2018--2019年北京丰台区高三二模理科数学试题

1、第1页共 11 页丰台区 2019 年高三第二学期统一练习(二)数学(理科)第一部分(选择题 共 40 分)一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1复数i(3 4i)的虚部为(A)3( B)3i( C) 4( D)4i2.设向量 a=(x,1), b=(4,x)，且 a,b 方向相反，贝 U x 的值是(A ) 2( B) -2(C)2( D) 0(A ) 6( B) 4(C) -4( D) -6 4.已知数列an,则an为等差数列”是a1+a3=2a2”的(B)必要而不充分条件(A) ysin(仝)230 x11内任取一点 P(

2、x, y)，若(x, y)满足 2x y b 的概率大于一，则b的0 y 14,2)(B)(0,2)(C)(1,3)(D)(1,)7.用 5,6,7,8,9 组成没有重复数字的五位数，其中两个偶数数字之间恰有一个奇数数字的五位数的个数是(A) 18(B) 36(C) 54(D) 728.已知偶函数 f(x)(xR)，当x ( 2,0时，f(x)=-x(2+x)，当x 2,)时，f(x)=(x-2)(a-x)3.(xl)4展开式中的常数项是x(A )充要条件(C)充分而不必要条件(D )既不充分又不必要条件5.下列四个函数中，最小正周期为，且图象关于直线x石对称的是(C)ysin(2x3)(D)

3、y si n(2x )36.在平面区域取值范围是(A)(第2页共 11 页(a R).关于偶函数 f(x)的图象 G 和直线l:y=m (m R)的 3 个命题如下:第3页共 11 页1当 a=4 时，存在直线|与图象 G 恰有 5 个公共点；2若对于m 0,1，直线|与图象 G 的公共点不超过 4 个，则 a300空气质量优良轻度污染中度污染重度污染严重污染某市去年 6 月份 30 天的空气污染指数的监测数据如下:341401873121 21040457823657920781604210138163154 22273615149103135201648根据以上信息，解决下列问题：（I）写

4、出下面频率分布表中a,b,x,y 的值；（H）某人计划今年6 月份到此城市观光 4 天，若将（I）中的频率作为概率，他遇到空气质量为优或良的天数用X 表示，求 X 的分布列和均值 EX.频率分布表分组频数频率0,5014715(50,1001ax(100,150516(150,2001by(200,2502丄15合计30117.（本小题 13 分）如图（1），等腰直角三角形 ABC 的底边 AB=4 ,点 D 在线段 AC 上，DE AB于E,现将 ADE 沿 DE 折起到 PDE 的位置（如图（2）.（I）求证：PB DE;（H）若 PE BE，直线 PD 与平面 PBC 所成的角为 30求

5、 PE 长.图（1）IE图（2）第5页共 11 页1218.(本小题 13 分)已知函数f(x) 2ln x ax (2a 1)x a R21(I)当a时，求函数 f(x)在1,e上的最大值和最小值；2(H)若 a0，讨论f (x)的单调性19.(本小题 14 分)已知椭圆2xC:42y1的短轴的端点分别为 A,B,直线 AM ,BM 分别与椭圆 C 交于 E,F 两点，其中点 M (m,(I)求椭圆 C 的离心率 e；(H)用 m 表示点 E,F 的坐标；(川)若?BME 面积是？AMF 面积的值an的通项公式为 an=3n-2，等比数列g 中,20.(本小题14 分)已知等差数列d a1,

6、b4as1记集合A xx久小N *B xx bn, n N*,U A B,把集合 U 中的元素按从小到大依次排列，构成数列(I)求数列bn的通项公式，并写出数列Cn的前 4 项;(H)把集合CUA 中的元素从小到大依次排列构成数列dn，求数列 dn的通项公式，并说明理由；(川)求数列Cn的前 n 项和Sn.第6页共 11 页丰台区 2019 年高三第二学期统一练习(二)数学(理科)、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.题号12345678答案ABACCDBD、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.9.1；10. 0.9；11.2 ；12.2；13. 3x+y-4=0,

7、 2 ；14.-.3三、解答题共 6 小题，共 80 分解答要写出文字说明，演算步骤或证明过程.15.(本小题 13 分) 已知ABC的三个内角分别为 A,B,C,且2sin2(B C) .3sin 2A.(I)求 A 的度数；(H)若 BC 7, AC 5,求ABC的面积 S.解：(I)2si n2(B C) ,3 si n2A.2sin2A 2.3 sinAcosA,Q sin A 0, sin A 3 cos A, ta nA. 3 ,.4 分0 A , A 60 . .6 分11V3厂SABCAB AC sin60- 5 810.322216 (本小题 13 分)国家对空气质量的分级规

8、定如下表:污染指数05051100101150151200201300300空气质量优良轻度污染中度污染重度污染严重污染某市去年 6 月份 30 天的空气污染指数的监测数据如下：34140 187312121040 4578236579207816042101 381631542227 36151 49103135201648根据以上信息，解决下列问题：(I)写出下面频率分布表中a,b,x,y 的值;.2 分(H)在ABC中,BC2AB22AC 2AB ACcos60, BC 7, AC 5,49 AB225 5AB, AB25AB 240, AB 8或AB3(舍),.10 分.13 分第7页

9、共 11 页(n)某人计划今年 6 月份到此城市观光 4 天，若将(I)中的频率作为概率，他遇到空 气质量为优或良的天数用 X 表示，求 X 的分布列和均值 EX.频率分布表分组频数频率0,5014715(50,100ax(100,150516(150,200by(200,2502115合计301X的分布列为：X01234P1_832168181278181.11 分2 2 8XB(4,EX 433.17.(本小题 13 分)如图(1)，等腰直角三角形 ABC 的底边 AB=4 ,点 D 在线段 AC 上，DE AB于E,现将 ADE 沿 DE 折起到 PDE 的位置(如图(2).(I)求证：

10、PB DE;(n)若 PE BE，直线 PD 与平面 PBC 所成的角为 30 求 PE 的长.解：(I)a 6,b 3,x1 15,y祜,.4 分(n)由题意,该市4 月份空气质量为优或良的概率为4P= 15.5 分P(X0)c81P(X 1)C4f881,P(X2)27,P(X3)c43281P(X4)c：1681.10 分.13 分第8页共 11 页图（1）解:(i)QDEABDE BE, DE PE,QBEPEE,DE平面 PEB,PB平面PEB5BPDE；( n)PEBE,PEDE ,DE BE,所以，可由空间直角坐标系DE,BE,PE（如图），PE=a,则B(0,4-a ,O),D

11、(a,O,O),C(2,2-a,0),P(0,0,a),图（2）. .2 分. .4 分所在直线为 x, y, z 轴建立. 5 分.7 分uuuPB(0,4 a,uuua) BC (2, 2,0)设面 PBC 的法向量n (x, y, z)(4 a)y az 0,令y2x 2y0,urn4 a(1,1,),a10 分luuPD (a,0, a),BC 与平面 PCD 所成角为30,.12 分sin 30uuu r cosPD,n.11 分a (4 a)(4 a)22a4解得：a=5，或 a=4（舍），所以,18.（本小题13 分）已知函数4PE 的长为一.512f (x) 2ln x ax

12、(2 a 1)x2.13 分a R(i)当a丄时，求函数 f（x）在1,e上的最大值和最小值;2第9页共 11 页(n)若 a0，讨论f (x)的单调性解：(I)f (x)的定义域为x|x 0,.1 分当a -时，f (x)(x 2)(x2),. .2 分22x令f (x)0,在1,e上得极值点x 2,2aa11由f (x)0 得 2x ,所以 f(x)的单调减区间是(2, );. .10 分aaa1时，f (x)0在(0, + )上恒成立，且当且仅当f (2)0,2f (x)在(0, + )单调递增；.11 分2aa11由f (x)0 得x0 得 0 x，所以 f(x)的单调增区间是(0,2

13、),(,),1 1当a1时，由f (x)0 得 0 x2,所以 f(x)的单调增区间是(0, ),(2,),242y 1的短轴的端点分别为 A,B (如图)，直线 AM,BM第10页共 11 页解：（I）依题意知a 2,c、3,e虫;2直线 AM 的斜率为11) ,M (m,_)，且m 0,213，直线 BM 斜率为 k2=2mki=2m直线 AM 的方程为y=1x2m1，直线 BM 的方程为 y3x2m2yy 1,2m1,得1 x24mxc 4mx 0,xm 14m2 m12x2“由 Ty 1,得y x 1,2m12mx12m2 m 9m9 m22910 分(川)SAMF*| MA|MF |

14、sin AMF,SBME5SAMFSBME5| MA|MF | |MB |ME |,1| MB | ME | sin BME,AMF BME,5|MA |ME |MB |MF |.12 分5m4mmm 1整理方程得20.b1m12m9 m215m291,即(m23)(m21)m .3,（本小题 14m 1为所求.14 分分）已知等差数列dba31记集合A x xanan,n的通项公式为an=3n-2，等比数列bn中,把集合 U 中的元素按从小到大依次排列，构成数列（I）求数列bn的通项公式，并写出数列Cn的前 4 项;第11页共 11 页第12页共 11 页(n)把集合CUA 中的元素从小到大

15、依次排列构成数列dn，求数列 dn的通项公式，并说明理由；(川)求数列Cn的前 n 项和Sn.解：(I)设等比数列bn的公比为 q,biaIQ4a31 8，则q3=8,q=2,bn=2n-1,.2分数列 an的前 4 项为 1,4,7,10，数列bn的前 4 项为 1,2,4,8,数列 Cn的前 4 项为 1 , 2, 4, 7;. .3 分(n)据集合 B 中元素 2, 8, 32, 128 A,猜测数列 dn的通项公式为 dn=22n-1. .4 分dn=b2n, 只需证明数列bn中，b2n-1 CA, b2nA (n N).证明如下：b2n+1-b2n-1=22n-22n-2=4n-4n

16、-1=3 X4n-1,即 b2n+1= b2n-1+3 X4n-1,若 mN*，使 b2n-1=3 m-2，那么 b2n+1=3m-2+3 Xn-1=3(m+4n-1)-2，所以，若 b2n-1A，则 b2n+1CA. 因为 SA，重复使用上述结论，即得b2n-1CA (n N )。同理，b2n+2-b2n=22n+1-22n-1=2 灯-2 肖n-1=324n-1,即 b2n+2=b2n+3X2用n-1，因为3 X 2W-1” 数 列an的公差 3 的整数倍，所以说明b2n与 b2n+2(n N )同时属于 A 或同时不属于 A,当 n=1 时，显然 b2=2 A，即有 b4=2 A，重复使用上述结论，即得 b2nA, dn=22n-1；. 8 分(川)(1)当 n=1 时，所以因为bi a11所以 S1=1 ；. .9 分(2 )当 n2 时，由(n)知，数列bn中，b2n-1CA, b2nA,贝 U k N，且 kn，使得n kkSna %i 1i 1(n k)(a1ak)b2(1 4k)(n k)(3 n 3k1) 2(4k1)21 423-.11 分下面讨论正整数k 与