苏科版2025年中考数学三轮冲刺专题-几何动态及最值问题含答案

/苏科版2025年中考数学三轮冲刺专题-几何动态及最值问题一、单选题1．如图，在边长为6的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点，连接CE，将线段CE绕点C逆时针旋转60°得到FC，连接DF.则在点E运动过程中，DF的最小值是（）A．6 B．3 C．2 D．1.52．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别为O（0，0），A（12，0），B（8，6），C（0，6）.动点P从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿边OA向终点A运动；动点Q从点B同时出发，以每秒2个单位长度的速度沿边BC向终点C运动.设运动的时间为t秒，作AG⊥PQ于点G，则AG的最大值为（）A．73 B．1855 C．363．如图，在平面直角坐标系中，已知A（10，0），点P为线段OA上任意一点.在直线y＝34A．4.8 B．5 C．5.4 D．64．如图，等边△ABC的边长为1，D，E两点分别在边AB，AC上，CE=DE，则线段CE的最小值为（）A．2﹣3 B．23﹣3 C．12 D．5．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝8，AD＝17，折叠纸片使点B落在边AD上的E处，折痕为PQ.当E在AD边上移动时，折痕的端点P，Q也随着移动.若限定P，Q分别在边BA，BC上移动，则点E在边AD上移动的最大距离为（）A．6 B．7 C．8 D．96．如图，正方形ABCD中，AB=4，E，F分别是边AB，AD上的动点，AE=DF，连接DE，CF交于点P，过点P作PK//BC，且PK=2，若∠CBK的度数最大时，则BK长为（）A．6 B．25 C．210 7．如图，已知P是半径为3的⊙A上一点，延长AP到点C，使AC＝4，以AC为对角线作▱ABCD，AB＝43，⊙A交边AD于点E，当▱ABCD面积为最大值时，EP的长为（）A．12π B．π C．32π8．如图，直线l与⊙O相切于点A，M是⊙O上的一个动点，MH⊥l，垂足为H.若⊙O的半径为1，则MA-MH的最大值为（）A．12 B．13 C．149．如图，矩形ABCD中，AB=2，AD=3.E，F分别是AD，CD上的动点，EF=2.Q是EF的中点，P为BC上的动点，连接AP，PQ.则AP+PQ的最小值等于（）A．2 B．3 C．4 D．510．如图，已知⊙C的半径为3，圆外一点O满足OC=5，点P为⊙C上一动点，经过点O的直线l上有两点A、B，且OA=OB，∠APB=90°，l不经过点C，则AB的最小值（）A．2 B．4 C．5 D．611．如图，△ABC中，∠BAC＝45°，∠ABC＝60°，AB＝4，D是边BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB、AC于点E、F，则弦EF长度的最小值为（）A．3 B．6 C．22 D．2312．如图，已知A，B两点的坐标分别为(8，0)，(0，8)，点C，F分别是直线x=−5和x轴上的动点，CF=10，点D是线段CF的中点，连接AD交y轴于点E，当ΔABE面积取得最小值时，tan∠BADA．817 B．4217 C．413．如图，正方形ABCD的边长为1，点P为BC上任意一点（可与点B或C重合），分别过B、C、D作射线AP的垂线，垂足分别是B′、C′、D′，则BB′＋CC′＋DD′的最小值是（）A．1 B．2 C．3 D．514．如图，正方形ABCD中，AB=2，E是BC中点，CD上有一动点M，连接EM、BM，将ΔBEM沿着BM翻折得到ΔBFM.连接DF、CF，则DF+1A．52 B．83 C．94二、填空题15．如图，AB是半⊙O的直径，点C在半⊙O上，AB=5cm，AC=4cm.D是BC⏜上的一个动点，连接AD，过点C作CE⊥AD于E，连接BE.在点D移动的过程中，BE的最小值为16．已知点A、B是半径为2的⊙O上两点，且∠BOA=120°，点M是⊙O上一个动点，点P是AM的中点，连接BP，则BP的最小值是.17．如图，已知在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，点M是AC边上任意一点，连接MB，以MB、MC为邻边作平行四边形MCNB，连接MN，则MN的最小值是18．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是A边上一点，且AE＝3，点F是边BC上的任意一点，把△BEF沿EF翻折，点B的对应点为G，连接AG，CG，则四边形AGCD的面积的最小值为.19．如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，点E在AD边上，且AE：ED=1：3，动点P从点A出发，沿AB运动到点B停止，过点E作EF⊥PE，交射线BC于点F，设M是线段EF的中点，则在点P运动的整个过程中，点M运动路线的长为.20．如图，折线AB−BC中，AB=3，BC=5，将折线AB−BC绕点A按逆时针方向旋转，得到折线AD−DE，点B的对应点落在线段BC上的点D处，点C的对应点落在点E处，连接CE，若CE⊥BC，则tan∠EDC=21．如图，在平面直角坐标系中，A（1，3），B（2，0），C点在x轴上运动，过点Ｏ作直线AC的垂线，垂足为D.当点C在x轴上运动时，点D也随之运动.则线段BD长的最大值为.22．如图，在RtΔABC中，∠ACB=90°，AC=10，BC=5，将直角三角板的直角顶点与AC边的中点P重合，直角三角板绕着点P旋转，两条直角边分别交AB边于M，N，则MN的最小值是.23．如图，已知⊙O的半径是2，点A，B在⊙O上，且∠AOB＝90°，动点C在⊙O上运动（不与A，B重合），点D为线段BC的中点，连接AD，则线段AD的长度最大值是.24．如图所示，等边△ABC的边长为4，点D是BC边上一动点，且CE＝BD，连接AD，BE，AD与BE相交于点P，连接PC.则线段PC的最小值等于.25．在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=4.如图，将直角顶点B放在原点，点A放在y轴正半轴上，当点B在x轴上向右移动时，点A也随之在y轴上向下移动，当点A到达原点时，点B停止移动，在移动过程中，点C到原点的最大距离为.26．如图，正方形ABCD的边长为2，E为BC上一点，且BE=1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为底向右侧作等腰直角△EFG，连接CG，则CG的最小值为.27．如图，等边△AOB，点C是边AO所在直线上的动点，点D是x轴上的动点，在矩形CDEF中，CD=6，DE=3，则OF的最小值为.28．如图，在ΔABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，经过点C且与边AB相切的动圆与CA，CB分别相交于点P，Q，则线段PQ长度的最小值是.29．如图，在等边△ABC中，AB=4，点P是BC边上的动点，点P关于直线AB，AC的对称点分别为M，N，则线段MN长的取值范围是.三、综合题30．如图，在▱ABCD中，AB＝5，BC＝10，sinB＝45（1）连接AC，判断△ABC是否是直角三角形，试说明理由；（2）在点P运动的过程中，若以点C为圆心、PC长为半径的⊙C与AD边相切，求t的值；（3）在点P出发的同时，点Q以每秒1个单位长度的速度从点C出发，沿着C→D→A的方向运动，当P、Q中的一点到达终点A时，另一点也停止运动.求当BP⊥CQ时t的值.31．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是AD边上的动点，将矩形ABCD沿BE折叠，点A落在点A'处，连接A（1）如图1，求证：∠DEA'（2）如图2，若点A'（3）若AE＝2，求S△（4）点E在AD边上运动的过程中，∠A'32．在综合与实践课上，老师组织同学们以“三角形纸片的旋转”为主题开展数学活动.如图1，现有矩形纸片ABCD，AB＝8cm，AD＝6cm.连接BD，将矩形ABCD沿BD剪开，得到△ABD和△BCE.保持△ABD位置不变，将△BCE从图1的位置开始，绕点B按逆时针方向旋转，旋转角为α（0°≤α＜360°）.在△BCE旋转过程中，边CE与边AB交于点F.（1）如图2，将图1中的△BCE旋转到点C落在边BD上时，CF=；（2）继续旋转△BCE，当点E落在DA延长线上时，求出CF的长；（3）在△BCE旋转过程中，连接AE，AC，当AC＝AE时，直接写出此时α的度数及△AEC的面积.33．如图，△ABC中，∠ACB=90∘，BC=6，AC=8.点E与点B在AC（1）如图1，点E不与点A重合，连结CE交AB于点P.设AE=x，AP=y，求y关于x的函数解析式，写出自变量x的取值范围；（2）是否存在点E，使△PAE与△ABC相似，若存在，求AE的长；若不存在，请说明理由；（3）如图2，过点B作BD⊥AE，垂足为D.将以点E为圆心，ED为半径的圆记为⊙E.若点C到OE上点的距离的最小值为8，求⊙E的半径.34．如图1，已知：在矩形ABCD中，AB=33cm，AD＝9cm，点O从A点出发沿AD以acm/s的速度移向点D移动，以O为圆心，2cm长为半径作圆，交射线AD于M（点M在点O右侧）．同时点E从C点出发沿CD以3（1）求a的值；（2）在运动过程中，①当直线FG与⊙O相切时，求t的值；②是否存在某一时刻t，使点G恰好落在⊙O上（异于点M）？若存在，请写出t的值；若不存在，请说明理由．35．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（6，0），点B的坐标为（0，2），点M从点A出发沿x轴负方向以每秒3cm的速度移动，同时点N从原点出发沿y轴正方向以每秒1cm的速度移动.设移动的时间为t秒.（1）若点M在线段OA上，试问当t为何值时，△ABO与以点O、M、N为顶点的三角形相似？（2）若直线y=x与△OMN外接圆的另一个交点是点C.①试说明：当0<t<2时，OM、ON、OC在移动过程满足OM+ON=2OC；②试探究：当t>2时，OM、ON、OC之间的数量关系是否发生变化，并说明理由.36．（1）如图，已知△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，求证：DE∥BC，DE=12（2）利用第（1）题的结论，解决下列问题：①如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E、F分别是AB、CD的中点，求证：EF∥BC，FE=12②如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝33，AD＝3，点M，N分别在边AB，BC上，点E，F分别为MN，DN的中点，连接EF，求EF长度的最大值．37．如图①，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝15，BC＝20，经过点C的⊙O与△ABC的每条边都相交.⊙O与AC边的另一个公共点为D，与BC边的另一个公共点为E，与AB边的两个公共点分别为F、G.设⊙O的半径为r.（1）（操作感知）根据题意，仅用圆规在图①中作出一个满足条件的⊙O，并标明相关字母；（2）（初步探究）求证：CD2+CE2＝4r2；（3）当r＝8时，则CD2+CE2+FG2的最大值为；（4）（深入研究）直接写出满足题意的r的取值范围；对于范围内每一个确定的r的值，CD2+CE2+FG2都有最大值，每一个最大值对应的圆心O所形成的路径长为.38．（操作体验）如图①，已知线段AB和直线l，用直尺和圆规在l上作出所有的点P，使得∠APB=30°，如图②，小明的作图方法如下：第一步：分别以点A，B为圆心，AB长为半径作弧，两弧在AB上方交于点O；第二步：连接OA，OB；第三步：以O为圆心，OA长为半径作⊙O，交l于P1所以图中P1，P2即为所求的点.（1）在图②中，连接（方法迁移）（1）如图③，用直尺和圆规在矩形ABCD内作出所有的点P，使得∠BPC=45°，（不写做法，保留作图痕迹）.（2）已知矩形ABCD，BC=2.AB=m，P为AD边上的点，若满足∠BPC=45°的点P恰有两个，则m的取值范围为.（3）已知矩形ABCD，AB=3，BC=2，P为矩形ABCD内一点，且∠BPC=135°，若点P绕点A逆时针旋转90°到点Q，则PQ的最小值为.39．（1）如图1，点A在⊙O上，请在图中用直尺（不含刻度）和圆规作等边三角形ABC，使得点B、C都在⊙O上.（2）已知矩形ABCD中，AB=4，BC=m.①如图2，当m=4时，请在图中用直尺（不含刻度）和圆规作等边三角形AEF，使得点E在边BC上，点F在边CD上；②若在该矩形中总能作出符合①中要求的等边三角形AEF，请直接写出m的取值范围.40．（概念认识）若以三角形某边上任意一点为圆心，所作的半圆上的所有点都在该三角形的内部或边上，则将符合条件且半径最大的半圆称为该边关联的极限内半圆.如图①，点P是锐角△ABC的边BC上一点，以P为圆心的半圆上的所有点都在△ABC的内部或边上.当半径最大时，半圆P为边BC关联的极限内半圆.（1）（初步思考）若等边△ABC的边长为1，则边BC关联的极限内半圆的半径长为.（2）如图②，在钝角△ABC中，用直尺和圆规作出边BC关联的极限内半圆（保留作图痕迹，不写作法）.（3）（深入研究）如图③，∠AOB＝30°，点C在射线OB上，OC＝6，点Q是射线OA上一动点.在△QOC中，若边OC关联的极限内半圆的半径为r，当1≤r≤2时，求OQ的长的取值范围.

答案解析部分1．【答案】D2．【答案】B3．【答案】A4．【答案】B5．【答案】A6．【答案】A7．【答案】B8．【答案】A9．【答案】C10．【答案】B11．【答案】B12．【答案】D13．【答案】B14．【答案】A15．【答案】13﹣216．【答案】717．【答案】12018．【答案】919．【答案】920．【答案】2421．【答案】3+122．【答案】2523．【答案】524．【答案】425．【答案】4+426．【答案】227．【答案】228．【答案】4.829．【答案】6≤MN≤430．【答案】（1）解：假设△ABC是是直角三角形，连接AC，如图，∵sinB＝45∴∠ABC≠90°∵AB＝5，BC＝10，∴AC=∴sin∴△ABC是不是直角三角形；（2）解：过点A作AE⊥BC于点E，∵sinB＝AE∴AE=4，∴⊙C与AD相切时，PC=4①当点P在BC上时，PB=BC-PC=10-4=6，∴t=6②当点P在CD上时，PC+BC=10+4=14，∴t=14③当P在AD上时，PC=4，PD=3，CD=5，PD+DC+CB=18∴t=18∴t的值为：3或7或9；（3）解：易得，点P在BC上或点P在CD上，不存在BP⊥CQ，∴P，Q均在AD上，当点D与点Q重合时，t=5，P与点Q重合时，t=7.5∴AQ=15-t，AP=25-2t（t≥7.5）∵BP⊥CQ，∴tan又tan∠PBC=4∴428−2t·解得，t=10或t=12，经检验，t=10或t=12均为原方程的根，∴当BP⊥CQ时t的值为10或12.31．【答案】（1）证明：由折叠的性质知：∠AEB＝∠A'EB，∴∠AEB＝12(180°﹣∠A'ED）＝90°﹣1∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，∴∠ABE＝90°﹣∠AEB＝90°﹣(90°﹣12∠A'ED)＝1∴∠A'ED＝2∠ABE；（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，AD＝BC＝8，在Rt△ABD中，根据勾股定理得：BD＝62设AE＝x，则DE＝AD﹣AE＝8﹣x，由折叠的性质知：A'E＝AE＝x，A'B＝AB＝6，∠BA'E＝∠A＝90°，∴A'D＝BD﹣A'B＝4，∴∠DA'E＝90°，在Rt△DA'E中，根据勾股定理得：DE2﹣A'E2＝A'D2＝16，即（8﹣x）2﹣x2＝16，解得：x＝3，∴AE＝3，在Rt△ABE中，tan∠ABE＝AEAB（3）解：过A'作MN⊥AD，交AD于M，交BC于N，如图3所示：则MN⊥BC，MN＝AB＝6，∠A'ME＝∠BNA'＝90°，∴∠EA'M+∠A'EM＝90°，由折叠的性质可知：A'E＝AE＝2，A'B＝AB＝6，∠BA'E＝∠A＝90°，∴∠EA'M+∠BA'N＝90°，∴∠A'EM＝∠BA'N，∴△A'EM∽△BA'N，∴A'设A'M＝x，则BN＝3x，A'N＝6﹣x，在Rt△A'BN中，由勾股定理得：A'N2+BN2＝A'B2，即（6﹣x）2+（3x）2＝62，解得：x＝1.2或x＝0（舍去），∴A'N＝6﹣1.2＝4.8，∴S△A′CB＝12BC×A'N＝1（4）解：∠A′CB的度数存在最大值，理由如下：如图1，过点B作BF⊥CA'交CA'的延长线于F，在Rt△BFC中，sin∠A'CB＝BFBC∴BF越大时，sin∠A'CB越大，即∠A'CB越大，当点E在边AD上运动时，点A'与F重合时，BF最大＝A'B＝AB＝6，∴A'B⊥A'C，∴∠BA'C＝90°，由折叠知，∠BA'E＝∠A＝∠D＝90°，∴点A'在CE上，如图4所示：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠A＝90°，CD＝AB＝6，根据三角形面积得，S△BCE＝12BC•AB＝1∵A'B＝AB，∴CE＝BC＝8，在Rt△CDE中，根据勾股定理DE＝CE∴AE＝AD﹣DE＝8﹣27.32．【答案】（1）9（2）解：∵BE=BD，BA⊥DE∴∠DBA=∠EBA∵∠DBA=∠CEB∴∠EBA=∠CEB∴EF=FB设CF=x，则在Rt△BCF中，（8﹣x）2=62+x2，解得x=7∴CF=7（3）60°；163−24或300°，33．【答案】（1）解：∵AE⊥AC，∠ACB=∴AE//BC∴∵BC=6，AC=8∴AB=∵AE=x，AP=y∴∴y=（2）解：∵∠ACB=90°，而∠PAE与∴要使ΔPAE与ΔABC相似，只有∠EPA=90即CE⊥AB此时ΔABC∼ΔEAC，则AE8∴AE=故存在点E，使ΔABC∼ΔEAP，此时AE=（3）解：∵点C必在⊙E外部，∴此时点C到⊙E上点的距离的最小值为CE−DE.设AE=x.①当点E在线段AD上时，ED=6−x，EC=6−x+8=14−x∴解得：x=即⊙E的半径为9②当点E在线段AD延长线上时，ED=x−6，EC=x−6+8=x+2，∴解得：x=15即⊙E的半径为9∴⊙E的半径为9或934．【答案】（1）解：如图1中，当点G在AD上时．

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠BAD=90°，

∵AB=33，AD=9，

∴tan∠BDA=ABAD=339=33，

∴∠ADB=30°，

∵BC∥AD，EF∥BD，

∴∠CFE=∠CBD=∠ADB=30°，

∴∠FEC=∠FEG=60°，

∴∠GED=60°，

∵CE=EG=3t，

在Rt△GED中，DE=12EG=32t，

∴3t+32t=33，

∴t=2，

∴CE=EG=23，DE=（2）解：①如图2中，作GQ⊥AD于Q，GR⊥CD于R，QG的延长线交BC于P，FG的延长线交AD于T．

由题意CE=EG=3t，ER=32t，QD=PC=RG=32QG=DR=33-3t-32t=33-332t，在Rt△GQT中，

∵∠TGQ=30°，

∴QT=QG•tan30°=3-32t，∴TD=32t-（3-32t）=3t-3，

如图3中，当⊙O与FG相切于点N时，

易知OA=2t，OT=433，TD=3t-3，则有2t+433+3t-3=9，解得t=36−4315．

如图4中，当⊙O再次与FG相切时．

由OA+DT-OT=AD，可得2t+3t-3-433=9，解得t=36+4315

综上所述，t=36−4315s或36+4315s时，直线FG与⊙O相切

②如图5中，当点G在⊙O上时，作GN⊥AD，

则DN=32t，ON=DN-OD=32t-（9-2t）=72t-9，NG=332t−33，OG=2，

∵OG2=ON2+NG2，35．【答案】（1）解：由题意，得OA=6，OB=2.当0<t<2时，OM=6-3t，ON=t.若△ABO∽△MNO，则OAOM=OB若△ABO∽△NMO，则OAON=OB综上，当t为1或1.8时，△ABO与以点O、M、N为顶点的三角形相似.（2）解：①当0＜t＜2时，在ON的延长线的截取ND=OM.∵直线y=x与x轴的夹角为45°，∴OC平分∠AOB.∴∠AOC=∠BOB.∴CN=∴CN=CM.又∵在⊙O中∠CNO+∠CMO=180°，∠DNC+∠CNO=180°，∴∠CND=∠CMO.∴△CND≌△CMO.∴CD=CO，∠DCN=∠OCM.又∵∠AOB=90°，∴MN为⊙O的直径.∴∠MCN=90°.∴∠OCM+∠OCN=90°.∴∠DCN+∠OCN=90°.∴∠OCD=90°，又∵CD=CO，∴OD=2OC.∴ON+ND=2OC，∴OM+ON=2OC.②当t>2时，ON-OM=2OC.过点C作CD⊥OC交ON于点D.∵∠COD=45°，∴△CDO为等腰直角三角形，∴OD=2OC，连接MC，NC，∵MN为⊙O的直径，∴∠MCN=90°，又∵在⊙O中，∠CMN=∠CNM=45°，∴MC=NC，又∵∠OCD=∠MCN=90°，∴∠DCN=∠OCM，∴△CDN≌△COM.∴DN=OM，又∵OD=2OC.，∴ON-DN=2OC，∴ON-OM=2OC.36．【答案】（1）解：如下图，延长DE到点F，使得EF=DE，连接CF，∵D、E分别是AB、AC的中点∴AE=CE，AD=BD在△ADE和△CFE中AE=CE∴△ADE≌△CFE（SAS）∴∠A=∠ECF，AD=CF∴CF∥AB又∵AD=BD∴CF=BD∴四边形BCFD是平行四边形∴DF=BC，DE∥BC∵EF=DE∴DE=12DF=1∴DE∥BC，DE=12（2）解：①连接AF，并延长AF交BC延长线于点M∵AD∥BC∴∠DAF=∠M∵F分别是CD的中点∴DF=FC∵∠AFD=∠MFC∴△ADF≌△MCF(AAS)∴CM=AD∴BM=AD+BC∵E、F分别是AB、CD的中点∴EF∥BC，FE=12∴EF∥BC，FE=12②解：连接DM∵点E，F分别为MN，DN的中点∴由（1）知EF=12∴DM最大时，EF最大∵M与B重合时DM最大∴DM=DB=AD∴EF的最大值为3．37．【答案】（1）解：如图①即为所求，（2）证明：如图②中，连接DE.∵∠DCE＝90°，∴DE为⊙O直径，即DE＝2r，∴CD2+CE2＝DE2＝4r2，（3）48（4）3138．【答案】（1）解：如图（深入探究）（2）2≤m<2（3）3439．【答案】（1）解：如图1