2.1已知半径为a的导体球面上分布着面电荷密度为的电荷,式中(精)

1、2.2.1 1 已知半径为 a a 的导体球面上分布着面电荷密度为Ps = Psocos日的电解：球面上的总电荷量等于面电荷密度沿 r=ar=a 的球面上的积分。在球 面上选择一个小的球环，面积为dq，对应的弧长为di=adr，因此，dsr=2二asin)dl =2-asi n)ad。n2q = Eds= Psocosds=PscosB2兀a sinBdB=O2.142.14 题，在下列条件下，对给定点求 divEdivE 的值：(1)E=ex(2xyz-y2)十ey(x2z 2xy)+ ezX2yV/m，求点R(2,3,1)处 divEdivE 的值。(2)E=e：2，z2sin2e，z2s

2、in2 ez22zsin2V / m，求点P2( 2=110 ,z = -1)处 divEdivE 的值。解:aaa/、divE= (2xyz-y2) +三(x2z-2xy)+-(x2y) =2yz-2x(1):x；y；z=2 3 (-1)-2 2 1011divE= (2 -z2sin2) (z2sin2 )：(22zsin2)：-：.T：-： z(2)= 4z2s in22z2cos2 22si n2= 9.062.152.15 题，半径为 a a 的球中充满密度为p(r)(r)的体电荷，已知电位移分布为：er(r3Ar2), (0 : r _ a)D =erDr= W+Aa4、/、er(

3、2一),(rza)Lr其中 A A 为常数，试求电荷密度p(r)(r)。解：利用高斯定理的微分形式，即；LD=得：八|_D|_D= $二(r2DJr倉在 r ra a 区域中：J=I|_D= A二r2(旦 超)=0r crr2 2. 2020,在半径 a a= 1mm1mm 的非磁性材料圆柱形实心导体内，沿 z z 轴方 向通过电流 I I = 20A20A，试求：(1 1)0.8mm处的 B B; (2 2)1.2mm处的 B B; (3 3)圆柱内单位长度的总磁通。解：(1)圆柱形导体内的电流密度为I2062J =ezez形A/m2二ez6.37 106A/m2兀a2叫1F0 )2利用安培

4、环路定律得2二B，%J：2%mm二e 1 %J e 3.2 10JT(2)利用安培环路定律得Bi.2mm=e0e 3.33 10T2.(3)圆柱内单位长度的总磁通为a11P2a=JBLdS =丄 JPdP=40J 占20202 0=2 10 Wb2 2. 2222 通过电流密度为 J J 的均匀电流的长圆柱导体中有一平行的圆柱 形空腔，其横截面如图题 2.222.22 所示。试计算各部分的磁感应强度， 并证明空腔内的磁场是均匀的。解：因空腔中电流密度为零，可视为同时存在 J J 和一 J J 的电流密度,这样，可将原来的电流分布视为如下两个电流分布的叠加： 一个电流 密度为 J J,均匀分布在

5、半径为 b b 的圆柱内；另一个电流密度为一 J J,均 匀分布在半径为 a a 的圆柱内。空间的场，便是它们共同产生的。由安培环路定律 匚B岀I二% %1 1，可得到电流密度为 J J、均匀分布在半径为 b b 的圆柱内的电流产生的磁场为：1 .%Je rb2Jb2e2rb30 ez半径为 a a 电流密度为一 J J 的圆柱的磁场为:将上面两式叠加，可得空间各区域的场:可见，空腔内是均匀场。2 2. 2424 有一导体滑片在两根平行的轨道上滑动，整个装置位于正弦时 变磁场B =ez5cos t mT之中，如图所示。滑片的位置由x= 0.35(1-cos051)m确定，轨道终端接有电阻R=

6、0.2,rb bJI+ezer其中,J I01亠e2rI吕ezer1 .%Jezxra2ra12飞JJb2ezra2rara arara、G分别是点Oa和Ob到场点 P P 的位置矢量。1圆柱外：B =圆柱内的空腔空腔内：B=112 2,/b a、oJez(Tr - ra)rr11a2BoJez( ra)2rr111coJez(- r-ral JJez-rr 2c求电流 i i。lb一Rdc-u-0.7m解：穿过导体回路 abcdaabcda 的磁通为:二B CdS二ezBezad ab= 5cos t 0.2(0.7 - x)二-cos t0.7 - 0.35(1 - cos t)二-0.3

7、5cos t(1 cos t)因此，感应电流为名1 d1i -0.35 sin t(1 cos t)RR dtR二T.75 sin t(1 2cos t) mA2 2. 2626 求下列情况下的位移电流密度的大小(1)(1) 某移动天线发射的电磁波的磁场强度H二ex0.15cos(9.36 108t - 3.12y)A/m(2)(2) 一大功率变压器在空气中产生的磁感应强度B =ey0.8cos(3.77 102t T.26 10”x)T(3)(3) 一大功率变压器在填充的油中产生的电场强度E =ex0.9cos(3.77 102t-2.81 10z)MV/m设油的相对介电常数5(4)(4)工

8、频(f=50Hzf=50Hz)下的金属导体中,J二ex0.1sin(377t - 117.1z)MA/m2ty0.2m设金属导体的；二；0二J0r=5.8 107s/m解：Hx-ez0.15cos(9.36 108t - 3.12y)A/m2-ez0.468sin(9.36 108t- 3.12y)A/m2二0.468A/ m2-ez-0.8cos(3.77 102t -1.26 10 x)二ez0.802sin(3.77 102t -1.26 10 x)A/m2二0.802A/m2(3)(3)“r oE E=52.9106cos(3.77 1022.81 10%(1(1)在真空中，传导电流为

9、 0 0,因此由H二空，得到位移电流为:ez：Hxy(2)(2)由H:t,得到位移电流为:exeyezL、xyBy-4262-6二ex5 8.85 100.9 10 cos(3.77 10 t-2.81 10 z)一ex15 10*si n(3.77 102t-2.81 10“z)A/m2-15 10_3A/m2=ex1.72江10, sin(377t - 117.1z)V / mD二；E=ex8.85 10J21.72 10sin(377t-117.1z)Jd- = ex15.26 10-14377cos(3.77 102t -117.1z)二ex57.53 10_12cos(3.77 10

10、2t - 117.1z)A/m故Jd| = 57.530,2A/m22 2. 2727 同轴线的内导体半径 a=1mma=1mm,外导体的内半径 b=4mmb=4mm,内外 导体间为空气，如图所示。假设内、外导体间的电场强度为E = e100cos(1kz)V/m。( 1 1)求与 E E 相伴的 H H; (2 2)确定 k k的值；(3 3)求内导体表面的电流密度；(4 4)求沿轴线0乞zm区域 内的位移电流。解:(1(1)由麦克斯韦方程组得到E - - -H，因此31 . 1E = -e :t %；z100k.=-esi n(10t-kz)将上式对时间 t t 积分，得到He J0% c

11、os(1(ftkz) %：10(2(2)为确定 k k 值，将上述 H H 代入 i iH =主得到.:t主丄H二1 1-t；o；0 r2100k28e8si n(10t-kz)102将上式对时间t积分，得到E严十0敬侦七)将其与题中的 E E 比较，得到k2o；1O161因此：k = rad / m3同轴线内、外导体之间的电场和磁场表示为:E =e:?cos(1051z)V /mH=eMcos(108t z)A/m(3(3)将内导体视为理想导体，利用理想导体的边界条件即可求出内导体表面的电流密度Js =enH10081宀=e：、ecos(101 z)3120 :81二ez265.3cos(1

12、0 tz) A/m位移电流密度为:3E100R 1、rJd =；oo e cos(10t z)戲 淤尸P38.85 10，.“81、“，2二-esin(10 tz)A/mHP3(4)在0乞z乞1m区域内的位移电流为：1 2 1 81id=Jd US= 0Jdli岸兀Pdz =一2兀汉8.85汉10J0sin(10 t一一z)dz3_2811=一2兀X8.85H100y0 的区域(煤8质 1 1)内的电场强度为E = ey20cos(2 10t2.58z)V/m，试计算 t=6nst=6ns 时：(1 1)点 P P (2 2, 0 0, 0.30.3)处的面电荷密度； (2 2)点 P P处的 H H;(3 3)点 P P 处的面电流密度Js。解：(1 1)Ps =enD y,zA3 =鸟20汉5昴cos(2汇10*t 2.58z)= 80.6 10 C/m2(2 2)由 I I E E 二里，得到-Il E= -l(-ex旦)二ex丄