ，若函数 ) (x g 有极值，求实数 c 的取值范围。 【解析】(1) ) (x f 的定义域为 r ， c e x fx- = 

14、2;-) ( ， 若 0 £ c ，则 0 ) ( >¢ xf 恒成立， ) (x f 在 r 上单调递增， 函数 ) (x f 在区间 2 1 ， - 上的最小值为 e c e f - - = + - = - 1 ) 1 ( ，则 1 - = c ； (2)由题意得： cx e e e x f x gx x x- - = + =-) ( ) ( ( r cÎ )， ) (x g 的定义域为 r ， 则 c e e x gx x- + = ¢-) ( ，而 2 2 = × ³ +- - x x x xe e e e ，当且仅当

15、0 = x 时取等号，分两种情况： 当 2 £ c 时，对任意 r xÎ ， 0 ) ( ³¢ xg 恒成立，此时 ) (x g 无极值， 当 2 > c 时，令 t e x = ，方程 0 12= + -ct t 有两根，2421- -=c ct ，2422- +=c ct ， 0 ) ( =¢ xg 有两个根24ln ln21 1- -= =c ct x ，24ln ln22 2- += =c ct x ， 当2 1x x x < < 时， 0 ) ( <¢ xg ， ) (x g 在区间 ) (2 1x

16、x， 上单调递减， 当1x x < 或2x x > 时 0 ) ( >¢ xg ， ) (x g 在区间 ) (1x ， -¥ 和 ) (2¥ + ， x 上单调递增， 从而 ) (x g 在1x x = 处取极大值，在2x x = 处取极小值， 综上，若函数 ) (x g 有极值，则实数 c 的取值范围为 ) 2 ( ¥ + ， 。 7设函数 k bx ax x f + + =2) ( ( 0 > k )在 0 = x 处取得极值，且曲线 ) (x f y = 在点 ) 1 ( 1 ( f ， 处的切线垂直于直线 0 1 2 =

17、 + + y x 。 4 (1)求 a 、 b 的值； (2)若函数) () (x fex gx= ，讨论 ) (x g 的单调性。 【解析】(1) ) (x f 的定义域为 r ， b ax x f + = ¢ 2 ) ( ， 又 ) (x f 在 0 = x 处取极值，故 0 = b ， 由曲线 ) (x f y = 在点 ) 1 ( 1 ( f ， 处的切线垂直于直线 0 1 2 = + + y x 相互垂直可知， 该切线斜率为 2 ，即 2 ) 1 ( =¢ f，有 2 2 = a ， 1 = a ； (2)由(1)知，k xex gx+=2) ( ( 0 >

18、 k )， ) (x g 的定义域为 r ，2 22) () 2 () (k xk x x ex gx+ -= ¢ ( 0 > k )， 令 0 ) ( =¢ xg ，则 0 22= + - k x x ， k 4 4- = d ， 当 0 £ d 即 1 ³ k 时，对 r xÎ " 都有 0 ) ( ³¢ xg 恒成立，则 ) (x g 在 r 内单调递增， 当 0 > d 即 1 0 < <k 时，方程 0 ) ( =¢ xg 有两个不同的实根： k x - - = 1 11

19、， k x - + = 1 12，2 1x x < ， 则 ) (x f 在 ) 1 1 ( k - - -¥， 和 ) 1 1 ( ¥ + - + ， k 上单调递增， 在 ) 1 1 1 1 ( k k - + - - ， 是上单调递减。 三、提升综合素质 8已知 1 ) 1 ( ) ( - - × = x e x fx。 (1)求函数 ) (x f 在区间 2 1 ， - 上的值域； (2)当 0 ³ x 时， ax x f £ ) ( 恒成立，求实数 a 的取值范围。 【解析】(1) ) (x f 的定义域为 r ， ) ( )

20、( x e x fx- × = ¢ ， 令 0 ) ( <¢ xf 得 0 > x ，则 ) (x f 在区间 ) 0 ( ， -¥ 上单调递减， 令 0 ) ( >¢ xf 得 0 < x ，则 ) (x f 在区间 ) 0 ( ¥ + ， 上单调递增， 而 1 2 ) 1 (1- = -e f ， 1 ) 2 (2- - = e f ， 0 ) 0 ( = f ，则 ) 2 ( ) 1 ( ) 0 ( f f f > - > ， 故 ) (x f 在区间 2 1 ， - 上的值域为 0 1 2，

21、 - -e ； (2) ax x f £ ) ( ，即 ax x e x £ - - 1 ) 1 ( ，即 0 1 ) 1 ( £ - - - ax e xx， 令 1 ) 1 ( ) ( - - - = ax e x x gx( 0 ³ x )，则只需证明 0 ) (max £x g ， 则 a xe x gx- - = ¢ ) ( ，x x xe x xe e x g ) 1 ( ) ( - - = - - = ¢ ¢ ，对于 0 ³ x 时， 0 ) ( <¢ ¢ xg 恒

22、成立， ) (xg¢在 ) 0 ¥ + Î ， x 上单调递减， a g - =¢ )0 ( ， 当 0 ³ a 时， 0 ) 0 ( ) ( £ ¢ £ ¢ g x g ， ) (x g 在 ) 0 ¥ + ， 上单调递减， 则 0 ) 0 ( ) ( = £ g x g ，满足 0 ) (max £x g ， 5 当 0 < a 时， 1 >-ae ，则 0 ) 0 ( > - = ¢ a g ， 0 ) 1 ( ) ( < - = -

23、× = - ¢- - a ae a a e a a g ， 则存在 ) 0 (0a x - Î ， 使得 0 ) (0=¢ xg ， 当 ) 0 0x x ， Î 时 0 ) ( >¢ xg ， ) (x g 在 ) 0 0x ， 上单调递增， 当 ) (0a x x - Î ， 时 0 ) ( <¢ xg ， ) (x g 在 ) (0a x - ， 上单调递增减， 又 0 ) 0 ( = g ， 0 ) (0> x g ， 0 < a 不满足 0 ) (max £x g ， 综

24、上可得 0 ³ a ，故实数 a 的取值范围为 ) 0 ¥ + ， 。 9已知函数 x a x x f ln ) ( × - = ( r aÎ )。 (1)设函数xax f x h+ =1) ( ) ( ，求函数 ) (x h 的单调区间； (2)若xax g+- =1) ( ，在 1 e ， 上存在一点0x ，使得 ) ( ) (0 0x g x f £ 成立，求 a 的取值范围。 【解析】(1)xax a x x h+ × - =1ln ) ( ，定义域为 ) 0 ( ¥ + ， ， 2 222) 1 ( ) 1 ( )

25、 1 ( 11 ) (xa x xxa ax xxaxax h+ - +=+ - -=+- - = ¢ ， 当 0 1> + a ，即 1 - > a 时，令 0 ) ( >¢ xh ， 0 > x ， a x + >1 ； 令 0 ) ( <¢ xh ， 0 > x ， a x + < < 1 0 ， 当 0 1£ + a ，即 1 - £ a 时， 0 ) ( >¢ xh 恒成立， 综上：当 1 - > a 时， ) (x h 在 ) 1 0 ( + a ， 上单调

26、递减，在 ) 1 ( ¥ + + ， a 上单调递增， 当 1 - £ a 时， ) (x h 在 ) 0 ( ¥ + ， 上单调递增； (2)由题意可知在 1 e ， 上存在一点0x ，使得 ) ( ) (0 0x g x f £ 成立， 即在 1 e ， 上存在一点0x ，使得 0 ) (0£ x h ， 即函数xax a x x h+ × - =1ln ) ( 在 1 e ， 上的最小值 0 ) (min £x h ，由第(1)问可知： 当 e a ³ +1 ，即 1 - ³e a 时， ) (x

27、h 在 1 e ， 上单调递减， 01) ( ) (min£ -+ = = aeae e h x h ，112-+³eea ，又 1112- >-+eee，112-+³eea ， 当 1 1£ + a ，即 0 £ a 时， ) (x h 在 1 e ， 上单调递增， 0 1 1 ) 1 ( ) (min£ + + = = a h x h ， 2 - £ a ， 当 e a < + < 1 1 ，即 1 0 - < < e a 时， 0 ) 1 ln( 2 ) 1 ( ) (min£

28、+ × - + = + = a a a a h x h ， 1 ) 1 ln( 0 < + < a ， a a a < + × < ) 1 ln( 0 ， 2 ) 1 ( > +a h ，此时不存在0x 使 0 ) (0£ x h 成立， 综上可得所求 a 的范围是：112-+³eea 或 2 - £ a 。 6 10已知函数 ax x e x x fx2 ln ) (2- - × = 。 (1)若函数 ) (x f y = 在 1 = x 处的切线的斜率为 1 ，求 a 的值； (2)若 1 2 ) ( + ³ x x f ，求 a 的取值范围。 【解析】(1) ) (x f 的定义域为 ) 0 ( ¥ + ， ， axe x x fx21) 1 2 ( ) (2- - × + = ¢ ， 则 1 2 1 3 ) 1 (2= - - = ¢ a e f ，解得 1232- =ea ； (2)由 1 2 ) ( + ³ x x f 可得：