考虑一级交互作用的正交试验设计041019200448

1、§6.6考虑一级交互作用的正交试验设计前面介绍了不考虑交互作用的正交试验设计，现在来看一下考虔交互作用的情形。2个因子之间的交互作用，如/xB_4xC,0xC,，称为一级交互作用，3个因 子之间的交互作用，如-4x£xC,3xCxZX，称为二级交互作用，一般地，k 个因子之间的交互作用，称为k-1级交互作用。考氓-级交互作用的正交试验设计和数据处理，可按下列步骤进行：(1) 选正交表Z(rw) o选择的原则是：/要等于因子的水平数：m要人于或等于因子的个数加上r-1 与一级交互作用个数的乘枳：n是试验次数，要尽可能小。例如，问题中有3个因子：d,5C,每个因子都是3个水平。

2、要求考虑一级交互作 K AxB.AxC.BxC.选正交表时，首先要选r=3的表。这样的正交衷有 Z9(34), Z27(3b),-。因子的个数3加上r-1与一级交互作用个数3的乘积等于 3 + (3 l)x3 = 9。在 厶(34)中，m = 4 ,小于9 ,所以不符合要求。在Z27(3B) 中，w=13，大于9 ,符合要求。而且在符合要求的正交表中，Z27(3b)的试验次数 =27为最小，所以，我们最后选定正交表Z27(313) o(2) 设计表头，将各个因子、各个一级交互作用安排在正交表的各列上方，每个因子占1列，每个一 级交互作用占r-1列。因子和交互作用不能任意安放，需要查交互作用表例

3、如，问题中有3个因子：&5C,每个因子都是2个水平。要求考虑一级交互作 用AxB.AxC.BxC.因子的个数3加上7 -1与一级交互作用个数3的乘积等于 3 + (2-l)x3 = 6。在符合要求7 =2, 77/>6的正交表中，厶(2?)的ti =8为最小， 所以，我们选正交表Zs(27) o安排表头，需要查交互作用表。书后附录中有一个“2水平正交表的交互作用 表”。首先，安排因子/和因子8,它们可以任意安放，我们将/放在第1列，将3放 在第2列。接着，就要安排交互作用AxB ,在交互作用表中，列号1的横行与列号2的 纵列的相交处，冇一个数字3 ,这表明AxB应安排在第3列。然

4、后，安排因子C , 它必须放在冃前还是空白的列上，我们将C放在第4列。接下米，又要査交互作用表， 以便安排交互作用AxC和BxC。由于列号1与列号4的柑交处是数字5,所以AxC应安排在第3列。由于列号2与列号4的相交处是数字6,所以BxC应安排在第6列。 最后，剩下第7列作为空白列。表头ABAxBCAxCBxC表头列号1234567A1(1)325476B2(2)16745AxB3(3)7654C4(4)123Ax C5(5)32(3) 按照设计做试验.取得试验观测值，正交表的每一行代表一种水平组合，对每一种水平组合做一次试验。共得到H个试 验观测值：X、XwX. o(4) 在正交表的毎一列中

5、，求出与各水平对应的均值，以及这一列的平方和。在每一列中,先计算出分别与数字1, 2,对应的观测值之和硏“矽"，网以及与各水平对应的均值X-=三丄。再计算出这一列丿 nr - nrJ nr的平方和=-Y(XtJ-X)2。r 1-1列方差分析现作显著性检验来源平方和自由度均方F值分位数ASSa刀=11MS, = SSA/fAMS 4 戸=MS«F2EBSSbfB =厂-1MSb = SSB/fBF _临 Fb MS.:-:Ax Bss ©/=(r-l)2MS" = SS 3 / fiBF 一叫 也MSt(f.iB' X)误差ss©feMS

6、e=SSjfe总和SSTA = -1其中，-壬)'是总平方和。SSSSb、 分别是表头为4 5 *-1的各列的平方和。SS坊是表头为AxB的1-1列的平方和之和，SSqSSbc，也是类似这样的平方和之利。SS.=SSt-SSa-SSbSS©- 是误差平方和。可以证明，SSt = ±SS）,即SS是各列的平方和之和，所以，SS.就是空白列的平方 J-1和之和。fT=n-是总自由度，兀=兀=1是各因子的自由度，Z = Ac= - = O-i）2是各交互作用的自由度，f. = fT-h-fB 几一 是误差自由度。MS. = SSA/fA , MSb = SSB/fB ,-

7、是各因子的均方，AfSiB = SS jf a ,-是各交互作用的均方，MSe=SSjfe是误差均方。可以证明，若因子/的作用不显著，则/=些尸（几，刀）：若因子J的作用MS,显著，则耳的值会偏人，统计最耳的分布，相对于F（力，刀）分布来说，峰值的位置会有 一个向右的偏移。若交互作用AxB不显著，则；若交互作用AxB显著,MS.则尸坊的值会偏人，统计量£坊的分布，相对于F（J门,f）分布来说，峰值的位置会有一 个向右的偏移。所以，只要给定显著水平a ,就可以用F分布检验因子.4, 5 以及交互作用 AxB9 JxC, 是否显著。（6）寻找量优水平组合，对每个因子，比较各水平的均值的大

8、小，可以确定哪一个水平最优。对每个一级交互作用，比较各种双因子水平组合的均值的人小，町以确定哪一种双因 子水平组合最优。综介考虑以上两方而得到的结果，求出包括全部因子的最优水平组介。下面看一个实际例子。例1为提高水稻的亩产量（单位：kg），进行3因子2水平正交试验。所取的因子 利水平分别为：因子A是水稻品种，热是铁大，-£是双广：因子B是插植距离，B是15 cmX 12 cm , B、是15cmX15cm :因子C是化肥用量，C是10kg/亩，C2是12.5 kg/亩。在进行正交试验设计时，考虑交互作用AxB.AxC.BxC.要求检脸因子 A,B,C以及交互作用 »BJxC

9、,BxC是否显著（显著水平a = 0.05 ）,并J1找出 最优水平组合。解（1）选正交表。按照r = 2, m > 6, 11尽可能小的原则，选用 厶Q7）。（2）设计表头。如同前面已举例说明过的那样，可将因子A,B、C安排在第1, 2,4列，交互作用AxB、AxC,BxC安排在第3, 5, 6列。（3）按照设计做试验，取得试验观测值。试验得到的观测值见下表。（4）求齐列与各水平对应的均值和齐列的平方和。计算结果见下表。表头ABAx BcJxCBxC观测值（田产量）A、列号 试、 验号123456711111111805211122227503122112288541222211850

10、52121212965621221218707221122181182212112730822.5844.0847.5819.0774.0892.5866.5800.0822.5844.0837.5829.0834.0832.5X = 833.25SS.924.51624.528084.58844.5924.5144.54.5ST =40551 5（5）列方差分析表，作显著性检验。来源平方和自由度均方F ;IL分位数ASSA = 924.5r-l = l924.5Fa =205.44厲 95 (I，】)=0BSSB = 1624.5r-l = l1624.5Fb =361.00耳 95 (1，

11、1) = 161CSSC = 8844.5r-l = l8844.5Fc =1965.44厲95(1'1)= “1AxBSS 屈=28084.5(-l)'l28084.5F© =6241.0厲 95 (I'D = “1AxCSS.C =924 5o-i)2 = i924.5FiC =205.44坨 95 (1,1) = 161BxCSSBC = 144.50-l)2=l144.5屉=32.11坨 95(1'D = 161误差SS. =4.57-l-l-l-l-l-l=l4.5总和SST =40551.5n -1 = 7因为Fa = 205.44 >

12、; 161 = F_a（fA, ft）,所以因子A作用显著。因为 巧=361.00 >161 =鼻。（兀，刀），所以因子B作用显著。因为 耳=1965.44 >161 = FifC/c，/；），所以因子C作用显著。因为Fa =6241.0 >161 = F-（/“，£）,所以交互作用Ax B显著。因为 FiC = 205.44 > 161 = _a（/4C, fg），所以交互作用 AxC 显著。 但因为FBC = 32A<6 = FafBCy fg）,所以交互作用BxC不显瓠（6）寻找绘优水平组合。对于因子A ,因为A】的均值Xn=822.5 ,a2的均

13、值壬2】=844.0 ,其中壬H = 844.0最大,所以A2是最优水平。对于因子B ,因为B的均值xn=847.5 ,b2的均值= 819.0 ,其中岳2 = 847.5最人，所以Bx是最优水平。对于因子C ,囚为q的均值无口=866.5 ,C,的均值=800.0 ,其中X1A = 866.5绘人，所以是最优水平。如果不考虑交互作用，把3个因子的最优水平简单地组介起來，可以得到最优水平组合（比，£,6） o下面考虑交互作用。对于交互作用AxB ,各种双因子水平组合的均值为:组合均值组合均值3,3)仆兀=805 + 750 = 777.52 2（舟虽）兀 +俎=885 + 850 = 867 5 C2'兀+兀= 965 + 870 = 917.52 2C2，811+730=770.52 2其中，91