2-4数学期望的定义与性质(精)

1、2.4数学期望的定义与性质一、随机变量的数学期望二、随机变量函数的数学期望三、数学期望的性质四、小结一、随机变量的数学期望离散随机变量的分布列全面地描述了随机变量的 统计性规律，但这样“全面的描述”有时不方便， 或不必要。如比较两个班级的成绩的优劣，通常比 较考试的平均成绩即可；要比较两地的粮食收成， 一般比较平均亩产。引例某手表厂在出产产品中抽査了N=100只手 表的日走误差，数据如下：日走误差 （秒）-2-101234只数GVJ3 1O 172821165日走误差（秒）只数GVJ这时抽査到的100只手表的品均日走时误差为:4工（一2）x3+ +4x52_（Gxd +4XB_.22（秒/日）

2、4工4N匕NX.离散型随机变量的数学期望定义:设离散型随机变量的可能的取值为和匸1,2.）,CO其分布列为PH，心1，2,.若2皿/=|敛，则称随机变量存在数学期望吓思考：1、为什么要绝对收敛？2、若不绝对收敛会有什么结果?21 O 1 23 4N100记作平均值二4=财k绝对收关于定义的两点说明(1) Eg是一个实数，而非变量，它是一种加 权平均，与一般的平均值不同，它从本质上体现 了随机变量歹取可能值的真正平均值，也称 均值.(2)级数的绝对收敛性保证了级数的和不 随级数各项次序的改变而改变，之所以这样要 求是因为数学期望是反映随机变量取可能值 的平均值，它不应随可能值的排列次序而改变.试

3、问哪个射手技术较好?乙射手击中环数89 1O解 设甲，乙射手击中的环数分别为歹, = 8x0.3 + 9x0.1 + 10 x0.6 = 9.3(环),E” = 8x0.2+9x0.5 + 10 x0.3 = 9.1（环）,故甲射手的技术比较好.例 2 二项分布设随机变量歹服从参数为n.p二项分布， 其分布列为/、P = k=；/(l p)U(0,l,2,),Ovpvl则有I丿”E(G = k Pl/k,需要分组，若q已知，还可以从Eg二l +l/k选出最适合的整数匕每一个人的血液，如果当地有N个人,若逐个检例 5 几何分布设“纟的分布律为P苗=U=qfg = 1 “；R = 1,2,；0 V

4、 p 1800则有臥q_p =k=k= p( (r = p( (Z?Ar*=/t=l=p( (-y=P=丄 q(ISp二、随机变量函数的数学期望1.一维离散型随机变量函数的数学期望设离散型随机变量的分布列为p（n，（心1,2,）,若g（x）为x的单值函数，如果|g（d）p| 1oO=Dj工P（ = ajJ=1= 22 g（e）p（e = q）7=1g（aj=bjs=O（q）P（=Qi）=12.二维离散型随机变量函数的数学期望定理2.3若（,）是二维随机变量，其联合分布列为P（g=乞, =b）=卩丐,i.j= 1,2,.工工|g（q“）|為 V8,有E gGCl =为为g（abj）pi Ji j

5、三、数学期望的性质1若55伉贝I砖存在，RaEh.特另Ijc是一个 常数，则E又兀 ）如果（C）= C Op证明 由于 c cii兰6 E（歹）=12a4OOQO贝Ua=ap 左（歹），bp =hi=li=l2设二维离散随机变量（,）,若Eg,E”存在 则对任意实数k,la= 4(元)，故每人1年应向保险公司交保险费4元.求：E(2Q+5) 解E(2Q+5) = 2E(X3) + E(5)= 2E(X3) + 5,又E(X3) = (-2)3x- + 03x- + l3x + 33x = -|, 3212123,.13例3按规定，某车站每天8 : 009 : 00, 9:00-X2O13P1/

6、3121/12 1/12例2设故E(2X3+ 5) =2E(X3)+ 5 = 2x(ii)一旅客8 : 20到车站，求他候车时间的数学鯉.10: 00都恰有一辆客车到站但到站的时刻是随机的，且两者到站的时间相场虫立其规律为8:109:1030368:508:30到站时刻概率(i)一旅客8:00到车站，求他候车时间的数学鯉.解设旅客的候车时间为x( (以分计).(i) X的分布律为X103050132Pk666候车时间的数学期望为132E(X) = 10 x- + 30 x- + 50 x-6 6 6=33.33(分).(ii)X的分布律为X1030507090Pk321 1x -1 3x 1 2