专题12~函数单调性、极值、最值与导数问题

1、专题12函数单调性、极值、最值与导数问题 方法技巧专题 12 函数单调性、极值、最值与导数问题 解析篇 一、函数单调性、极值、最值知识框架 二、函数单调性、极值、最值问题题型 【一】判断函数单调性 1. 例题 【例 1 】已知函数 ( )xf x ax e = - 判断函数 ( ) f x 的单调性。 【解析】由题意可求， ( ) xf x a e = - 1.当0 a £ 时， ( ) ( ) 0, f x f x < 在 r 上为减函数； 2.当 0 a > 时，令 ( ) 0 f x > ，解得 x lna < , 令 ( ) 0 f x < ，解

2、得 x lna > 于是 ( ) f x 在 ( ,ln a -¥ 为增函数，在 ln , ) a +¥ 为减函数； 【例 2 】已知函数2( ) ln1af x xx+= +，其中 ar，讨论并求出 f(x)在其定义域内的单调区间 【解析】 ( )22 21 2 1( ) 1( 1) ( 1)af x x axx x x x+¢ = - = - + +，设 g(x)x 2 ax1， x0，当 a0 时，g(x)0，f(x)0 在 x(0，)上恒成立， 此时函数 f(x)在区间(0，)上单调递增； 当 a0 时，222( ) 1 12 4a ag x x a

3、x xæ ö= - + = - + -ç ÷è ø. 当 124a0，即 0a2 时，g(x)0，f(x)0 在 x(0，)上恒成立，此时函数 f(x)在区间(0，)上单调递增； 当 a2 时，方程 g(x)0 的两根分别为2 21 24 4,2 2a a a ax x- - + -= =，且 0x 1 x 2 ， 当 x(0，x 1 )时，g(x)0，f(x)0，故函数 f(x)在(0，x 1 )上单调递增； 当 x(x 1 ，x 2 )时，g(x)0，f(x)0，故函数 f(x)在(x 1 ，x 2 )上单调递减； 当 x(x 2

4、 ，)时，g(x)0，f(x)0，故函数 f(x)在(x 2 ，)上单调递增 综上所述， 当 a2 时，函数 f(x)的单调增区间为 (0 ) ¥ ， ，没有减区间； 当 a2 时，函数 f(x)的减区间为1 2( ) x x ， ；增区间为(0，x 1 )，(x 2 ，) 2. 巩固提升综合练习 【练习 1】 】已知函数 ( )xf x e = ， ( ) ( )21 0 g x ax x a = + + > .设 ( )( )( )g xf xf x=，讨论函数 ( ) f x 的单调性； 【解析】因为2( ) 1( )( )xg x ax xf xf x e+ += =

5、， 所以22 1(2 1)"( )x xaax xax a x af xe e- æ ö- -ç ÷- + -è ø= =， 若12a = ，2"( ) 0xaxf xe-= £ .( ) f x 在 r 上单调递减. 若12a > ，则2 10aa-> ， 当 0 x < ，或2 1 axa-> 时， "( ) 0 f x < ，当2 10axa-< < 时， "( ) 0 f x > ， ( ) f x 在 ( ,0) -¥

6、 ，2 1 , aa- æ ö+¥ç ÷è ø上单调递减，在2 10,aa- æ öç ÷è ø上单调递增. 若102a < < ，则2 10aa-< ， 当2 1 axa-< ，或 0 x > 时， "( ) 0 f x < ，当2 10axa-< < 时， "( ) 0 f x > . ( ) f x 在2 1,aa- æ ö-¥ç ÷&#

7、232; ø， (0, ) +¥ 上单调递减，在2 1 ,0 aa- æ öç ÷è ø上单调递增. 【练习 2 】已知 x ax x x ax x f + - - =2 221ln ) ( ) ( ，求 ) (x f 单调区间. 【解析】该函数定义域为 ） ， （ ¥ + 0 （第一步：对数真数大于 0 求定义域） 令 x ax x f ln 1 2 ) ("） （ - = ，解得1 21, 12x xa= = （第二步，令导数等于 0，解出两根2 1 ,xx ） （1）当 0 £

8、a 时，"(0,1), ( ) 0, ( ) x f x f x Î > 单调增，"(1, ), ( ) 0, ( ) x f x f x Î +¥ < 单调减 （第三步，1x在不在进行分类，当其不存在得到0 £ a；第四步数轴穿根或图像判断正负） （2）当 121=a时即21= a"(0, ), ( ) 0, ( ) x f x f x Î +¥ > 单调增， （第五步，x 1 在区间时，进行比较大小，当2 1x x = 得到21= a 第四步图像判断正负） 当 1210 < &

9、lt;a时，即21> a "1(0, ), (1, ) ( ) 0, ( )2x x f x f xaÎ Î +¥ > 单调增，"1 ,1, ( ) 0, ( )2x f x f xaÎ < 单调减 （当2 1x x < 得到21> a ；第四步图像判断正负） 当 121>a时，即210 < < a "1(0,1), ( , ) ( ) 0, ( )2x x f x f xaÎ Î +¥ > 单调增，"11, , ( ) 0, (

10、)2x f x f xaÎ < 单调减 （2 1x x > 得到210 < < a ；第四步图像判断正负） 综上可知： 0 £ a ，"(0,1), ( ) 0, ( ) x f x f x Î > 单调增，"(1, ), ( ) 0, ( ) x f x f x Î +¥ < 单调减； 21= a ，"(0, ), ( ) 0, ( ) x f x f x Î +¥ > 单调增 21> a"1(0, ), (1, ) ( ) 0, (

11、)2x x f x f xaÎ Î +¥ > 单调增，"1 ,1, ( ) 0, ( )2x f x f xaÎ < 单调减 210 < < a ，"1(0,1), ( , ) ( ) 0, ( )2x x f x f xaÎ Î +¥ > 单调增，"11, , ( ) 0, ( )2x f x f xaÎ < 单调减 【二】根据单调性求参数 1. 例题 例 【例 1】 】（1）若函数2( ) 2( 1) 2 f x x a x = + - + 在区

12、间 ( ,4 -¥ 上是减函数，则实数 a 的取值范围是 . （2）函数 ( ) ( )22 4 4xf x e x x = - -在区间 ( ) 1, 1 k k - + 上不单调，实数 k 的范围是（ ） （3）若函数( ) ( )212log 4 5 f x x x = - + +在区间 ( ) 3 2, 2 m m - + 内单调递增，则实数 m 的取值范围为 . （4）若函数 ( )2ln f x ax x x = + - 存在增区间，则实数 a 的取值范围为 . 【解析】（1）因为函数2( ) 2( 1) 2 f x x a x = + - + 的单调减区间为 ( ,1

13、a -¥ -， 又函数( ) f x 在区间 ( ,4 -¥ 上是减函数，则 ( ,4 -¥ Í ( ,1 a -¥ -，则 1 4 a - ³ ，解得： 3 a £ - ， （2） ( ) ( )22 4 4xf x e x x = - - q ， ( ) ( )22 8xf x e x ¢ = -，令 ( ) 0 f x ¢ = ，得 2 x = ± . 当 2 x < - 或 2 x > 时， ( ) 0 f x ¢ > ；当 2 2 x - < <

14、 时， ( ) 0 f x ¢ < . 所以，函数 ( ) y f x = 的极大值点为 2 - ，极小值点为 2 . 由题意可得 1 2 1 k k - < - < + 或 1 2 1 k k - < < + ，解得 3 1 k - < < - 或 1 3 k < < . （3）由24 5 0 x x - + + > ，即24 5 0 x x - - < ，解得 1 5 x - < < . 二次函数24 5 y x x = - + + 的对称轴为 2 x = . 由复合函数单调性可得函数( ) ( )21

15、2log 4 5 f x x x = - + +的单调递增区间为 ( ) 2,5 要使函数( ) ( )212log 4 5 f x x x = - + +在区间 ( ) 3 2, 2 m m - + 内单调递增， 则 ( ) ( ) 3 2, 2 2,5 m m - + Í ，即3 2 22 53 2 2mmm m- ³ ìï+ £íï- < +î，解得423m £ < . （4）若函数 ( ) f x 不存在增区间，则函数 ( ) f x 单调递减， 此时 ( )12 1 0 f x ax

16、x¢ = + - £在区间 ( ) 0, ¥ + 恒成立， 可得21 12ax x£ - ，则221 1 1 1 1 12 4 4 x x xæ ö- = - - ³ -ç ÷è ø，可得18a £ - ， 故函数存在增区间时实数 a 的取值范围为1,8æ ö- +¥ç ÷è ø 例 【例 2】 】已知函数3 2( ) 3 ( ) f x ax x x x = + - Îr 恰有三个单调区间，则实数 a 的取值范围为（ ） a ( ) 3, - +¥ b ( ) ( ) 3,0 0, -+¥ c ( ) ( ) ,0 0,3 -¥ d ) 3, - +¥ 【解析】（1）2"( ) 3 6 1 f x ax x = + - ，( ) f x 有三个单调区间，036 12 0aa¹ ìí d =+ >î，解得 3 a > - 且0 a ¹ 故选 b 2. 巩固提升综合练习 习 【练习 1】 】函数3 21( )3f x ax x a = - + 在 1,2 上单