专题40,概率中单调性与最值问题（原卷版）

1、专题40,概率中单调性与最值问题（原卷版） 1 专题 40 概率中的单调性与最值问题 一、题型选讲 题型一 、概率中的单调性问题 例 1、【2021 年高考浙江卷】设 0a1，则随机变量 x 的分布列是 x 0 a 1 p 13 13 13 则当 a 在（0 ， 1）内增大时， a ( ) d x 增大 b ( ) d x 减小 c ( ) d x 先增大后减小 d ( ) d x 先减小后增大 例 2、【2021 年高考浙江卷】设 0 1 p < < ，随机变量 的分布列是 0 1 2 p 12p - 12 2p 则当 p 在（0，1）内增大时， ad（）减小 bd（）增大 cd

2、（）先减小后增大 dd（）先增大后减小 例 3、【2021 年高考山东】（多选题）信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量 x 所有可能的取值为1,2, ,n ，且1( ) 0( 1,2, , ), 1ni iip x i p i n p= = > = =å，定义 x 的信息熵21( ) logni iih x p p= - å . a若 n=1，则 h(x)=0 b若 n=2，则 h(x)随着1p 的增大而增大 c若1( 1,2, , )ip i nn= = ，则 h(x)随着 n 的增大而增大 d若n=2m，随机变量y所有可能的取值为 1,2, ,m ，且2 1

3、( ) ( 1,2, , )j m jp y j p p j m+ -= = + = ，则h(x)h(y) 题型二、 概率中的最值问题 例 4、（2021浙江温州中学高三 3 月月考）随机变量 x 的可能值有 1，2，3，且 ( ) 1 3 1 p p x = = - ，( ) 3 1 p p x = = - ，则 ( ) d x 的最大值为（ ） a89 b1716 c2625 d1 2 例 5、（2021 届浙江省杭州市第二中学高三 3 月月考）随机变量 的分布列如下： -1 0 1 其中 ， ， 成等差数列，则 的最大值为（ ） a b c d 例 6、（2021 届浙江省宁波市鄞州中学

4、高三下期初）已知 ， 两个不透明盒中各有形状、大小都相同的红球、白球若干个，a 盒中有 个红球与 个白球， 盒中有 个红球与 个白球（ ），若从 ， 盒中各取一个球， 表示所取的 2 个球中红球的个数，则当 取到最大值时， 的值为（ ） a3 b5 c7 d9 例 7、（2021浙江省温州市新力量联盟高三上期末）随机变量 的分布列如下： 1 2 3 其中 ， ， 成等差数列，则 的最大值为（ ） a b c d 例 8、（2021 届山东省日照市高三上期末联考）某公司准备投产一种新产品，经测算，已知每年生产万件的该种产品所需要的总成本 （万元），依据产品尺寸，产品的品质可能出现优、中、差三种情

5、况，随机抽取了 1000 件产品测量尺寸，尺寸分别在 ， ， ， ， ， （单位： ）中，经统计得到的频率分布直方图如图所示. p a bca b c d23592934a bm 10 m -b 10 m -m 0 10 m < <a bx ( ) d x mxxpa b ca b c ( ) d x29593423( ) 5 15 x x £ £( )322316 309 10xc x x x = - + + ) 25.26,25.30 ) 25.30,25.34 ) 25.34,25.38 ) 25.38,25.42 ) 25.42,25.46 ) 25.4

6、6,25.50 25.50,25.54mm 3 产品的品质情况和相应的价格 （元/件）与年产量 之间的函数关系如下表所示. 产品品质 立品尺寸的范围 价格与产量 的函数关系式 优 中 差 以频率作为概率解决如下问题： （1）求实数 的值； （2）当产量 确定时，设不同品质的产品价格为随机变量 ，求随机变量 的分布列； （3）估计当年产量 为何值时，该公司年利润最大，并求出最大值. m xm x ) 25.34,25.46 34 m x = - + ) 25.26,25.343255m x = - + 25.46,25.543205m x = - +ax x xx 4 二、达标训练 1、【202

7、1 年高考全国卷理数】某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为 p ，各成员的支付方式相互独立，设 x 为该群体的 10 位成员中使用移动支付的人数， 2.4 dx = ， ( 4) ( 6) p x p x = < = ，则 p = a0.7 b0.6 c0.4 d0.3 2、（2021 届浙江省"山水联盟'高三下学期开学）设 ，随机变量 的分布列如下表所示 1 2 3 已知 ，则当 在 内增大时， 的变化情况（ ） a先增大再减小 b先减小再增大 c增大 d减小 3、（2021 届浙江省台州市温岭中学 3 月模拟）已知 ，随机变量 ， 的分布列如表所示，则（ ） a

8、 ， b ， c ， d ， 4、 （2021 届浙江省杭州市高三 3 月模拟）已知随机变量 满足 p (=0) =x，p(=1) =1-x，若1(0, ),2xÎ 则（ ） ae()随着 x 的增大而增大，d ()随着 x 的增大而增大 be()随着 x 的增大而减小，d()随着 x 的增大而增大 ce()随着 x 的增大而减小，d()随着 x 的增大而减小 de()随着 x 的增大而增大，d()随着 x 的增大而减小 5、（2021浙江学军中学高三 3 月月考）已知 a，b 为实数，随机变量 x，y 的分布列如下： 102b < < xxpa b c( ) 2 e x

9、 = b10,2æ öç ÷è ø( ) d xc a > x nh4 3 2p ab cx2 3 4p ab ce e x h > d d x h < e e x h > d d x h =e e x h > d d x h > e e x h < d d x h = 5 x -1 0 1 y -1 0 1 p p a b c 若 ，随机变量 满足 ，其中随机变量 相互独立，则 取值范围的是（ ） a b c d 6、（2021 届浙江省十校联盟高三下学期开学）设 ，相互独立的两个随机变量

10、， 的分布列如下表： -1 1 -1 1 则当 在 内增大时（ ） a 减小，增大 b 减小，减小 c 增大，增大 d 增大，减小 7、（2021浙江温州中学 3 月高考模拟）已知随机变量 x 的分布列如下表： x 0 1 p a b c 其中 a，b， .若 x 的方差 对所有 都成立，则（ ） a b c d 8、（2021 届浙江省之江教育评价联盟高三第二次联考）设 ，随机变量 的分布列是： 0 1 则当 在 内增大时（ ） a 增大 b 减小 c 先增大后减小 d 先减小后增大 131216( ) ( ) 1 e y p y = =-x xy x =xy ( ) e x3,14

11、3; ù-ê úë û1,018é ù-ê úë û1,118é ùê úë û3,14é ùê úë û112p < < xhxhp2313p1 p -pp1,12æ öç ÷è ø( ) e x h + ( ) d x h + ( ) e x h + ( ) d x h +( ) e x h + ( ) d x h + ( ) e x h + ( ) d x h +1 -0 c > ( )1