2019高考数学二轮复习专题二数列第1讲等差数列与等比数列练习

1、第 1 讲等差数列与等比数列高考定位1.等差、等比数列基本运算和性质的考查是高考热点，经常以选择题、填空题的形式出现；2.数列的通项也是高考热点，常在解答题中的第（1）问出现，难度中档以下真题感悟1.（2017 全国川卷）等差数列an的首项为 1,公差不为 0.若 电a3,a6成等比数列，则an J前 6 项的和为（）D.8A. - 24B. - 3C.3解析根据题意得a3=a2a6,即（+ 2d）2= G+d）（a1+ 5d），由a1= 1 及 dK 解得d=-2,所以 S= 6a1+65d= 1X6+6|5x( - 2) =- 24.答案 A2.（2018 北京卷）“十二平均律”是通用的音

2、律体系，明代朱载埴最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等均律将一个纯八度音程分成十二份，依12于2 若第个单音的频率为f,则第八个单音的频率为（）3B. 22f12D. 27f,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于12,2,第一个单音的频率为f.由等比数列的定义知，这十三个单音的频率构成一个首项为12f,公比为,212 12的等比数列，记为an.则第八个单音频率为a8=f（ 2）8-1= 27f.答案 D3.（2018 全国I卷）记S为数列an的前n项和.若 S= 2 勿+ 1,贝

3、U$=_.解析 因为 S= 2an+ 1，所以当n= 1 时，a1=2a+ 1,解得a1=- 1,当n2时，an=S S-1= 2an+1 （2an-1+ 1），所以an= 2an-1，所以数列an是以一 1 为首n-1-1X（1-26）项，2 为公比的等比数列，所以an=- 2 ，所以Sa=- 63.A.C.解析从第3答案 -63a1(1qn)a1anqq=1, S=na；qz1, S=百一=F孑；性质: 若mn,p,q N，且m+ n=p+q,贝Uam-an=apQ；n man=am- q； Sm,S2mSm,S3m Sm,（Sm 0）成等比数列.温馨提醒应用公式an=SnSn-1时一定注

4、意条件门2,门 N.4.（2018 全国川卷）等比数列亦中,ai= 1,a5= 4a3.（1）求an的通项公式;记S为an的前n项和若Sm= 63,解（1）设an的公比为q,由题设得n1an=q由已知得q4= 4q2,解得q= 0（舍去），q= 2 或q= 2.故an= ( 2)n1或an= 2n1若 an= ( 2) n1,则 S= 12)由Sm= 63 得（2）m= 188，此方程没有正整数解.若an= 2n1,贝ySn= 2n 1.由Sm= 63 得 2m= 64,解得 m= 6.综上，m= 6.1.等差数列（1）通项公式:an=a1+ (n 1)d;求和公式:小n(a1+an)Si=n

5、a1+2性质:q N，且m+ n=p+q,贝Uam+an=ap+Q；2an=am+ (nm)d；3Sm,Sem Sn,若m n, p,S3mS2m,，成等差数列.2.等比数列（1）通项公式:n 1,只、an=aq(qz0)；求和公式:考点整合”1）d；4烈点聚焦 I 好类突確 I研热点析考法热点一等差、等比数列的基本运算【例 1】（1）（2018 潍坊三模）已知an为等比数列，数列bn满足bi= 2,b2= 5，且an（bn+1-bn) =an+1,则数列bn的前n项和为()A.3n+ 1解析 由b1= 2 ,b2= 5，且an(bn+ 1bn) =an+ 1.an的公比q=a=b2b1= 3

6、.从而bn + 1bn= 3,则数列bn是首项为 2,公差为 3 的等差数列厂,厶一n(n 1)12因此bn的刖n项和Tn= 2n+x3= -(3n+n).答案 C（2018 全国n卷）记 S 为等差数列an的前 n 项和，已知 a = 7,S=15.1求an的通项公式；2求 S1，并求 S 的最小值.解 设an的公差为d,由题意得 3a1+ 3d= 15.由a1= 7 得d= 2.所以an的通项公式为an= 2n 9.2 2由得 S=n8n=（n 4） 16.所以当n= 4 时，S 取得最小值，最小值为16.探究提高 1.等差（比）数列基本运算的解题途径：（1）设基本量a1和公差d（公比q）

7、.列、解方程组：把条件转化为关于a1和d（q）的方程（组），然后求解，注意整体计算，以减少运算量.2.第（2）题求出基本量a1与公差 d,进而由等差数列前n项和公式将结论表示成“n”的函数,求出最小值.【训练 1】（1）（2018 郑州调研）已知等差数列an的公差为 2,a2,as,a6成等比数列，则B.3n-1C.3n2+n2D.3n2-n25an的前n项和 S=（）A.n(n 2)B.n(n 1)6C.n(n+ 1)D.n(n+ 2)、.22解析 依题意a3=a2a6,得(ai+ 4) = (ai+ 2)(ai+10).解得ai= 1.fn（n 1）2因此Si=na1+x2=n 2n.答案

8、 A（2017 全国n卷）已知等差数列的前n项和为等比数列bn的前n项和为Tn,a1=1，b1= 1，a2+b2= 2.若a3+b3= 5，求bn的通项公式;若 T3= 21,求 S.当d= 1 时，S3= 6;当d= 8 时，S= 21.解 设an公差为d, bn公比为q,由题设得1 +d+q= 2,1 + 2d+q2= 5解得d= 1,q=2d= 3,或U0(舍去),故bn的通项公式为bn= 2n1.由已知得1 +d+q= 2,1 +q+q2= 21,执占一八、等差（比）数列的性质q= 5,d= 8.7（1）（2018 石家庄调研）在等比数列an中，a6,a10是方程x2+ 6x+ 2 =

9、 0 的两个实【例2】数根，则a8的值为（）A.2C. 2B. 2 或 2D. 2(2018北京海淀区质检）已知数列an的前n项和为S,且满足 S= 2an 2,若数列bn满足bn= 10 log2an,则使数列bn的前n项和取最大值时的n的值为_.解析(1)由题意a6a10= 2,且a6+ ao= 6，所以a60, ao0,又数列an为等比数列，所 以a80,S2=a2+1入$+1,其中入为常数.(1)证明：S+1= 2S1 + 入;（2）是否存在实数 入,使得数列an为等比数列，若存在，求出入；若不存在，请说明理由(1)证明an+ 1=S+1Sn,Sn=Nn+ 1入S+1,Sn= (Sn+

10、1Sn)2一 入Sn+1,则Sn+1(Sn+1 2S入)=0.* an0，知 S+10,S+1 2Sn入=0, 故 Si+1= 2S+ 入.解 由（1）知，S+1= 2S+入，当n2时，S=2S1+入，两式相减，an+1= 2an（n2,n N）,所以数列an从第二项起成等比数列，且公比q= 2.（又S2=2S+ 入，即a2+a1= 2a1+ 入,a2=a1+ 入=1 + 入 0,得入 1.rZ1,n= 1, 因此an= Wn 2 2（入 +1）2,n2.若数列an是等比数列，则a2= 1 +入=2a1= 2.入=1,经验证得入=1 时，数列an是等比数列.【迁移探究】 若本例中条件“a1=

11、1”改为“a1= 2”其它条件不变，试求解第（2）问.解 由本例（2），得an+1= 2an（n2,n N*）.又S= 2S1+ 入，a2=a1+ 入=2+ 入 0.-an= (2 + 入)(n2).又 = 2,若an是等比数列， - a2=（2+入）2 2=2a1=4, 入=2.故存在入=2，此时an= 2n，数列an是等比数列.探究提高1.判定等差（比）数列的主要方法：（1）定义法：对于任意n1,n N*,验证an+111an+ 12_ _2.=q和an=an-Q+i(n2)都是数列an为等比数列的必要不充分条件，判定时还要看an各项是否为零【训练 3】(2017 全国I卷)记S为等比数列

12、an的前n项和已知S2= 2,圧=-6.(1) 求an的通项公式；(2) 求 S,并判断S+1, S, S+2是否成等差数列解(1)设an的公比为q,由题设可得a1( 1 +q)= 2,a1(1 +q+q)= 6,(2)中项公式法解得v=a1= 2.n无关的一常数;12故an的通项公式为an= ( 2)nna1(1 q) 21 ( 2)由得s=C丿=(2)丿2n=3【(2) 1,2 2+ 1n + 2则 S+1= ( 2) 1 , S+2= ( 2) 1,所以 S1+ 1+ S1+2n+1-1 + 3( - 2)n +22n4n1 = 3【2( 2) 2=亍(2) 1 = 2SS+1, S,

13、S+ 2成等差数列热点四等差数列与等比数列的综合问题【例 4】(2018 天津卷)设an是等差数列，其前n项和为$(n N*) ； bn是等比数列, 比大于 0，其前n项和为Tn(n N*).已知b= 1,bs=b?+ 2,b4=as+a5,b5=a4+ 2a6.(1) 求 S 和 Tn；(2) 若 S+ (T1+T2+Tn) =an+ 4bn，求正整数n的值.解(1)设等比数列因为q0,可得q= 2,故bn= 2n1所以,n1 2nTn= 2 1.1 2设等差数列an的公差为d.由b4=a3+a5，可得a1+ 3d= 4.13由b5=a4+ 2a6，可得 3a+ 13d= 16，从而ai=

14、1,d= 1, 故an=n.(2)由(1)，有12nT1+T2+-+Tn= (2 + 2 + 2) n由Sn+ (T1+T2+Tn) =an+ 4bn整理得n23n 4 = 0，解得n= 1(舍)，或n= 4.所以，n的值为 4.探究提高1.等差数列与等比数列交汇的问题，常用“基本量法”求解，但有时灵活地运用性质，可使运算简便.2.数列的通项或前n项和可以看作关于n的函数，然后利用函数的性质求解数列问题.【训练 4】(2018 武汉质检)在公比为q的等比数列时中，已知a1= 16,且 a,a2+ 2,Ia3成等差数列.(1) 求数列an的通项公式；(2) 若q10 的最小正整数n的值.解(1)

15、依题意，2(a2+ 2) =a1+a3,且 a= 16.2 2(16q+ 2) = 16+ 16q,2即 4q 8q+ 3= 0.1、3因此q=2或q=2.n 1当q= 2 时，an= 16 1= 25n；n 1当q= 2 时,an= 16 3由(1)知，当q2,正整数n的最小值为 3.曲躺总结思维升华1. 在等差(比)数列中，ai,d(q),n,an,S五个量中知道其中任意三个，就可以求出其他两个.解这类问题时，一般是转化为首项ai和公差d(公比q)这两个基本量的有关运算.2. 等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用但在

16、应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形IS,n=1,3. 应用关系式an=时，一定要注意分n= 1,n2两种情况，在求出结果后，|SnSn- 1,n2看看这两种情况能否整合在一起专题圳练对接高考|求落交迎高淆一、选择题1. (2018 全国I卷)记Sn为等差数列an的前n项和若 3S3=S2+S,a= 2，则a5=()A. 12B. 10C.10D.12解析 设数列an的公差为d,T3S= $+S4,(3X2、4x33 3|3a1+d= 2a1+d+4a+d,解得d= ;ai.v.2 丿22a1=2, d=3,a5=a1+4d=2+4x(3)=10.答案 B1.”I on2. 等

17、差数列an中的a1,a4 033是函数f(x) =TX 4x+ 6x 1 的极值点，则 log2a2。仃=()3A.2B.3C.4D.5解析因为f(x) =x2 8x+ 6,探规律防失误152依题意，a1,a4 033是方程f(x) =x 8x+ 6= 0 的两根，- a1+a4 033= 8,贝Va2 017= 4,故 log2a2 017= log24 = 2.16bnbn-1, 设bn中最大的项为bn，则*bnbn+ 1.答案 A3. 一个等比数列的前三项的积为2,最后三项的积为 4,且所有项的积为 64,则该数列的项数是()A.13B.12C.11D.10解析设等比数列为an，其前n项

18、积为Tn，由已知得 aa2a3= 2,anan心2= 4,可得(ao)3=2x4,aian=2,Tn=aia2an,.T= (aia2an)2=(aian)(a2an 1)(anai) = (aian)n=2 = 64 = 22,.n= 12. 答案 B4中国古代数学著作 算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难， 次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其意思为：“有一个人走 378 里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6 天才到达目的地.”则此人第 4 天和第 5 天共走的路程为()A.60 里B.48 里C.36

19、里D.24 里解析由题意，每天走的路程构成公比为11 的等比数列设等比数列的首项为ai,则2ai 1-261- 211=378，解得ai= 192，贝Ua4= 192X-=24,a5= 24X；= 12,a4+a5= 24 + 12 = 36.所以此人82第 4 天和第 5 天共走了 36 里.答案 C5.(20i8 北京燕博园能力测试 )数列an的前n项和为S，且 3an+S=4(n N)，设bn=nan,3C.2D.23解析由条件可知：3an+S= 4, 3an-1+Sn-1= 4（n2）.相减，得an=an-i.又 3ai+S= 4ai则数列81A.6427B.164答案 3 或 417

20、答案 B、填空题6._ （2018 北京卷）设an是等差数列，且ai= 3,a2+a5= 36，则an的通项公式为 _ .解析 设等差数列的公差为d,：ai= 3,且a?+a5= 2ai+ 5d= 36,.d= 6,.an= 3+ （n1) 6= 6n 3.答案an= 6n 3ani7. （2018 福州质检）数列an满足an+1= ,a3=-,贝Uai=_ .2an十 i5an解析 易知anM0,且an + 1= 2a+ 1 .11r111 -=2,则是公差为 2 的等差数列，又a3=2，知一=5, + 2X2= 5,贝yai=an+1ann“5a3ai1.答案 18. （2018石家庄质检

21、）等差数列an的公差dM0,且a3,a5,ai5成等比数列，若a5= 5,S为数列an的前n项和，则数列彳警|的前n项和取最小值时的n为_ .（ai+ 2d）（ai+ i4d）= 25,解析由题意知*ai+ 4d= 5,n4,且=0,bn的项的最大值为27b3=b4=话由dM0,解得ai= 3,d= 2,Snnnai+)dn4.解之得 3wnw4.4答案 3 或 418数列n项和取最小值时的n的值为 3 或 4.19三、解答题9.(2018 北京卷)设an是等差数列，且ai= ln 2 ,a?+a3= 5ln 2.(1)求an的通项公式；求 eai+ ea+ ean.解设an的公差为d.因为a

22、2+a3= 5ln 2 ,所以 2ai+ 3d= 5ln 2.又ai= In 2，所以d= In 2.所以an=ai+ (n 1)d= In 2 + (n 1)ln 2 =nln 2.ean因为 eai= eln 2= 2, 沖=eanan-1= eln 2= 2,所以ean是首项为 2,公比为 2 的等比数列.i 2所以几養+十/= 口 = 22n+ 1i0.已知数列an的前n项和为S,且 i,an,S成等差数列.(i)求数列an的通项公式;若数列bn满足anbn= i + 2nan,求数列bn的前n项和Tn.解(i)由已知 i,an,S成等差数列得 2an= i+S,当n= i 时，2ai= i +S= i +ai, ai= i,当n2时，2an-1= i +S-1，一得 2an 2an i=an,an= 2ani(n2)，且a= i.数列an是以 i