2011中考数学真题解析89_四边形综合题.(含答案)

1、（2012年1月最新最细）2011全国中考真题解析120考点汇编四边形综合题、选择题1.（2011 重庆江津区，10，4 分）如图，四边形 ABCD 中，AC = a, BD = b，且 AC 丄 BD, 顺次连接四边形 ABCD 各边中点，得到四边形 A1B1C1D1,再顺次连接四边形 A1B1C1D1各边 中点，得到四边形 A2B2C2D2，如此进行下去，得到四边形 AnBnCnDn.下列结论正确的有考点：三角形中位线定理；菱形的判定与性质；矩形的判定与性质。专题：规律型。分析：首先根据题意，找出变化后的四边形的边长与四边形ABCD 中各边长的长度关系规律，然后对以下选项作出分析与判断：1

2、根据矩形的判定与性质作出判断；2根据菱形的判定与性质作出判断；四边形A2B2C2D2是矩形;四边形A4B4C4D4是菱形;四边形A5B5C5D5的周长是四边形AnBnCnDn的面积是4abA、B、C、D2* 13由四边形的周长公式：周长=边长之和，来计算四边形4根据四边形 AnBnCnDn的面积与四边形 ABCD 的面积间的数量关系来求其面积.解答：解：连接 A1C1, B1D1.在四边形 ABCD 中，顺次连接四边形 ABCD 各边中点，得到四边形 A1B1C1D1二 AiDi/ BD , B1C1/ BD , C1D1/ AC, A1B1/ AC ;AiD1/ B1C1, A1B1/ C1

3、D1,四边形 ABCD 是平行四边形；.BiDi= A1C1（平行四边形的两条对角线相等）; A2D2= C2D2= C2B2= B2A2（中位线定理），四边形 A2B2C2D2是菱形；故本选项错误；2由知，四边形 A2B2C2D2是菱形；根据中位线定理知，四边形 A4B4C4D4是菱形；故本选项正确；11 11 1 1根据中位线的性质易知，A5B5=A3B3=XA1B1=X XAB， B5C522 22 2 21 1 11 1 1=B3C3=XB1C1=X XBC，2 2 22 2 2四边形 A5B5C5D5的周长是 2X-(a+b)=a b；故本选项正确；84四边形 ABCD 中，AC =

4、 a, BD = b,且 AC 丄 BD,- S四边形ABCD= ab；由三角形的中位线的性质可以推知，每得到一次四边形，它的面积变为原来的一半,四边形 AnBnCnDn的面积是 -2n故本选项错误；综上所述，正确；故选 C.A5B5C5D5的周长;点评：本题主要考查了菱形的判定与性质、矩形的判定与性质及三角形的中位线定理（三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半）解答此题时，需理清菱形、矩形与平行四 边形的关系.2.（2011 重庆市，9, 4 分）如图，在平行四边形 ABCD 中（AB丰BC,直线 EF经过其对角线的交点 0,且分别交 AD、BC 于点 M、N，交 BA、DC 的延长线

5、于点 E、F,下列结论：1A0=B0 : 0E=0F; 厶 EAM EBN ;厶 EA0CN0，其中正确的是A.B.C.D.考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质.分析：根据平行四边形的对边相等的性质即可求得A3 B0,即可求得错误;2易证 A0EC0F，即可求得 E0=F0 ;3根据相似三角形的判定即可求得EAM EBN ;4易证 EA0尸。0,而厶 FC0 和厶 CN0 不全等，根据全等三角形的传递性即可判定该选项错误.答案：解:平行四边形中邻边垂直则该平行四边形为矩形，故本题中 AO BD ,即 A3 B0 , 故错误；2 AB / CD ,/ E= /

6、F,又/ E0A= / F0C , A0=C0ACOE=OF，故正确；3 AD / BC , EAM s EBN，故正确；4AOECOF，且 FCO 和厶 CNO ,故厶 EAO 和厶 CNO 不相似，故错误，即正确.故选 B .点评：本题考查了相似三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，考查了平行四边形对边平行的性质，本题中求证AOECOF 是解题的关键.3. （ 2010 重庆，10, 4 分）如图，正方形 ABCD 中，AB= 6,点 E 在边 CD 上，且 CD = 3DE .将 ADE 沿 AE 对折至 AFE，延长 EF 交边 BC 于点 G,连结 AG、CF .下列结论：

7、考点：翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定与性质；勾股定理分析：根据翻折变换的性质和正方形的性质可证ABGAFG ;在直角ECG 中，根据勾股定理可证 BG=GC ;通过证明/ AGB= / AGF= / GFC=ZGCF，由平行线的判定可得 AG / CF;由于SAFGC=SGCE- SFEC,求得面积比较即可.解答：解：正确.因为 AB=AD=AF , AG=AG,ZB=ZAFG =90 , ABGAFG ；12正确因为：EF=DE = CD=2，设 BG = FG=x,则 CG=6 - x.在直角ECG 中，根据勾3股定理，得（6 -x）2+42= （x+2）2，解得 x=3.所以 B

8、G=3=6 - 3=GC ；3正确.因为 CG = BG=GF,所以 FGC 是等腰三角形， / GFC= / GCF .又/ AGB= / AGF ,/AGB +ZAGF=180-ZFGC=/GFC+/GCF,厶 ABGAFG : BG= GC ;G10 题图()/ AGB = / AGF = / GFC= / GCFAG / CF ;4错误.过 F 作 FH 丄 DC ,/ BC 丄 DH , FH / GC , EFH s EGC ,FH _ EFGC=EGEF=DE=2, GF=3, EG=5,FH EF 2GC=EG=5112FGC=SAGCE SA FEC= X3X4-X4 x (

9、 X3)225故选 C.点评：本题综合性较强，考查了翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质,勾股定理，平行线的判定，三角形的面积计算，有一定的难度.4.（2011 山东省潍坊， 11, 3 分）己知直角梯形ABCD 中，AD / BC.ZBCD=90 ,BC=CD=2AD , E、F 分别是 BC、CD 边的中点.连接 BF、DF 交于点 P.连接 CP 并延长交 AB 于点 Q,连揍 AF，则下列结论不正确.的是（）.A . CP 平分ZBCDB .四边形 ABED 为平行四边形C, CQ 将直角梯形 ABCD 分为面积相等的两部分D . ABF 为等腰三角形18=工3.5【考

10、点】直角梯形；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质.【专题】证明题；几何综合题.【分析】本题可用排除法证明，即证明A、B、D 正确，C 不正确；易证 BCFDCE(SAS ),得/ FBC= / EDC , / BPEDPF , / BP=DP ； / BPCDPC ,/ BCP= / DCP , A 正确；TAD=BE 且 AB / BE,所以，四边形 ABED 为平行四边 形，B 正确；TBF=ED , AB=ED , AB=BF，即 D 正确；【解答】证明：易证BCFDCE ( SAS),/ FBC= / EDC , BF=ED ； BPEDPF (AAS ), BP=DP,

11、BPCDPC ( SSS),/ BCP= / DCP，即 A 正确；又 AD=BE 且 AB / BE ,四边形 ABED 为平行四边形，B 正确；/ BF=ED , AB=ED , AB=BF ,即 D 正确；综上，选项 A、B、D 正确;故选 C.【点评】本题考查了等腰三角形、平行四边形和全等三角形的判定，熟记以上图形的性质，并能灵活运用其性质，是解答本题的关键，本题综合性较好.5.（2011?可池）如图，在平行四边形 ABCD 中，E 为 AB 的中点，F 为 AD 上一点，EF 交AC 于 G, AF=2cm , DF=4cm , AG=3cm，贝 U AC 的长为（）考点：平行线分线

12、段成比例；平行四边形的性质。分析：延长 FG 交 CB 的延长线于点 H .根据平行四边形的性质， 得 BC=AD=6cm ,BC / AD .根据 AAS 可以证明 AFEBHE，贝 U BH=AF=2cm，再根据CG 的长，从而求得 AC 的长.解答：解：四边形 ABCD 是平行四边形， BC=AD=6cm , BC / AD ./ EAF= / EBH，/ AFE= / BHE , 又 AE=BE, AFEBHE , BH=AF=2cm ./ BC / AD ,AG二 ，A、 9cmB、 14cmC、 15cmD、 18cmBC / AD，得= 777，求得Es则 CG=12 ,则 AC

13、=AG+CG=15 (cm).故选 C.# H、点评：此题综合考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定及性质、平行线分线段成比例定理此题中要能够巧妙构造辅助线6. （ 2011 年湖南省湘潭市，5, 3 分）下列四边形中，对角线相等且互相垂直平分的是（）A、平行四边形B、正方形C、等腰梯形D、矩形考点：等腰梯形的性质；平行四边形的性质；矩形的性质；正方形的性质.专题：常规题型.分析：利用对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形作出判断即可.解答：解：对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，故选 B .点评：本题考查了等腰梯形、平行四边形、正方形及矩形的对角线的性质，牢记特殊的四边形的判定定理

14、是解决此类问题的关键.7. 如图，四边形 ABCD 中，/ BAD= / ADC=90 , AB=AD= 2y2 , CD=J2，点 P 在四边3形 ABCD 上，若 P 到 BD 的距离为-，则点 P 的个数为（）2A、1B、2C、3D、4【答案】B【考点】解直角三角形；点到直线的距离.【专题】几何综合题.【分析】首先作出 AB、AD 边上的点 P （ 距离，作出 BC、CD 的点 P （点 C）到 BD 的垂线段 CF,即点 P 到 BD 的最长距离，由已到 BD 的垂线段 AE，即点 P 到 BD 的最CD3知计算出 AE、CF 的长与一比较得出答案.2【解答】解：过点 A 作 AE 丄

15、 BD 于 E,过点 C 作 CF 丄 BD 于 F,/ BAD= / ADC=90 , AB=AD= 22 , CD=皐,： ABD= / ADB=45 ,/CDF=90 -ZADB=45,AAE=AB?tan/ABD=2 J2 ?tan45=2J2 =2 -,2 23所以在 AB 和 AD 边上有符合 P 到 BD 的距离为的点 2 个，2 CF=CD?tanZCDF/2 =1，所以在边 BC 和 CD 上没有到 BD 的距离为-的点,2 28.(2011 黑龙江牡丹江，20 , 3 分)如图，在正方形 ABCD 中，点 0 为对角线 AC 的中点，过点 O 作射线 OM、ON 分别交 A

16、B、BC 于点 E、F，且ZEOF=90 , BO、EF 交于点 P.则下列结论中：(1)图形中全等的三角形只有两对；(2)正方形 ABCD 的面积等于四边形 OEBF 面积的 4 倍;(3)BE+BF = 2OA;2 2(4)AE +CF =2OP?OB,正确的结论有()个.3所以 P 到 BD 的距离为一的点有 2 个，故选：B .2【点评】此题考查的知识点是解直角三角形和点到直线的距离，解题的关键是先求出各边上点到 BD 的最大距离比较得出答案.ENB、2考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质。 分析：本题考查正方形的性质，四边相等，四个角都是直角，

17、对角线相等，垂直且互相平分，且平分每一组对角.解答：解：（1）从图中可看出全等的三角形至少有四对故（1）错误.（2） OBE 的面积和 OFC 的面积相等，故正方形 ABCD 的面积等于四边形 OEBF 面积 的 4倍，故（2）正确.（3）BE+BF 是边长，故 BE+BF = J OA 是正确的.（4）因为 AE=BF , CF=BE，故 AE2+CF2=2OP?OB 是正确的. 故选 C.点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，以及勾股定理和相似三角 形的判定和性质等.9. （2011 广东肇庆，9, 3 分）已知正六边形的边心距为，则它的周长是（）A、6B、12C、6 ,3

18、D、12 ,3考点：正多边形和圆。专题：计算题。分析：设正六边形的中心是O, 一边是 AB，过 O 作 OG 丄 AB 与 G,在直角OAG 中,根据三角函数即可求得边长 AB，从而求出周长.解答：解：如图，在 Rt AOG 中，OG=、一3，/ AOG=30 ,OA=OOcos 30= .3吃.这个正六边形的周长=12.故选 B .考点：翻折变换(折叠问题)。专题：计算题。分析：根据折叠的性质得到 DF=BF=4 ,/ BFE= / DFE，在 Rt DFC 中，根据含 30的直角 三角形三边的关系得到/ FDC=30，则/ DFC=60 ,所以有/ BFE= / DFE= (180- 60

19、)吃, 然后利用两直线平行内错角相等得到/ DEF 的度数.解答：解：矩形纸片 ABCD 按如图方式折叠，使顶点 B 和顶点 D 重合，折痕为 EF, DF=BF=4，/ BFE= / DFE ,在 Rt DFC 中，FC=2, DF=4 ,/ FDC=30 ,/ DFC=60 ,/ BFE= / DFE= (180 - 60)吃=60,/ DEF= / BFE=60 .故答案为 60.点评：此题主要考查正多边形的计算问题,属于常规题.解题的关键是正确的构造直角三角形.、填空题1.(2011?贺州)把一张矩形纸片 ABCD 按如图方式折叠，使顶点为 EF.若 BF=4, FC=2，则/ DEF

20、 的度数是 60B 和顶点 D 重_L点评：本题考查了折叠的性质：折叠前后的两图形全等，即对应角相等，对应线段相等也考查了矩形的性质和含 30的直角三角形三边的关系.2. 1. （2011 湖北孝感，16, 3 分）已知正方形 ABCD，以 CD 为边作等边 CDE，则/ AED 的度数是_考点：正方形的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；等边三角形的性质。专题：计算题。分析：当 E 在正方形 ABCD 内时，根据正方形 ABCD，得到 AD = CD，/ ADC=90 ,根据等边厶 CDE，得到 CD=DE,ZCDE=60 推出 AD=DE，得出/ DAE =ZAED，根据三角形的 内

21、角和定理求出即可；当 E 在正方形 ABCD 外时，根据等边三角形 CDE，推出/ ADE=150 ,求出即可.当 E 在正方形 ABCD 内时，正方形 ABCD , AD = CD，/ ADC=90 ,等边 CDE ,CD = DE,ZCDE=60,/ADE=90 - 60 =30 ,AD=DE,1/DAE =ZAED = (180-/ADE)=75; 2当 E 在正方形 ABCD 外时，等边三角形 CDE ,/EDC=60, / ADE=90 +60 =150 ,1 /AED = / DAE= (180 上ADE ) =15 .2故答案为：15或 75.解答：解：有两种情况：点评：本题主要

22、考查对正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键.3.(2010 河南，13 , 3 分)如图，在四边形 ABCD 中，/ A=90 , AD=4,连接 BD , BD 丄 CD ,/ ADB =ZC.若 P 是 BC 边上一动点，则 DP 长的最小值为4 .分析：根据垂线段最短，当 DP 垂直于 BC 的时候，DP 的长度最小，则结合已知条件推出/ C= / ADC，推出 ABCPBD，即可 AD=DP .解答：解：根据垂线段最短，当 DP 丄 BC 的时候，DP 的长度最小，/ BD 丄 CD, / A

23、DB=ZC,/ A=90C=ZADCABC PBD ,vAD=4,. DP=4 .故答案为：4.点评：本题主要考查了直线外一点到直线的距离垂线段最短、全等三角形的判定和性质、角平分的性质，解题的关键在于确定好DP 处置于 BC .三、解答题1.如图，在梯形 ABCD 中，AD / BC, AB=DC过点 D 作 DE 丄 BC,垂足为 E,并延长ADZ3DE 至 F,使 EF=DE .连接 BF、CD、AC .FF(1)求证：四边形 ABFC 是平行四边形；考点：等腰梯形的性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；矩形的 性质；相似三角形的判定与性质.专题：证明题.分析：（1）连接

24、 BD，利用等腰梯形的性质得到 AC=BD，再根据垂直平分线的性质得 到 DB=FB，从而得到 AC=BF，然后证得 AC / BF，利用一组对边平行且相等判定平行 四边形；（2 ）利用题目提供的等积式和两直角相等可以证得两直角三角形相似，得到对应角相等，从而得到直角来证明有一个角是直角的平行四边形是矩形.解答：证明：（1）连接 BD ,梯形 ABCD 中，AD / BC, AB=DC , AC=BD，/ ACB= / DBCDE 丄 BC , EF=DE , BD=BF，/ DBC= / FBC, AC=BF，/ ACB= / CBF AC / BF ,四边形 ABFC 是平行四边形；(2

25、) DE2=BE?CE,/ DEB= / DEC=90 , BDE DEC / BDC= / BFC=90 ,四边形 ABFC 是矩形.点评：本题考查了等腰梯形的性质、全等及相似三角形的判定及性质等，是一道集合了好几 个知识点的综合题，但题目的难度不算大.2.（2011 四川广安，23, 8 分）如图 5 所示，在菱形 ABCD 中，/ ABC = 60 DE / AC 交BC 的延长线于点 E.求证：DE =丄BE.2图 5考点：菱形的性质，等边三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，线段的倍分关系专题：四边形1分析：思路一：易知四边形 ACED 是平行四边形，则 AD = CE = B

26、C,从而可知 BC=丄 BE,21要说明 DE = - BE,只需说明 DE = BC 即可.2思路二：连接 BD，先证/ BDE = 90再证/ DBE = 30根据 30的角所对的直角边等于斜边的一半可直接获得结论（自己完成证明过程）解答：/ ABCD 是菱形， AD/BC, AB= BC= CD = DA.又/ ABC = 60BC = AC = AD ./ DE / AC ACED 为平行四边形.CE=AD=BC,DE=AC .DE=CE=BC,1 DE = - BE.2点评：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，而平行四边形的对边相等，由此可以得出相等的线段，可实现线段的等量代换（转

27、移），这就为证明线段相等或倍、分关系创造了条件.3. ( 2010 重庆，24, 10 分)女口图，梯形 ABCD 中，AD / BC, / DCB=45 CD=2 , BD 丄 CD .过 点 C 作 CE 丄 AB 于 E，交对角线 BD 于 F，点 G 为 BC 中点，连接 EG、AF .(1 )求 EG 的长；(2)求证：CF=AB+AF .考点：梯形；全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；勾股定理分析：(1)根据 BD 丄 CD，/ DCB =45 ,得到/ DBC =ZDCB，求出 BD=CD=2，根据勾股定理求出 BC=2 .2，根据 CE 丄 BE,点 G 为 BC

28、的中点即可求出 EG；(2)在线段 CF 上截取 CH = BA，连接 DH，根据 BD 丄 CD , BE 丄 CD，推出/ EBF= / DCF , 证 出 ABDHCD , 得 至 U AD=BD , / ADB =ZHDC , 根 据 AD / BC , 得 到 / ADB =ZDBC=45 ,推出/ ADB = / HDB，证出 ADFHDF，即可得到答案.解答：(1)解： BD 丄 CD , / DCB=45 ,/DBC=45 = / DCB ,二 BD=CD=2，在 RtABDC 中 BC= .BD2CD2=2 2 , / CE 丄 BE , 点G 为 BC 的中点， EG=-B

29、C=2.2答：EG 的长是2.(2)证明：在线段 CF 上截取 CH=BA,连接 DH ,G24 题图D24 题答图/ BD 丄 CD, BE 丄 CE ,/ EBF + / EFB=90, / DFC+ / DCF=90/EFB =ZDFC,/EBF =ZDCF,/ DB = CD , BA=CH , ABDHCD , AD = DH，/ADB =ZHDC,/ AD / BC,/ADB =ZDBC=45,/ HDC =45 , HDB = / BDC -/ HDC =45 ,/ADB =ZHDB,/ AD = HD , DF=DF , ADFHDF , AF=HF , CF=CH + HF=

30、AB+AF, CF=AB+AF.点评：本题主要考查对梯形，全等三角形的性质和判定，平行线的性质，直角三角形斜边上的中线，勾股定理等知识点的理解和掌握，综合运用性质进行推理是解此题的关键.4.(2011?泰州，24, 10 分)如图，四边形 ABCD 是矩形，直线 I 垂直平分线段 AC,垂足 为 O,直线I 分别与线段 AD、CB 的延长线交于点 E、F.(1) ABC 与厶 FOA 相似吗？为什么？(2) 试判定四边形 AFCE 的形状，并说明理由.FB C考点：相似三角形的判定；线段垂直平分线的性质；菱形的判定；矩形的性质。专题：证明题；综合题。分析：（1）根据角平分线的定义，同角的余角相

31、等可知/AFO= / CAB，根据垂直的定义，矩形的性质可知/ ABC= / FOA，由相似三角形的判定可证 ABC 与厶 FOA 相 似；（2）先证明四边形 AFCE 是平行四边形，再根据对角线互相垂直平分的平行四边形 是菱形作出判断.解答：解：（1）v直线|垂直平分线段 AC ,/ AFO= / CFO,/ CFO+ / FCO= / CAB+ / FCO=90 ,/ AFO= / CAB ,/ AOF= / CBA=90 , ABC FOA .（2）v直线|垂直平分线段 AC , AF=CF ,可证 AOFAOE , AE=CF, FO=EO .四边形 ABCD 是矩形，四边形 AFCE

32、 是平行四边形，四边形 AFCE 是菱形.点评：考查了线段垂直平分线的性质，相似三角形的判定，矩形的性质，菱形的判定，综合 性较强，有一定的难度.5.（2010 重庆，26, 12 分）如图，矩形 ABCD 中，AB=6, BC=23，点 O 是 AB 的中点，点 P 在 AB 的延长线上，且 BP=3 .一动点 E 从 O 点出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿OA 匀速运动，到达 A 点后，立即以原速度沿 AO 返回；另一动点 F 从 P 点发发，以每秒 1 个单位长度的速度沿射线 PA 匀速运动，点 E、F 同时出发，当两点相遇时停止运动，在点E、F 的运动过程中，以 EF 为边作等边E

33、FG ,使厶 EFG 和矩形 ABCD 在射线 PA 的同侧.设 运动的时间为 t 秒（t0.（1）当等边EFG 的边 FG 恰好经过点 C 时，求运动时间 t 的值；(2)在整个运动过程中，设等边EFG 和矩形 ABCD 重叠部分的面积为 S,请直接写出 S 与 t 之间的函数关系式和相应的自变量t 的取值范围；(3) 设 EG 与矩形 ABCD 的对角线 AC 的交点为 H ,是否存在这样的 t，使厶 AOH 是等腰三 角形？若存大，求出对应的 t 的值；若不存在，请说明理由.26 题图考点：相似三角形的判定与性质；根据实际问题列二次函数关系式；等腰三角形的性质；等边三角形的性质；矩形的性

34、质；解直角三角形分析：(1)当边 FG 恰好经过点 C 时，/ CFB=60 BF=3 - t,在 RtACBF 中，解直角三角 形可求 t 的值；(2) 按照等边 EFG 和矩形 ABCD 重叠部分的图形特点， 分为 OWV1, 1WV3, 3WV4, 4W v6四种情况，分别写出函数关系式；(3) 存在当AOH 是等腰三角形时，分为 AH=AO=3, HA=HO , OH = OA 三种情况，分别画出图形，根据特殊三角形的性质，列方程求t 的值.解答：解：(1)当边 FG 恰好经过点 C 时，/ CFB=60 BF=3 - t,在 RtACBF 中，BC=2 ；3,tan / CFB=BC

35、，即 tan60=， 解得BF=2， 即 3 - t=2, t=1 ,二当边 FG 恰好经过点 C时，t=1 ；BFBF当 1WV3 时，S= -3t2+3、.3t+7;2 2当 3WV4 时，S= - 4、3t+20 、3;当 4WV6 时，S= . 3 t2- 12、. 3 t+36 . 3 ;(3)存在.理由如下：在 RtAABC 中，tan/ CAB=BC= 3,AB 3/CAB=30又/HEO=60 /-ZHAE =/AHE=30 AE=HE=3 - t 或 t - 3,1)当 AH=AO=3 时，(如图)，过点 E 作 EM 丄 AH 于 M，贝 U AM =3AMo在 RtAAM

36、E 中，cosZMAE ，即 cos30 厶,AEAE AE= . 3，即 3 - t=丿3或 t- 3=, t=3 - 3或 t=3+3,G(2)当 OWV1 时，S=2、_3t+4.3;13-AH=,2226 题答图2）当 HA = HO 时，（如图）则/ HOA=/HAO =30 又/ HEO=60 / EHO=90 EO=2HE=2AE,又 AE+EO=3 , AE+2AE=3, AE=1, 即 3 - t=1 或 t 3=1 , t=2 或 t=4;26 题答图3）当 OH=OA 时，（如图），则/ OHA= / OAH =30 / HOB=60 = / HEB ,点 E 和点 O

37、重合，26 题答图综上所述，存在 5 个这样的 t 值，使 AOH 是等腰三角形，即 t=3 - . 3 或 t=3+七或 t=2或 t=2 或 t=0 .点评：本题考查了特殊三角形、矩形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形的有关知识.关键是根据特殊三角形的性质，分类讨论.6.（2011 湖北咸宁，22, 10 分）（1）如图，在正方形 ABCD 中，AEF 的顶点 E, F 分别在 BC, CD 边上，高 AG 与正方形的边长相等，求/EAF 的度数.t=0；（舍去） 或(2)如图，在 RtAABD 中，/ BAD=90 , AB=AD,点 M , N 是 BD 边上的任意两点，且/

38、 MAN=45 ,将厶 ABM 绕点 A 逆时针旋转 90至厶ADH 位置，连接 NH ,试判断 MN ,ND，DH 之间的数量关系，并说明理由.(3)在图中，连接 BD 分别交 AE, AF 于点 M , N，若 EG=4, GF=6, BM=32，求分析：(1)根据高 AG 与正方形的边长相等，证明三角形相等，进而证明角相等，从而 求出解.(2)用三角形全等和正方形的对角线平分每一组对角的知识可证明结论.(3)设出线段的长，结合方程思想，用数形结合得到结果.解答：(1)在 Rt ABE 和 Rt AGE 中，AB AG,AEBAE GAE.同理，GAF DAF.1EAF BAD2AE,45

39、.考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理。(2)MN22ND2DH2BAMDAHBAM DAN45HANDAHDAN 45.HANMAN.又AM AH,ANAN,MNHN.BAD90,ABAD,ABDADB 45.HDNHDAADB 90.NH2ND2DH2MN2ND2DH1)知，BE EG,DF FG.设AG x，贝U CE x4,CF x 6.(3)由(2 2 2- MN2ND2BM2考点：梯形；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；菱形的判定与性质。专题：几何综合题。分析：（1）根据 AB=AD 及 AE 为/ BAD 的平分线可得出/ 1 = / 2，从而证得

40、BAE耳DAE ,这样就得出四边形 ABED 为平行四边形，根据菱形的判定定理即可得出结论；（2）过点 D 作 DF / AE 交 BC 于点 F，可得出 DF=AE , AD=EF=BE，再由 CE=2BE 得出DE=EF，从而结合/ ABC=60 , AB / DE 可判断出结论.解答：（1）证明：如图，TAE 平分/ BAD ,/ 1 = / 2,/ AB=AD , AE=AE , CE2CF2EF2,(x 4)2(x6)2102.解这个方程，得x112,x22（舍去负根） .AG 12.BDAB2AD2.2AG212.2.在（2）中，MN2ND2DH2,BM DH,设MN a，则a2(

41、12.23 2 a)2(3 2)2. a 5.2.即MN 5.2.点评：本题考查里正方形的性质，四边相等，对角线平分每一组对角,以及全等三角形的判定和性质，勾股定理的知识点等.7. （2011?贵港）如图所示，在梯形 ABCD 中，AD / BC , AB=AD，/ BAD 的平分线 AE 交BC 于点 E,连接 DE .（1）求证：四边形 ABED 是菱形; BE=DE ,/ AD / BC ,/ 2= / 3=Z 1 , AB=BE , AB=BE=DE=AD ,四边形 ABED 是菱形.(2)解：CDE 是直角三角形.如图，过点 D 作 DF / AE 交 BC 于点 F, 则四边形 A

42、EFD 是平行四边形， DF=AE , AD=EF=BE ,/ CE=2BE , BE=EF=FC , DE=EF ,又/ ABC=60 , AB / DE , / DEF=60 , DEF 是等边三角形， DF=EF=FC , CDE 是直角三角形.点评：本题综合考查了梯形、全等三角形的判定及性质、菱形的判定及性质，难度较大，解答本题需要掌握有一组邻边相等的平行四边形是菱形，直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半.8.（2011?安顺）如图，在ABC 中，/ ACB=90 , BC 的垂直平分线 DE 交 BC 于 D,交AB 于 E, F 在 DE 上，且 AF=CE=AE .(1) 说明

43、四边形 ACEF 是平行四边形；(2) 当/ B 满足什么条件时，四边形 ACEF 是菱形，并说明理由.考点：菱形的判定；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质； 平行四边形的判定。分析：(1)证明 AECEAF，即可得到 EF=CA，根据两组对边分别相等的四边形是平 行四边形即可判断；(2)当/ B=30 时，四边形 ACEF 是菱形.根据直角三角形的性质，即可证得AC=EC，根据菱形的定义即可判断.解答：(1)证明：由题意知/ FDC= / DCA=90 , EF / CA ,/ AEF= / EAC ,/ AF=CE=AE ,/ F= / AEF= / EAC= / ECA .又

44、AE=EA , AECEAF , EF=CA ,四边形 ACEF 是平行四边形.(2)当/ B=30时，四边形 ACEF 是菱形.理由是：/ B=30 ,/ ACB=90 ,AC=R-二DE 垂直平分 BC , BE=CE ,又 AE=CE , CE=F；工 AC=CE ,四边形 ACEF 是菱形.点评：本题主要考查了平行四边形的判定以及菱形的判定方法，正确掌握判定定理是解题的关键.9.(2011?湘西州)如图，已知矩形 ABCD 的两条对角线相交于 O,/ ACB=30 , AB=2 .(1 )求 AC 的长.(2) 求/ AOB 的度数.(3) 以 OB、OC 为邻边作菱形 OBEC，求菱

45、形 OBEC 的面积.考点：矩形的性质；含 30 度角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质。专题：综合题。分析：(1)根据 AB 的长结合三角函数的关系可得出AC 的长度.(2)根据矩形的对角线互相平分可得出 OBC 为等腰三角形，从而利用外角的知识可得出/ AOB 的度数.(3) 分别求出OBC 和厶 BCE 的面积，从而可求出菱形 OBEC 的面积.解答：解(1)在矩形 ABCD 中，/ ABC=90 , Rt ABC 中，/ ACB=30 , AC=2AB=4 .(2)在矩形 ABCD 中, AO=OA=2 ,又 AB=2 ,AOB 是等边三角形，/ AOB=60 .(3) 由勾股定理，得

46、 BC=:- 2 -二七=| X 2 X 275 = 2畐.一匚匸= ，所以菱形 OBEC 的面积是 2 T.点评：本题考查矩形的性质、菱形的性质及勾股定理的知识，综合性较强，注意一些基本知识的掌握是关键.10.(2011 年山东省东营市，19,8 分)如图，在四边形 ABCD 中，DB 平分/ ADC，/ ABC=120 ,1/ C=6C，/ BDC=30 ;延长 CD 到点 E,连接 AE，使得/ E=- / C.2(1)求证：四边形 ABDE 是平行四边形；(2 )若 DC=12，求 AD 的长.考点：等腰梯形的性质；含 30 度角的直角三角形；平行四边形的判定与性质.专题：计算题；证明

47、题.分析：(1)可证明 AB / ED , AE / BD，即可证明四边形 ABDE 是平行四边形；由/ ABC=120 ,1/ C=60，得 AB / ED ； Z E= / C= / BDC=30，得 AE / BD ；2(2)可证得四边形 ABCD 是等腰梯形，AD=BC，易证BDC 是直角三角形，可得 BC=1DC=6.2解答：证明：(1 )/ ABC=120，/ C=60 ,/ ABC+ / BCD=180 , AB / DC，即 AB / ED ;1又/ C=60，/E=/C,ZBDC=30,2/ E= / BDC=30 , AE / BD，四边形 ABDE 是平行四边形；解：(2

48、)vAB/DC,四边形 ABCD 是梯形，/ DB 平分/ ADC，/ BDC=30 ,/ ADC= / BCD=60 ,四边形 ABCD 是等腰梯形； BC=AD ,在 BCD 中，/ C=60，/ BDC=30 ,/ DBC=90 ,又 DC=12 ,1 AD=BC= - DC=6.2点评：本题考查了知识点较多，有等腰梯形、直角三角形的性质以及平行四边形的判定和性质，只有牢记这些知识才能熟练运用.11.(2011 浙江宁波，23,?)如图，在 CABCD 中，E、F 分别为边 AB、CD 的中点，BD是对角线，过点 A 作 AG / DB 交 CB 的延长线于点 G .(1) 求证：DE

49、/ BF ;(2) 若/ G = 90求证：四边形 DEBF 是菱形.考点：菱形的判定；平行线的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质。专题：证明题。分析： (1)根据已知条件证明 ADECBF， 即/ 3=ZCBF， 再根据角平分线的性质 可知/BDE=ZFBD，根据内错角相等，即可证明DE / BF,(2)根据三角形内角和为 180可以得出/ 1 =Z2,再根据邻边相等的平行四边形是菱形， 从而得出结论.解答：证明：(1)v四边形 ABCD 是平行四边形，/4=ZC,AD=CB,AB=CD.点 E、F 分别是 AB、CD 的中点，11- AE = - AB , CF= CD . A

50、E = CF , ADE CBF,22/3=ZCBF,/ADB=ZCBD，/2=ZFBD, DE/BF,(2)/ G = 90 四边形 AGBD 是矩形，/ ADB = 90/2+/3=90 2/2+2/3=1801= Z2，/3=Z4.DE = AE = BE AB / CD , DE / BF，四边形 DEBF 是菱形.点评：本题主要考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定、平行的判定、菱形的判定，比较综合，难度适中.10.12.(2011 浙江嘉兴，23, 10 分)以四边形 ABCD 的边 AB . BC. CD . DA 为斜边分别向外侧作等腰直角三角形， 直角顶点分别为 E . F

51、. G. H，顺次连接这四个点， 得四边形 EFGH .(1)如图 1,当四边形 ABCD 为正方形时，我们发现四边形EFGH 是正方形；如图 2,当四边形 ABCD 为矩形时，请判断：四边形 EFGH 的形状(不要求证明)；(2)如图 3，当四边形 ABCD 为一般平行四边形时，设/ ADC =a(OVaV90,1试用含a的代数式表示/ HAE ;2求证：HE=HG ;四边形 EFGH 是什么四边形？并说明理由.f 圏 0(2)(圈对考点：正方形的判定；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；菱形的判定与性质.专题：证明题.分析：(1)根据等腰直角三角形得到角都是直角，且边都相等即可判断答案

52、；(2)/ HAE=90+a,根据平行四边形的性质得出，/BAD=180 - a，根据 HAD和厶 EAB 是等腰直角三角形，得到/HAD = / EAB=45求出/ HAE 即可；根据AEB 和厶 DGC 是等腰直角三角形， 得出 AE-2AB , DC2CD ,平行四边形的2 2性质得出 AB=CD，求出/ HDG =90+a= / HAE，证 HAEHDC，即可得出 HE = HG ；3由同理可得：GH=GF , FG=FE ,推出 GH=GF = EF=HE ,得出菱形 EFGH ,证 HAEHDG ,求出/ AHD=90 / EHG=90 即可推出结论.解答：(1)答：四边形 EFG

53、H 的形状是正方形.(2)解：/ HAE=90 + a ,在平行四边形 ABCD 中 AB / CD ,/ BAD=180 -Z ADC=180 - a ,HAD 和厶 EAB 是等腰直角三角形，/HAD =/EAB=45,/HAE =360-ZHAD /EAB /BAD=360-45 -45 -(180a)=90+a,答：用含a的代数式表示ZHAE 是 90 +a.证明： AEB 和厶 DGC 是等腰直角三角形，在平行四边形 ABCD 中，AB=CD ,AE=DG,HAD 和厶 GDC 是等腰直角三角形，ZHDA=ZCDG=45,ZHDG =ZHDA+ZADC+ZCDG=90+a=ZHAE,

54、HAD 是等腰直角三角形，HA=HD, HAEHDC ,HE=HG.答：四边形 EFGH 是正方形，理由是：由同理可得：GH=GF , FG = FE,/ HE = HG, GH=GF = EF=HE ,四边形 EFGH 是菱形，/ HAEHDG ,ZDHG =ZAHE,vZAHD =ZAHG+ZDHG=90,ZEHG=ZAHG+ZAHE=90,四边形 EFGH 是正方形.点评：本题主要考查对正方形的判定，等腰直角三角形的性质，菱形的判定和性质，全等三 角形的性质和判定，平行线的性质等知识点的理解和掌握，综合运用性质进行推理是解此题的关键.13.（2011 梧州，22, 8 分）如图，在？AB

55、CD 中，E 为 BC 的中点，连接 DE .延长 DE 交考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质。专题：证明题。分析：根据平行四边形的性质先证明 DECFEB，然后根据 AB=CD，运用等量代换即 可得出结论.解答:解：由 ABCD 是平行四边形得 AB / CD ,/CDE=/F,ZC=ZEBF.又 E 为 BC 的中点，DECFEB , DC=FB .又: AB=CD , AB=BF .点评：本题考查了平行四边形的性质及全等三角形的判定，难度一般，对于此类题目关键是熟练掌握并运用平行四边形的性质.14.（2011?玉林，25, 10 分）如图，点 G 是正方形 ABCD 对角线

56、CA 的延长线上任意一点,以线段 AG 为边作一个正方形 AEFG，线段 EB 和 GD 相交于点 H .(1) 求证：EB=GD ;(2)判断 EB 与 GD 的位置关系，并说明理由；考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理。分析：(1 )在 GAD 和厶 EAB 中，/ GAD=90 + / EAD , / EAB=90 +/EAD，得 到 / GAD= / EAB从而 GADEAB，即 EB=GD ;(2) EB 丄 GD，由(1)得/ ADG= / ABE 则在 BDH 中，/ DHB=90 所以 EB 丄 GD ;(3) 设 BD 与 AC 交于点 0,由 AB=AD=2

57、 在 Rt ABD 中求得 DB，所以得到结果.解答：(1)证明：在GAD 和厶 EAB 中，/ GAD=90 +ZEAD，/ EAB=90 +ZEAD ,/GAD=/EAB,又 AG=AE , AB=AD , GADEAB , EB=GD ;(2) EB 丄 GD，理由如下：连接 BD,由(1)得：/:ADG= / ABE，则在BDH 中，/ DHB=180 (/ HDB+ / HBD ) =180 9090 EB 丄 GD ;(3)设 BD 与 AC 交于点 O,/AB=AD=2 在 Rt ABD 中，DB=AB2AD22 2, EB=GD=OG2OD28210.点评：本题考查了正方形的性

58、质，考查了利用其性质证得三角形全等，并利用证得的条件求得边长.15.(2011?安顺，25 , 9 分)如图，在 ABC 中，/ ACB=90 , BC 的垂直平分线 DE 交 BC于 D ,交 AB 于 E, F 在 DE 上，且 AF=CE=AE .(1) 说明四边形 ACEF 是平行四边形；(2) 当/ B 满足什么条件时，四边形 ACEF 是菱形，并说明理由.考点：菱形的判定；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；平行四边形的 判定。分析：(1)证明AECEAF，即可得到 EF=CA，根据两组对边分别相等的四边形 是平行四边形即可判断；(2)当/ B=30时，四边形 ACEF

59、是菱形.根据直角三角形的性质，即可证得AC=EC，根据菱形的定义即可判断.解答：(1)证明：由题意知/ FDC= / DCA=90 , EF / CA ,/ AEF= / EAC ,/ AF=CE=AE ,/ F= / AEF= / EAC= / ECA .又 AE=EA , EF=CA ,四边形 ACEF 是平行四边形.(2)当/ B=30 时，四边形 ACEF 是菱形.理由是：/ B=30 ,/ ACB=90 ,-AC= AB ,2DE 垂直平分 BC , BE=CE ,又 AE=CE , 1-CE= AB ,2 AC=CE ,四边形 ACEF 是菱形.点评：本题主要考查了平行四边形的判定

60、以及菱形的判定方法，正确掌握判定定理是解题的关键.16.(2011 海南，23 , 10 分)如图，在菱形 ABCD 中，/ A = 60 点 P、Q 分别在边 AB、BC 上，且 AP= BQ.(1) 求证：BDQADP ;考点：菱形的性质；全等三角形的判定与性质；解直角三角形。1分析：(1)由四边形 ABCD 是菱形，可证得 AD = AB，/ ABD = Z CBD = - Z ABC, AD / BC,2又由 Z A= 60易得ABD 是等边三角形，然后由 SAS 即可证得BDQADP ;(2)首先过点 Q 作 QE 丄 AB，交 AB 的延长线于 E,然后由三角函数的性质，即可求得P