专题(2)命题及其关系、充分条件与必要条件

1、专题二命题及其关系、充分条件与必要条件基個知1R餐打年彊取圣11C H U Z H 1 & H I ¥ A <M)l 知识能否忆起一、命题的概念在数学中用语言、符号或式子表达的，能够判断真假的陈述句叫做命题.其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题.二、四种命题及其关系1. 四种命题命题表述形式原命题若p，则q逆命题若q，则p否命题若綈p，则綈q逆否命题若綈q，则綈p2. 四种命题间的逆否关系杏1Z亠互連3. 四种命题的真假关系(1) 两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性:(2) 两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没相关系亠三、充分条件与必要条

2、件1 .如果p? q,贝U p是q的充分条件，q是p的必要条件2. 如果p? q, q? p，则p是q的一小题能否全取1. (教材习题改编)下列命题是真命题的为()1 1A.若-=-，则 x= yB .若 x2 = 1,则 x= 1x y1 1解析：选A由-=-得x= y, A准确，易知B、C、D错误.x yn2. （2012湖南高考）命题“若a= 4,A .若 aM £ 则 tan a 14nC.若 tan a 1，贝U a 4则tan a= 1”的逆否命题是（）B .若 a= n,贝V tan a 14nD .若 tan a 1,贝V a=_4解析：选C以否定的结论作条件、否定的

3、条件作结论得出的命题为逆否命题，即“若a= ,则tan a= 1”的逆否命题是“若 tan a 1，贝U a ：” .3. （2012温州适合性测试）设集合A, B,贝U A? B是A n B= A成立的（）A .充分不必要条件B .必要不充分条件C.充要条件D .既不充分也不必要条件解析：选C由A? B，得An B= A;反过来，由A n B= A,且（A n B）? B，得A? B.所 以，A? B是An B= A成立的充要条件.4 . “在 ABC中，若/ C = 90 ° 则/ A、/ B都是锐角”的否命题为：解析：原命题的条件：在 ABC中，/ C = 90°结论

4、：/ A、/ B都是锐角.否命题是否定条件和结论.即“在 ABC中，若/ CM 90°则/ A、/ B不都是锐角”.答案：“在 ABC中，若/ C a 90°则/ A、/ B不都是锐角”5.下列命题中所有真命题的序号是 . a>b”是a2>b2”的充分条件； a|>|b|是a2>b2”的必要条件； a>b"是“ a+ c>b+ c”的充要条件.解析：由2> 3? / 22>（ 3）2知，该命题为假；由 a2>b2? |a|2>|b|2? |a|>|b|知，该命 题为真； a>b? a + c&

5、gt;b+ c,又 a + c>b+ c? a>b，二 a>b"是 “ a+ c>b + c” 的充要条件为 真命题.答案：1充分条件与必要条件的两个特征（1）对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件，即“p? q” ? “q?p” ；传递性：若p是q的充分（必要）条件，q是r的充分（必要）条件，则p是r的充分（必要）条件.注意区分“p是q的充分不必要条件”与“p的一个充分不必要条件是 q”两者的 不同，前者是“p? q”而后者是“q? p”.2. 从逆否命题，谈等价转换因为互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性，因而，当判断原命题的真假比较困难时，可转

6、化为判断它的逆否命题的真假，这就是常说的“正难则反”.|GARFIN KACH1I AN V ；学拽迭得琐嵩分r*- 1四种命题的关系及真假判断&典题导入例1下列命题中准确的是（） “若x2+卄0，贝U x, y不全为零”的否命题； “正多边形都相似”的逆命题； “若m>0，贝U x2 + x m= 0有实根”的逆否命题； “若x 3*是有理数，贝U x是无理数”的逆否命题.A .B .C.D .自主解答中否命题为 “若x2+ y2= 0,贝V x= y= 0”，准确；中， A= 1 + 4m,当 m>0时，A>0,原命题准确，故其逆否命题准确；中逆命题不准确；中原命

7、题准确故逆 否命题准确.答案B-由题悟法在判断四个命题之间的关系时，首先要分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系.要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相对应的有了它的“逆命题” “否命题”“逆否命题”；判定命题为真命题时要实行推理，判定命题为假命题时只需举出反例即可.对涉及数学概念的命题的判定要从概念本身入手.呂以题试法1. 以下关于命题的说法准确的有 （填写所有准确命题的序号）. “若Iog2a>0,则函数f（x）= logax（a>0, a丰1）在其定义域内是减函数”是真命题； 命题“若a= 0，贝U ab= 0”的否命题是“若 a 0,

8、贝U ab 0”； 命题“若x, y都是偶数，则x+ y也是偶数”的逆命题为真命题； 命题“若a M，贝U b?M”与命题“若b M，贝U a?M”等价.解析：对于，若Iog2a>0 = log2l,则a>1，所以函数f(x)= logax在其定义域内是增函 数，故不准确；对于，依据一个命题的否命题的定义可知，该说法准确；对于，原命 题的逆命题是 "若x + y是偶数，则x、y都是偶数”，是假命题，如1 + 3= 4是偶数，但3 和1均为奇数，故不准确；对于，不难看出，命题“若a M，则b?M”与命题“若b M，则a?M ”是互为逆否命题， 所以二者等价，所以准确.综上可

9、知准确的说法有答案：例 2 (1)(2012 福州质检)x<2”是“ x2 2x<0”的()A .充分而不必要条件B 必要而不充分条件C.充要条件D .既不充分也不必要条件(2)(2012北京高考)设a,b R，“ a= 0”是“复数a+ bi是纯虚数”的()A .充分而不必要条件B 必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件自主解答(1)取x= 0,则x2 2x= 0,故由x<2不能推出x2 2x<0;由x2 2x<0得0<x<2,故由x2 2x<0能够推出x<2.所以“<2"是“x2 2x<0”的必要

10、而不充分条件.当a = 0，且b = 0时，a + bi不是纯虚数；若 a + bi是纯虚数，则a = 0.故“a = 0”是“复数a + bi是纯虚数”的必要而不充分条件.答案(1)B (2)B白由题悟法充要条件的判断，重在“从定义出发”，利用命题“若p，则q”及其逆命题的真假实行区分，在具体解题中，要注意分清“谁是条件”“谁是结论”，如“ A是B的什么条件”中，A是条件，B是结论，而“ A的什么条件是B”中，A是结论，B是条件.有时还能够 通过其逆否命题的真假加以区分.占以题试法2. 下列各题中，p是q的什么条件？(1) 在厶 ABC 中，p: A= B, q : sin A= sin B

11、 ；(2) p：凶=x, q : x2 + x> 0.解：(1)若 A= B,贝U sin A = sin B, 即卩 p? q.又若 sin A= sin B，贝V 2Rsin A = 2Rsin B，即 a= b.故 A= B，即 q? p.所以p是q的充要条件.(2)p： x|X| = x = x|x0 = A,q： xlx2+ x> 0 = x|x> 0,或 xw 1 = B,/ A B, p是q的充分不必要条件.例3已知p： 4<x a<4, q: (x 2)(x 3)<0，且q是p的充分而不必要条件，则a的取值范围为.自主解答设q, p表示的范围

12、为集合 A, B,则 A= (2,3), B= (a 4, a+ 4).因为q是p的充分而不必要条件，则有A B,a 4 w 2,a 4<2,即或解得一1 w aw 6.a + 4>3a+ 4> 3,答案1,6白由题悟法利用充分条件、必要条件能够求解参数的值或取值范围，其依据是充分、必要条件的定义，其思维方式是：(1)若p是q的充分不必要条件，则p? q且q? / p；若p是q的必要不充分条件，则p? / q,且q? p；若p是q的充要条件，则 p? q.占以题试法3. (2013兰州调研)“x 3 , a ”是不等式2x2 5x 3> 0成立的一个充分不必要条件， 则

13、实数a的取值范围是()1A. (3,+ )B. m， U 3,)C. m， 1D. m， 1 U (3,+m )1解析：选 D 由 2x2 5x 3 > 0 得 xw 或 x> 3. x 3 , a是不等式2x2 5x 3>0成立的一个充分不必要条件，又根据集合元素的 互异性a工3,1 aw- 2或 a>3.E&趣全员必做题1. （2012福建高考）已知向量a = （x 1,2）, b= （2,1），贝U a丄b的充要条件是（）1A. x= 2B . x= 1C. x = 5D. x= 0解析：选 D a丄 b? 2（x 1） + 2= 0，得 x= 0.2命题

14、“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是（）A .“若一个数是负数，则它的平方不是正数”B. “若一个数的平方是正数，则它是负数”C. “若一个数不是负数，则它的平方不是正数”D. “若一个数的平方不是正数，则它不是负数”解析：选B原命题的逆命题是：若一个数的平方是正数，则它是负数.a l b3. （2013武汉适合性训练）设a, b R,则“ a>0, b>0”是“一> .忑”的（）A .充分不必要条件B .必要不充分条件C.充要条件D .既不充分也不必要条件解析：选 D 由 a>0 , b>0 不能得知 a> 一 ab,如取 a = b = 1 时

15、，a = . ab;由a> 一 ab 不能得知a>0, b>0 ,如取a = 4, b = 0时，满足a-b> ab,但b= 0.综上所述，“a>0, b>0”a+ b 是厂ab ”的既不充分也不必要条件.4. 已知 p： “a= 一 2”，q : “直线 x+ y = 0 与圆 x2+ （y a）2= 1 相切”，则 p 是 q 的（）A .充分不必要条件B .必要不充分条件C.充要条件D .既不充分也不必要条件解析：选A由直线x+ y= 0与圆x2 + （y a）2 = 1相切得，圆心（0, a）到直线x+ y = 0的 距离等于圆的半径，即有 |aJ

16、= 1, a= ± 2.所以，p是q的充分不必要条件.5. （2012广州模拟）命题：“若x2<1，则1<x<1 ”的逆否命题是（）A. 若 x2> 1，则 x> 1 或 x< 1B. 若1<x<1，则 x2<1C. 若 x>1 或 x< 1,贝U x2>1D. 若 x> 1 或 xw 1,则 x2> 1解析：选D x2<i的否定为：x2> 1 ； 1<x<1的否定为x> 1或xw 1,故原命题的逆否 命题为：若x> 1或x< 1，贝U x2> 1.6.

17、 (2011 天津高考)设集合 A = x R|x 2> 0, B= x R|xv 0, C= x R|x(x 2)>0，则“ x AU B”是“ x C” 的()A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件C.充分必要条件D 既不充分也不必要条件解析：选 C A U B= x R|xv 0，或 x> 2, C = x R|xv 0，或 x > 2,/ AU B= C,. x A U B是x C的充分必要条件.7. 下列命题中为真命题的是()A .命题“若x>y,则x>|y|”的逆命题B. 命题“ x>1，则x2>1 ”的否命题C. 命题“若x =

18、1，则x2 + x 2= 0”的否命题D. 命题“若x2>0 ,则x>1 ”的逆否命题解析：选A对于A，其逆命题是：若 x>|y|，则x>y,是真命题，这是因为 x>|y|> y,必 有x>y;对于B，否命题是：若 x< 1,贝U x2w 1,是假命题.如 x= 5, x2 = 25>1 ;对于C, 其否命题是：若 xm 1，贝U x2+ x 2工0,因为x= 2时，x2+ x 2 = 0,所以是假命题；对 于D，若x2>0，则x>0或x<0，不一定有x>1，所以原命题与它的逆否命题都是假命题.&对于函数y

19、= f(x), x R，“y=|f(x)|的图象关于y轴对称”是“ y= f(x)是奇函数”的()A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C.充要条件D .既不充分也不必要条件解析：选B若y= f(x)是奇函数，则f( x)= f(x), - |f( x)|= | f(x)|=|f(x)|, y= |f(x)|的图象关于y轴对称，但若y= |f(x)|的图象关于y轴对称，如y= f(x)= x2,而 它不是奇函数.9. 命题“若x>0,则x2>0”的否命题是 命题.(填“真”或“假”)解析：其否命题为“若xw 0，则x2w 0 ”，它是假命题.答案：假10. 已知集合 A= x

20、|y = lg(4 x)，集合 B = x|x<a，若 P:“ x A” 是 Q:“ x B”的充分不必要条件，则实数 a的取值范围是 .解析：A = x|x<4，由题意得A B结合数轴易得a>4.答案：(4,+ )x2y211. (2013绍兴模拟)“一3<a<1 ”是“方程 += 1表示椭圆”的 a+ 3 1 a条件.a+ 3>0,解析：方程表示椭圆时，应有1 a>0 ,a + 3 工 1 a解得3<a<1 且 a* 1,故“3<a<1 ”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件.答案：必要不充分12. 若Xd>1 ”是x&

21、lt;a”的必要不充分条件，则a的最大值为 .解析：由x2>1，得x< 1或x>1，又x2>1 ”是x<a”的必要不充分条件，知由x<a”能够推出x2>1 ”，反之不成立，所以 a < 1，即a的最大值为一1.答案：113. 下列命题： 若 ac2>bc2，则 a>b; 若 sin a= sin贝V a= B; “实数a = 0”是“直线x 2ay= 1和直线2x 2ay= 1平行”的充要条件； 若f(x) = log2x,则f(|x|)是偶函数.其中准确命题的序号是 .解析：对于，ac2>bc2, c2>0,.a>

22、b 准确；对于，sin 30 = sin 150?°/ 30 = 150 ° 所以错误；对于，11/ 12? A1B2= A2B1，即2a= 4a? a= 0且A1C2? / A2C1，所以准 确；显然准确.答案：1 n14. 已知集合 A= x 2 x2 x 6<1 , B = x|log4(x+ a)<1,若 x A是 x B 的必要不充分条件，则实数 a的取值范围是 .1解析：由 2 x2 x 6<1,即 x2 x 6>0,解得 x< 2 或 x>3,故 A= x|x< 2,或 x>3； 由 log4(x+ a)<

23、1，即 0<x+ a<4，解得-a<x<4 a,故 B = x| a<x<4 a，由题意,可知 B A, 所以 4 a< 2 或a>3，解得 a>6 或 a< 3.答案：(一a, 3 U 6 ,+ )B级黄点选做题1.在厶ABC中，a,b,c分别是角A,B,C所对的边，贝UA<B”是“ co2A>cos 2B”的()A .充分不必要条件B .必要不充分条件C.充要条件D .既不充分也不必要条件ab由正弦定理可知= ，故a<b? sin A<sin B.sin A sin B而 cos 2A = 1 - 2sin

24、 若不等式x2 + ax+ bw 0的解集是非空数集，则a2- 4b<0 ;A, cos 2B = 1 - 2sin2B,又 sin A>0, sin B>0，所以 sin A<sin B? cos 2A>cos 2B.所以 a<b? cos 2A>cos 2B, 即卩 A<B"是 “coQA>cos 2B"的充要条件.2设x、y是两个实数，命题“ x、y中至少有一个数大于1 ”成立的充分不必要条件是()A. x+ y= 2B. x+ y>2C. x2 + y2>2D. xy>1解析：选B命题“ x、y

25、中至少有一个数大于 1 "等价于“ x>1或y>1".若 x + y>2，必有 x>1 或 y>1,否则 x+ y< 2;而当x= 2, y=- 1时，2- 1 = 1<2，所以x>1或y>1不能推出x+ y>2.对于x+ y= 2，当x= 1,且y= 1时，满足x+ y= 2,不能推出x>1或y>1.对于x2+ y2>2，当x< 1, y< 1时，满足x2 + y2>2，故不能推出 x>1或y>1.对于xy>1，当x<- 1, y<- 1时，满足x

26、y>1，不能推出x>1或y>1，故选B.1 13. 已知不等式|x- m|<1成立的充分不必要条件是 <x<4答案：2，34. 在“ a，b是实数”的大前提之下，已知原命题是“若不等式x2+ ax+ bw 0的解集是非空数集，贝U a2- 4b> 0”，给出下列命题： 若a2- 4b> 0，则不等式x2 + ax+ bw 0的解集是非空数集； 若a2-4b<0，则不等式x2 + ax+ bw 0的解集是空集； 若不等式x2 + ax+ bw 0的解集是空集，则 a2- 4b<0;，则m的取值范围是 1 1解析：由题意知：“ 3<

27、x<2”是“不等式|x- m|<1 ”成立的充分不必要条件.1 1 所以x 1<x<1是x|x- m|<1的真子集.而x|x- m|<1 = x|- 1 + m<x<1 + m，-1 + mw 3所以有11 + m> ，14解得一2w mw §.1 4 所以m的取值范围是 一， 3 . 若a (2012济南模拟)在命题p的四种形式的命题(原命题、逆命题、否命题、逆否命题 )中，准确命题的个数记为f(p),已知命题p： “若两条直线I仁a1x+ b1y+ C1= 0, I2： a2x+ b2y+ C2= 0 平行，则 a1b2 a2

28、b1= 0”.那么 f(p)=()A. 1B . 2C. 3D. 4 解析：选B若两条直线1仁a1x+ b1y + C1= 0与12： a2x + b2y+ C2= 0平行，则必有 a1b2a2b1= 0，但当a1b2 a2b1 = 0时，直线l1与l2不一定平行，还有可能重合，所以命题p是 4b<0，则不等式x2 + ax+ b< 0的解集是非空数集； 若不等式x2 + ax+ bw 0的解集是空集，则 a2 4b> 0.其中是原命题的逆命题、否命题、逆否命题和命题的否定的命题的序号依次是(按要求的顺序填写)解析：“非空集”的否定是“空集”，“大于或等于”的否定是“小于”，

29、根据命题的 构造规则，题目的答案是答案：5设条件 p： 2x2 3x + 1w0，条件 q： x2 (2a + 1)x+ a(a+ 1)w 0,若綈 p 是綈 q 的必 要不充分条件，求实数a的取值范围.1解：条件p为：gw xw 1，条件q为：aw xw a+ 1.1綈p对应的集合A = xx>1，或,綈q对应的集合B=x|x>a+ 1，或x<a 綈p是綈q的必要不充分条件,11/ B A,. a+ 1>1 且 aw-或 a+ 1 > 1 且 a<221 一 1 0w a w 2.故 a 的取值范围是 0, 2 6.已知集合 M = x|x< 3,或 x>5, P = x|(x a) (x 8) w 0.(1) 求M n P = x|5<xw 8的充要条件；(2) 求实数a的一个值，使它成为 M n P = x|5<xw 8的一个充分但不必要条件.解：(1)由 M n P= x|5<xw 8，得一3w aw 5,所以 M n P= x|5<