《分式》整章复习(教师版)

1、分式整章复习（教师版）【学习目标】1. 理解分式的概念，能求出使分式有意义、分式无意义、分式值为 0 的条件 .2了解分式的基本性质，掌握分式的约分和通分法则3掌握分式的四则运算4结合分析和解决实际问题，讨论可以化为一元一次方程的分式方程，掌握这种方程的解 法，体会解方程中的化归思想【知识网络】【要点梳理】 要点一、分式的有关概念及性质 1分式A 一般地，如果 A、 B表示两个整式，并且 B中含有字母，那么式子 A叫做分式 .其中 AB叫做分子， B 叫做分母 .要点诠释： 分式中的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为 0，即A当 B0 时，分式 A才有意义 .B2. 分式的基

2、本性质（ M为不等于 0 的整式） .3最简分式 分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式 . 如果分子分母有公因式， 要进行约分化简 .要点二、分式的运算1约分利用分式的基本性质， 把一个分式的分子和分母的公因式约去， 不改变分式的值， 这样 的分式变形叫做分式的约分 .2通分 利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把异分母的分 式化为同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分3基本运算法则 分式的运算法则与分数的运算法则类似, 具体运算法则如下 :1）加减运算a b a bcc；同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式

3、，再加减a c ac2）乘法运算，其中 a、b、c、d 是整式， bd 0.b d bd两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母3）除法运算 a c a d ad ，其中 a、 b、 c、d 是整式， bcd 0. b d b c bc两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后，与被除式相乘 .4）乘方运算分式的乘方，把分子、分母分别乘方 .4. 分式的混合运算顺序 先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的 .要点三、分式方程1分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫做分式方程2分式方程的解法 解分式方程的关键是去分母 , 即方程两边都乘以最简公分母将分式

4、方程转化为整式方 程3分式方程的增根问题增根的产生： 分式方程本身隐含着分母不为 0 的条件，当把分式方程转化为整式方程后， 方程中未知数允许取值的范围扩大了， 如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值 为 0，那么就会出现不适合原方程的根增根.要点诠释： 因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为 0，即为增根，不为 0，就是原方程的解.要点四、分式方程的应用 列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似， 但要稍复杂一些 解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”

5、 等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解 .第一部曲. 基础班【典型例析】类型一、分式及其基本性质1、在1,1xx(x2x1) ,3xy , 3x,ay11 中，分式的个数是（ mA.2 B.3C.4 D.5答案】 C；解析】21 x x2 1 3 ， ， ax x x y11 是分式 . m【总结升华】 判断分式的依据是看分母中是否含有字母， 有字母则不是分式如果含有字母则是分式， 如果不含2、当 x 为何值时，分式x2 9的值为 0？x3【思路点拨】 先求出使分子为 0 的字母的值，再检验这个值是否使分母的值等于0，当它使分母的值不等于 0 时，这个值就是要求的字母的值【答案与解析】解：

6、 要使分式的值为 0，必须满足分子等于 0 且分母不等于 0当x3时，分式x2 9x3的值为 0由题意，得x 9 0, 解得 x 3 x 3 0.【总结升华】 分式的值为 0 的条件是：分子为 0，且分母不为 0，即只有在分式有意义的前 提下，才能考虑分式值的情况 .举一反三：变式】（1）若分式的值等于零，则 x （2）当 x 时，分式 没有意义答案】（ 1）由 x2 4 0，得 x 2. 当 x 2 时 x 20，所以 x 2；（2）当 x 1 0，即 x1 时，分式没有意义类型二、分式运算3、计算： 21 x2（x 1）2 x2 3x 2 x2 4x 4 x 1 【答案与解析】解：x2 4

7、x 4(x1)2x2 3x 2x1(1 x)(1 x) 122(x 2)2(x 1)2(x 2)(x 1)x1(x 1)2(x 2)(x 1)2总结升华】 本题有两处易错：一是不按运算顺序运算，把(x1)2和2x2 3xx122 先约分；是将 （1 x）和 （x 1）约分后的结果错认为是 1因此正确掌握运算顺序与符号法则是解题的关键举一反三：变式】化简： ÷（ ）答案】 解：原式 =?=类型三、分式方程的解法4、解方程 2x 3 2解：2x 3 2x2x2答案与解析】方程两边同乘以x 2 x 2x 2 x 2 ，得2x x 2 3 x 2 2 x 2 x 2- 7x 22x72 检验

8、： 当 x 时，最简公分母 x 2 x 2 0，72 x 是原方程的解 .7【总结升华】 分式方程一定要记得检验 .举一反三：变式】2x 3x4答案】解： 方程两边同乘以 2 x 4 ，得1 2 x 4 2 2x 3 3x23检验：当 x 时，最简公分母 2 x 4 0 ， 2 x3 是原方程的解2 类型四、分式方程的应用5、某市为治理污水， 需要铺设一条全长为 600 米的污水排放管道， 为了尽量减少施工 对城市交通所造成的影响，实际施工时，每天的工效比原计划增加20%，结果提前 5 天完成这一任务，原计划每天铺设多少米管道？【思路点拨】 先设原计划每天铺设 x 米管道，则实际施工时，每天的

9、铺设管道（1+20%） x米，由题意可得等量关系： 原计划的工作时间实际的工作时间 =5，然后列出方程可求出结 果，最后检验并作答【答案与解析】 解：设原计划每天铺设 x 米管道，由题意得： =5 ， =5 ，解得： x=20， 经检验： x=20 是原方程的解答：原计划每天铺设 20 米管道【总结升华】 本题主要考查分式方程的应用， 解题的关键是熟练掌握列分式方程解应用题的 一般步骤：设、列、解、验、答必须严格按照这 5 步进行，规范解题步骤，另外还要注意 完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等举一反三： 【变式】小明家、王老师家、学校在同一条路上，并且小明上学要路过王老师家，小明到王 老

10、师家的路程为 3 km ，王老师家到学校的路程为 0.5 km ，由于小明的父母战斗在抗震救灾 第一线， 为了使他能按时到校、 王老师每天骑自行车接小明上学 已知王老师骑自行车的速 度是他步行速度的 3 倍，每天比平时步行上班多用了20 min ，王老师步行的速度和骑自行车的速度各是多少 ?【答案】km/h ，0.5解：设王老师步行的速度为23根据题意得： 2 30.5则他骑自行车的速度为 3x km/h 20解得： x 5 经检验 x 5 是原方程的根且符合题意当 x 5 时， 3x 15 答：王老师步行的速度为 5km/h ，他骑自行车的速度为 15km/h60 第二部曲. 提高班【典型例

11、析】类型一、分式及其基本性质A.、当 x 为任意实数时，下列分式一定有意义的是（B.C.D.【答案】 C；【解析】 一个分式有无意义， 取决于它的分母是否等于 0. 即若 是一个分式， 则 有意义1B0.当x0 时， x2 0 ，所以选项 A不是；当 x 时， 2x 1 0 ，所以选项 B不是；因为 x2 0 ，所以 x2 1 0，即不论 x 为何实数，都有 x2 1 0 ，所以选项 C是；当 x ± 1 时， x 10，所以选项 D不是 .总结升华】 分式有意义的条件是分母不为零，无意义的条件是分母为零2)把下列各式分子与分母中各项的系数都化为最简整数0.3x 0.2y0.05x

12、y0.4x23)3210y14 x2 0.6y2答案与解析】解：(1)1a24b3126a16b1a1b124a3b344b311ab342)0.3x 0.2y0.05x y(0.3x 0.2y) 100(0.05x y) 10030x 20y5x 100y5(6x 4y) 6x 4y5(x 20y) x 20y3)原式 (0.4x22 0.3y22) 100 40x22 30y22(0.25 x2 0.6y2) 100 25x2 60y25(8x2 6y2)8x2 6y25(5x2 12y2) 5x2 12y2【总结升华】 在确定分子和分母中所有分母的最小公倍数时， 乘时分子、分母要加括号，

13、注意不要漏乘类型二、分式运算要把小数先化成最简分数； 相1 1 21 x 1 x 1 x2【思路点拨】 本题如果直接通分计算太繁琐， 观察比较发现， 前两个分式分母之积为平方差 公式，通分后与第三个分式的分母又符合平方差公式，以此类推可解此题【答案与解析】解：原式2244481x21x21x41x41x41x8总结升华】 此类题在进行计算时采用“分步通分”的方法，逐步进行计算，达到化繁为简 的目的在解题时既要看到局部特征，又要全局考虑 举一反三：变式】计算答案】解：原式111111+1aa1a1a2a 2 a 3a2020 a 2021111111+11aa1a1a2a2a 3 a2020a

14、202111a2021a2021aa 2021aa2021aa 2021 a22021a。类型三、分式条件求值的常用技巧4、已知 x 1x2x4 ，求 4 2 的值这样便可求x x 1思路点拨】 直接求值很困难，根据其特点和已知条件，能够求出其倒数的值，x2出 4 x 2 的值 x4 x2 1【答案与解析】解：方法一：4x2x12x2111x2xxx42xx115，2xx2 x2(x42x1)2x212 x2 xx12 x21 xx1，而4，2 x14 x2 x11511方法二：原式(x4 x2 1) x2x2 1 2 xx2212 xx115总结升华】 （1）本题运用转化思想将所求分式通过分

15、式的基本性质转化为已知分式的代数式来求值（2）根据完全平方公式，熟练掌握1 2 1x 、 x 2 xxx4 x2 1之间的关系，利用它们之间的关系进行互相转化举一反三：【变式】若 0< x< 1，且的值【答案】解： x+ =6，（x ） 2=（x+ ）24=364=32， x =±4 ，又0<x<1， x =4 abc 0 3a 2b 7c 0 7a 5、设 abc 0，且 3a 2b 7c 0， 7a4b 15c22 4a 2 5b2 0，求 2 2 a 2 2b26c23c2的值答案与解析】解：解关于 a、 b的方程组3a 2b 7c 07a 4b 15c

16、 0c2cac把 代入原式中， b 2c原式4c2 5(2 c)2 6c2c2 2(2 c)2 3c222c212c2116【总结升华】 当所求分式的分子、 公母无法约分， 也无法通过解方程组后代入求值时，若将 两个三元一次方程中的一个未知数当作已知数时，即可通过解方程组代入求值举一反三：【变式】已知 2x2 xy 3y2 0 ，且 x y ，求2 的值x2y xy【答案】22解：因为 2x2 xy 3y2 0 ，6、解方程 2 6x2 25(x 3)( x 5)(x 3)( x 5)所以 ( xy)(2x3y) 0所以 xy0或2 x 3 y0，又因为 xy，所以 xy 0 ，所以 2 x3

17、y0，所以 y23x，所以yxxxx32 x22 x2x 3x37x37xyx3x2x3类型四、分式方程的解法【答案与解析】 解：原方程整理得：635(x 5)( x 5)(x3)(x5)(x 3)( x 5)方程两边同乘以(x3)(x5)(x5） 得：6( x 3) 3(x5)5(x5)去括号，移项合并同类项得：2x8 ， x 4检验：把 x 4代入 (x 3)( x 5)( x 5)(x 5) 0 x 4 是原方程的根【总结升华】 解分式方程的基本思想是：设法将分式方程“转化”为整式方程，去分母是解 分式方程的一般方法，在方程两边同乘以各分式的最简公分母，使分式方程转化为整式方 程但要注意

18、可能会产生增根，所以必须验根举一反三：变式】若关于 x 的方程 = 有增根，求增根和 k 的值【答案】 解：最简公分母为 3x （x1）， 去分母得： 3x+3k x+1= 2x， 由分式方程有增根，得到 x=0 或 x=1 ，把 x=0 代入整式方程得： k= ；把 x=1 代入整式方程得： k= 类型五、分式方程的应用7、扬州建城 2500年之际，为了继续美化城市，计划在路旁栽树1200 棵，由于志愿者的参加，实际每天栽树的棵数比原计划多 20%，结果提前 2 天完成，求原计划每天栽树多 少棵？【思路点拨】 设原计划每天种树 x 棵，则实际每天栽树的棵数为（ 1+20% ），根据题意可得，

19、 实际比计划少用 2 天，据此列方程求解【答案与解析】解：设原计划每天种树由题意得，x 棵，则实际每天栽树的棵数为（=2，=2，1+20%)，解得： x=100 ，经检验， x=100 是原分式方程的解，且符合题意答：原计划每天种树 100 棵【总结升华】 本题考查了分式方程的应用， 解答本题的关键是读懂题意， 设出未知数，找出 合适的等量关系，列方程求解，注意检验举一反三：【变式】某项工程限期完成，甲队独做正好按期完成，乙队独做则要误期3 天现两队合做2 天后，余下的工程再由乙队独做， 也正好在限期内完成， 问该工程限期是多少天？ 【答案】11 解：设该工作限期为 x 天，则甲队的工作效率为

20、 1 ，乙队的工作效率为 1 x x 3依题意列出方程：1 1 12 (x 2)1 x x 3 x 3 整理，得 2 x 1x x 3 两边都乘以 x(x 3)，得 2(x 3) x2 x(x 3) 解这个整式方程，得 x 6 经检验， x 6 是原方程的根 答：该工程限期是 6 天续曲 1. 基础班【巩固练习】. 选择题1下列各式： ( m)A 1 个B， 中，2个分式有(D 4 个2. 把分式 2xxy中的 x、y都扩大3 倍，则分式的值 ( )A.扩大 3 倍B.扩大 6 倍133下列各式中，正确的是C.缩小为原来的D. 不变A. x y xyxyxyB. x y xyxyxyC. x

21、y xyxyxyD. x y xyxy4. 式子 2x 2 x2 xA25如果把分式A扩大 3 倍的值为20，那么x 的值是(B 2C±中的 x 和 y 都扩大 3 倍，那么分式的值(B不变C缩小 3 倍D不存在D 缩小 6 倍6. 下列分式中，最简分式是 ( )A.1251xyy222 B. x y B. x yC.2xy y2xy2y2x2D.xxy2x 17将分式方程 2y 5 ； 4 3y 化为整式方程时，方程两边应同乘( ) 2y 6 2 4 2yA 2y64 2yB2y3C 4 y2y3D2y3 2 y8.1 方程 124x4 x 的解是()x3x3A0B2C3D无解二.

22、 填空题9若 x > ，那么 的值是 _x110当 x 时，分式 x 1 有意义211当 x 时，分式 的值为正2x 1212 (xy )3 ( 2x)2y13. 化简÷()的结果是14. 写出下列分式中的未知的分子或分母：1) 18m2n224mn23m ；)；ab2) aabba2b ；( 3)2x xy2xxy()15分式方程1x1若要化为整式方程，1在方程两边同乘的最简公分母是16方程 xx5三. 解答题22 的解是x617. 计算a12a2 42a2)2 x x2 2x4xx2 4x2 4x 418. 已知 x1 3 ，求1x2 41x2x19. 已知4y 5z，求x

23、 2y 3z320. 济南与北京两地相距 480km，乘坐高铁列车比乘坐普通快车能提前4h 到达，已知高铁列车的平均行驶速度是普通快车的 3 倍，求高铁列车的平均行驶速度【答案与解析】一. 选择题1. 【答案】 B；【解析】解：（ m） 1 2；，x2+ y2 ，5， 的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式 ， 分母中含有字母，因此是分式故选 B2.【答案】D；2 3x 3 2x 2x .【解析】3x 3y 3(x y) x y3.【答案】A；【解析】x y (x y) x y .x y (x y) x y4.【答案】B；【解析】由题意 x+2=0 且 x2 x 2 0，解得 x 2

24、.5.【答案】B；【解析】=原式，故选 B .6.【答案】D；7.【答案】D；【解析】原方程的最简公分母为 2 y 3 2 y .8.【答案】D；【解析】解分式方程得 x 3，经检验， x 3 为原方程的增根. 填空题9. 【答案】 1；解析】若 x> ，不等式两边同时乘以 5，得到 5x> 2，则 25x< 0， |2 5x|=5x 2，答案】12；解析】要使分式的值为正，2x1 0 ，解得 x11.12.13.14.15.16.17. 解：18.解：答案】解析】2(xy2)3(yx2)26x3y4 y2x答案】解析】解：原式答案】1）4n2) a2 ab3) x答案】x2

25、1；答案】10；解析】去分母得，2x5，化简得：x 10 ，经检验， x10是原方程的根 .a2a4a2a23(a2)122(a 2)a2(a 2)(a 2)(a2)(a2)(a2)(a2)(a2)(a3a 18a6(a 2)(a2)(a2)(a2)3(a 6)(a2)(a2)3(a 2)(a2)a6（ 2）原式x(x4)(x 2)(x2)x4x22x2x(x2)(x2)2x2x2x2解析】1原式 1x211(x2)(x2)1x2x2 4x24x244132 x4x2 4x2412212)解答题【解析】1)3答：当x1 3 时，原式332(1 3)2419.【解析】解：设xyzk，则x 3k

26、， y4k ，z5k 345所以xy3k 4k7k7x 2y 3z3k2 4k 35k10k1020.【解析】解：设普通快车的速度为xkm/时，由题意得：=4，解得：x=80，经检验： x=80 是原分式方程的解，3x=3×80=240，高铁列车的平均行驶速度是 240km/时续曲 2. 提高班【巩固练习】一. 选择题 1下列关于x 的方程，其中不是分式方程的是()A. 1 a xabB.1b1aaaxbxC. x a ax1D.xnxmbxmxn2(aa bb)2abA a b aba b)2b)(a3分式方程3x245A0关于 x 的分式方程b 的结果是(BababC(a b)2

27、abD1的解是(x(x 2)CB2=2+ 有增根，则实数0或2D无解k 的值为A 3B .0C. ±3某农场挖一条 480 米的渠道， 开工后， 每天比原计划多挖 若设原计划每天挖 A 480 480Ax x 20480 480Cx 米，那么下列方程正确的是(B 480 xD 48020 米，)480x4480D 无法确定结果提前 4 天完成任务，20x4x 20 x6化简 (1 1) 2 xy 2 的结果是 ( ) x y x yA1xyB1C x yD y xxy7. 若关于 x 的方程x2 * 4x ax30 有增根，则 a 的值为（）A13B -11 C9 D38. 甲、乙两

28、人分别从两地同时出发，若相向而行，则经过 ah 相遇； 若同向而行， 则经过 bh甲追上乙那么甲的速度是乙的（）Aab 倍 B b 倍C a b 倍ba D 倍babbaba二. 填空题29若分式 x x 的值为 0，则 x 的值为 |x | 110若 x 12y2 xy，且 xy > 0，则分式 x 3y的值为2x y11化简9a2b23a2b 6ab26ab2a 4a 212化简的结果是13如果，则14已知，则15若分式方程3x a1的解是 x 0，则 a 2x 7 7 2x16 a个人 b 天可做 c个零件 （设每人速度一样 ），则 b个人用同样速度做 a个零件所需天数 是 三.

29、解答题1 2 1 4 117. ( 1)已知 a3 ，求 a 2 ， a 4 的值；aa2a42 1 1(2)已知 a22 7 ，求 a 的值aa2 ax 319. a 为何值时，关于 x的方程 2 会产生增根？x 2 x定是整式方程 x2 4x a 0 的根，将其代入得 32 4 4 x 220. 某文化用品商店用 2000 元购进一批学生书包，上市后发现供不应求，商店又购进第二 批同样的书包， 所购数量是第一批购进数量的 3 倍，但单价贵了 4 元，结果第二批用了 6300 元（ 1）求第一批购进书包的单价是多少元？（2）若商店销售这两批书包时，每个售价都是120 元，全部售出后，商店共盈

30、利多少元？1.2.答案与解析】. 选择题答案】 C；解析】分式方程是分母含有未知数的等式 答案】解析】3.答案】B；(aa bb)2 abD；(aa bb)2abab(aa bb)2(aa bb)2解析】去分母得，3x 26 ，解得 x2是增根.4.答案】 解析】5.答案】A； 解：分式方程去分母得：由分式方程有增根，得到 把 x=3 代入整式方程得： 故选 AA；x=2x 6+k， x 3=0，即 x=3， k=3解析】原计划所用时间为480，实际所用时间为48200，选A6.答案】B；解析】(1x 1y)xyxy22xyyxyxy7.答案】 解析】(x y)(x y)xyD；因为所给的关于 x 的方程有增根，即有 x0 ，所以增根是3 而 x 3a 0 ，所以8.答案】a 3 C；解析】不妨设甲乙两人开始时相距s 千米，甲的速度为 v1 ，乙的速度为v2，s a（v1则根据题意有 1s b(v1v2), v2).是 a(v1 v2) b(v1 v2) ，所以(ab)v2 (b a)v1，v1v2ab b甲的速度是乙的 aba ba 倍9. 填空题【答案】0；解析】