三角恒等变换_知识点例题练习

1、两角和与差的正弦、余弦和正切基础梳理1. 两角和与差的正弦、余弦、正切公式C(d一亦 cos(aQ =cos_acos_0+sin_asin_/?；(2) (3(卄亦 cos(a+Q=cos_acossin_asin_“;(3) S(c+亦 sin(a+® = sin_acos_/?+cos_asin_“;(4) S(c-q： sin(a® = sin_acos_0 cos_asin_“;tan(7 4-tan B +加 tan(a+Qj_tmn man 0；tan tan p(6)T(% tan(aQ=i+taii 皿池直2. 二倍角的正弦、余弦、正切公式(1) S2：

2、sin 2a=2sin_acos_a;(2) C2fl： cos 2a=cos?asin2a=2cos2a 1 = 1 Zsin'a;tan 2ci=2tan a 1tan2n3. 有关公式的逆用变形等(1) tan a±tan /?=tan(<7± )(1+ tan_otan_yg)；1 +cos 2a1cos 2a(2) cosp=, sinp=；(3) 1 + sin 2n= (sin a+cos <7)2,1 sin 2a=(sin ncos <7)2,4. 函数 7(a) = ncos a+Z?sinb 为常数),可以化为=/?+62si

3、n(a+0或=lr-trcos(a- ,其中©可由內方的值唯一确定.两个技巧(丄)捱角丄拼角技-巧症三±0土 ：70.訣三仗±0二0卫三学二鷲卷字(2)化简技巧：切化弦“1”的代换等.三个变化 变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑” (2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升無与降無”等.(3) 变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”.“逆用变用公式”.“通分约分”.“分解 与组合”“配方与平方”等.双基自测1. （人教A版教材习题改编）下列各

4、式的值为扌的是（）.B. l-2sin275°D. sin 15° cos 15°sin 2a7CA. 2cos2 12tan 22.5°C，l-tan222.5°2. （2011 ）若坦11 a=3,则二的值等于（）.COB Cl23. 已知 sin a=,则 cos（兀一2a）等干（）.K14. （2011 -）设 sin|j+0=§,则 sin 20=（）.5. tan 20° +tan 40° +3tan 20c tan 40c =考向一三角函数式的化简【例1】A化简2cos4x 2cos2x+/K2tan

5、 -【4xnsin2 4-x4 ,审题视点切化弦，合理使用倍角公式.方法总结三角函数式的化简要遵循“三看”原则：（1）一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确 使用公式；（2）二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公 式；（3）三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向.【训练1】化简:sin a+cos a 1 sin acos a+ 1sin 2 a考向二三角函数式的求值7T【例 2 已知 OV“V；V <7<K,且 COS Cl-a 一 2sl1 -y=9 求 cos(a方法总结三角函数的给值求值，关键是把待求角用已知角表示：(1

6、) 已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差.(2) 已知角为一个时，待求角一般与已知角成"倍的关系”或“互余互补”关系.(兀)41【训练 2】已知 a, 0 0, -j, sin a=f tan(aQ = §,求 cos 0 的值.考向三三角函数的求角问题113K【例3】已知cos匕=刁cos(<7-) = ,且OV0V&V歹 求几方法总结通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：已知正切函数值，选正切函数；已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；、71若角的围是0, -J,选正、余弦皆可；若角的围是(0, K),选余弦较好；若角的Z、

7、k n围为一刁2，选正弦较好./ 【训练3】已知a, 0 ,且tan a, tan p是方程疋+ 3羽x+4 = 0的两个根，求a+0的值.考向四 三角函数的综合应用【例4】(2010 )已知函数仙 = 2cos 2x+ sin2x.求(2)求彳氏的最大值和最小值.独总紗高考对两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式的考査还往 往渗透在研究三角函数性质中.需要利用这些公式，先把函数解析式化为y= 力sin(宓+创的形式，再进一步讨论其定义域、值域和最值、单调性、奇偶性、 周期性、对称性等性质.【训练4】 已知函数 心) = 2sin(7rcos x.求H力的最小正周期； n n(2)求4氏

8、在区间一&, 3上的最大值和最小值.三角函数求值、求角问题策略面对有关三角函数的求值、化简和证明，许多考生一筹莫展，而三角恒等变换更 是三角函数的求值、求角问题中的难点和重点，其难点在于：其一，如何牢固记 忆众多公式，其二，如何根据三角函数的形式去选择合适的求值、求角方法. 一、给值求值一般是给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键 在于“变角”，如a=(a+Q 0, 2a=(a+Q + (aQ等，把所求角用含已知 角的式子表示，求解时要注意角的围的讨论.' 兀tan x【示例】 (2011 )已知tan *+&| = 2,则百页M值为二、给值求

9、角"给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已 知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角.1 1【不例】 (2011 月考)已知 tan(a-)=-, tan且 a, 0(0,兀)，求2a-/3的值.三角恒等变换与向量的综合问题两角和与差的正弦、余弦、正切公式作为解题工具，是每年高考的必考容，常在选择题中以条件求值的形式考查.近几年该部分容与向量的综合问题常出现在解答题中，并且成为高考的一个新考査方向.【示例】 （2011 模）已知向量a=（sin 0y 2）与b=（l9 cos 6）互相垂直,其中处”,求sin。和cos 0的值;若 5co

10、s(9) = 3-cos(py 0<(p<y 求 cos cp 的值.【课后训练】A组专项基础训练（时间：35分钟，满分：57分）一、选择题（每小题5分，共20分）11.（2012 -）若 tan&+ =4,则 sin 2&等干tan uA.2.嘶大纲全国）如为第二象限角，心+再，则C5等于A.D3.巳知a, 0都是锐角，若sin a=¥，sin 0=晋，则c+0等干4.JT3kb-tn 3nc.&和才71371(2011 )若 a 0,且 sin2n+cos 2a=-,则 tan a 的值等于4C.yf2二、填空题（每小题5分，共15分）5cos

11、275° + cos215° +cos 75° cos 15° 的值等干寸Stan 12° -34cos212° -2 sin 12°7.33sin <7=, cos 0=二、其中 a,H1o,-，则 a+0= z/三、解答题（共22分）8.（10分）巳知1+sin a1sin a1sin a1+sin c=2聞 6试确定使等式成立的a的取值集合.9.（12分）巳知«（|,兀sin r+cos£_远2= 2 (1)求cos a的值；3 (n 若 sinSQuQ Z?(2,兀 J,求 cos0 的值.羽 4 1 ( 3、43 + 3=x +x 丨=2 5十 2 I 5丿10B组专项能力提升（时间：25分钟,满分:43分）一、选择题侮小题5分，共15分）1.(2012 )若&sin28=,则 sin & 等干3A-54B-52.2巳知 tan(a+=,tan（0才=扌，那么4；13A亦13B丟1D63.7C71当一函数 4) = sin jv+a/3cos x的A最大值是1,最小值是一11B. 最大值是1,最小值是一§C. 最大值是2,最小值是一2D. 最大值是2,最小值是一1二、填空题（每小题5分，共15分）