空间向量巧解平行、垂直关系

1、高中数学空间向量巧解平行、垂直关系编稿老师刘咏霞一校黄楠二校杨雪审核郑建彬一、考点突破知识点课标要求题型说明1. 能够运用向量的坐标判断两个向量的平行或垂直。2.理解直线的方向向量与平面的注意用向量方法解决平行和垂直空间向量巧解法向量。选择题填空题问题中坐标系的建平行、垂直关系3.能用向量方法解决线面、面面的立以及法向量的求解答题垂直与平行问题，体会向量方法在法。立体几何中的作用。二、重难点提示重点： 用向量方法判断有关直线和平面的平行和垂直关系问题。难点： 用向量语言证明立体几何中有关平行和垂直关系的问题。考点一：直线的方向向量与平面的法向量1.直线 l 上的向量 a 或与 a 共线的向量叫

2、作直线l 的方向向量。2.如果表示向量a 的有向线段所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面 ，记作 a ，此时向量a 叫作平面 的法向量。【核心归纳】 一条直线的方向向量有无数多个，一个平面的法向量也有无数多个，且它们是共线的。 在空间中，给定一个点A 和一个向量a，那么以向量a为法向量且经过点A 的平面是唯一确定的。【随堂练习】已知 A（ 1， 1， 0）， B（1， 0，1）， C（ 0，1， 1），则平面 ABC的一个法向量的单位向量是（）A. （1， 1， 1）B. (3, 3, 3)333C. (1,1,1)D. (3, 3,3 )333333思路分析： 设出法向量坐标，列方程组

3、求解。uuuruuur答案： 设平面 ABC的一个法向量为 n（ x，y，z）， AB （ 0， 1，1）， BC （ 1，uuuryz0uuurAB·nuuurxy0 ， x y z，1， 0）， AC （ 1， 0， 1），则BC ·nuuurxz0AC ·n又单位向量的模为1，故只有B正确。技巧点拨： 一般情况下，使用待定系数法求平面的法向量，步骤如下：（ 1）设出平面的法向量为 n（ x， y， z）。（ 2）找出（求出）平面内的两个不共线的向量a（ a1， b1， c1），b（ a2， b2 ，c2）。（ 3）根据法向量的定义建立关于x， y， z 的方

4、程组n·a0n·b0.（ 4）解方程组，取其中的一个解，即得法向量。考点二：用向量法证明空间中的平行关系、垂直关系设两条不重合的直线l ， m的方向向量分别为a（ a1， b1， c1）， b（ a2，b2，线线平行c2），则 l m? a b? （ a1， b1， c1） k（ a2， b2，c2）设 l 的方向向量为a（ a1， b1，c1）， 的法向量为u（ a2， b2，c2），线面平行则 l ? a u? a· u 0? a1a2b1 b2 c1c2 0设 ， 的法向量分别为u（ a1， b1， c1）， v（ a2 ，b2， c2），面面平行?u?（1

5、，1，1）k（2，2，c2）则va b ca b设两条不重合的直线l ， m的方向向量分别为a（ a ， b ， c）， b（ a ，b ，线线垂直11122a a b b cc 0c ），则 l m? a b? a· b 0?2121212设 l 的方向向量为a（ a1， b1，c1）， 的法向量为 u（ a2， b2，c2），线面垂直则 l ? a u? a ku? （ a1，b1， c1） k（a2， b2， c2）（ k R）设，的法向量分别为u（a1，b1，1），（ 2， 2，2），cvabc面面垂直则 ? u v? u·v 0? a1a2b1b2 c1c2 0【

6、核心突破】 用向量法解决立体几何问题是空间向量的一个具体应用，体现了向量的工具性，这种方法可把复杂的推理证明、 辅助线的作法转化为空间向量的运算， 降低了空间想象演绎推理的难度，体现了由“形”转“数”的转化思想。 用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”：建立立体图形与空间通过向量运算，研究把向量的运算结果向量的联系，用空间点、直线、平面之间“翻译”成相应的几向量表示问题中涉及的位置关系以及它们何意义。的点、直线、平面，之间的距离和夹角等把立体几何问题转化问题。为向量问题。例题1（浙江改编）如图，在四面体A BCD中， AD平面BCD，BC CD，AD 2，BD 22，M是AD的中点，P是BM的

7、中点，点Q在线段AC上，且AQ3QC。证明：PQ平面 BCD。思路分析： 利用直线的方向向量和平面的法向量垂直证明线面平行。答案： 证明：如图，取 BD的中点 O，以 O为原点， OD、OP所在射线为 y、z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系 O xyz。由题意知， A（0，2 ， 2）， B（ 0，2 ， 0），D（ 0，2 ，0）。设点 C的坐标为（ x0， y0uuuruuur3231，0）。因为 AQ3QC ，所以 Qy0 ,。4 x0 ,442因为 M为 AD的中点，故 M（ 0， 2 ， 1），又 P 为 BM的中点，故 P 0,0, 1，2uuur3 y0 ,0 。所以 PQ 3

8、x0 ,2444uuur又平面 BCD的一个法向量为a（ 0， 0， 1），故 PQ · a0。又 PQ?平面 BCD，所以 PQ平面 BCD。技巧点拨： 解决此类问题的依据是要根据线面平行的判定定理，平面内某一向量平行，也可证直线的方向向量与平面的法向量垂直。可证直线的方向向量与例题 2如图所示，正三棱柱（底面为正三角形的直三棱柱） 1 1 1 的所有棱长都ABC A BC为 2，D为1 的中点。求证：1平面1。CCABABD思路分析： 证明线面垂直可以通过证明线与面的法向量平行来实现。答案：证明：如图所示， 取 BC的中点 O，连接 AO，因为 ABC为正三角形， 所以 AOBC

9、。在正三棱柱 ABC A1B1C1 中，平面 ABC平面BCC1B1， AO平面 BCC1B1，取 B1C1 的中点 O1，以 O为原点，分别以uuuruuuuruuurOB，OO， OA 所在直线为 x 轴， y 轴， z 轴1建立空间直角坐标系，则B（ 1，0，0），D（ 1，1，0），A1（ 0，2，3 ），A（ 0，0，3 ），B1（ 1， 2，0）。uuuruuuruuur（ 1，2，3 ）BA3 ）， BD （ 2， 1，0）。 AB =（1， 2，11设平面 A1BD的法向量为 n（ x， y，z），uuuruuuruuurnBA10x2 y3z0，因为 n BA ， n BD

10、，故uuur1n02xy0BD令 x1，则 y2， z3 ，故 n（ 1， 2，3）为平面A1BD的一个法向量，uuur（ 1， 2， 3uuurnuuurnABA BD而AB1），所以AB1AB1，故 ，所以1平面1。技巧点拨： 解决此类问题的依据是要根据线面垂直的判定定理，证明直线的方向向量与平面的法向量平行。例题3如图，在直三棱柱ABCA1B1C1 中， AB BC， AB BC 2， BB1 1， E 为BB1 的中点，求证：平面AEC1平面 AA1C1 C。思路分析： 建系写出坐标，分别求出两个平面的法向量，证明两个平面垂直。答案： 证明：由题意得 AB，BC， B1B 两两垂直，以

11、 B 为原点，分别以 BA， BC，BB1 所在直线为 x，y， z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则 （2， 0， 0）， 1（ 2，0， 1）， （ 0， 2，0）， 1（0， 2， 1）， （ 0， 0， 1），AACCEuuuruuuruuuuruuur 2则 AA1 （ 0，0， 1）， AC （ 2， 2，0）， AC1 （ 2， 2， 1）， AE （ 2， 0， 1 ）。2uuur设平面 AACC的一个法向量为n （ x，y， z），则n1 ·AA10z 0uuur1112x2 y0n1 ·AC0令 x1，得 y1， n1（ 1， 1， 0）。uuuur

12、2x02 y0z0 0n 2·AC10设平面 AEC1的一个法向量为n2（ x0，y0，z0），则uuur2x01 z00n 2·AE 02令 z04，得 x0 1， y0 1。 n2（ 1， 1，4）。 n1 ·n21×11×（ 1） 0×4 0， n1n2 . 平面 AEC1平面 AA1C1C。技巧点拨： 利用空间向量证明面面垂直通常可以有两个途径， 一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直； 二是直接求解两个平面的法向量， 由两个法向量垂直， 得面面垂直。 向量法证明面面垂直的优越性主要体现在

13、不必考虑图形的位置关系。恰当建系或用基向量表示后，只须经过向量运算就可得到要证明的结果，思路方法“公式化”，降低了思维难度。利用向量解决立体几何中的探索性问题【满分训练】 在正方体 ABCD A1B1C1D1 中， E，F 分别是棱 AB，BC的中点，棱 BB1 上是否存在一点 M，使得 D1M平面 EFB1。思路分析： 设出点 M的坐标，利用线面垂直列方程组求解。答案： 建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，设正方体的棱长为2，则 （2，1，0），（ 1， 2，0）， 1E（ 0， 0， 2）， 1（ 2， 2，2）。FDBuuur设 M（ 2，2， m），则 EF （ 1，1， 0）， 2

14、）。 D1M平面 EFB1，uuurB1E （ 0， 1， 2），uuuuur D1M（ 2， 2， m D1M EF， D1M B1E，uuuuuruuuruuuuuruuur D1M · EF 0 且 D1M · B1E 0，于是22 0， 1。22(m2)m0故取1 的中点为就能满足1 平面1。B BMDMEFB技巧点拨： 对于“是否存在”型问题的探索方式有两种：一种是根据条件做出判断，再进一步论证。 另一种是利用空间向量， 先设出假设存在的点的坐标， 再根据条件求该点的坐标，即找到“存在点”，若该点坐标不能求出，或有矛盾，则判定“不存在”。（答题时间： 40 分钟）

15、1.（东营高二检测）已知平面 的法向量为a（ 1， 2， 2），平面 的法向量为b（ 2， 4， k），若 ，则 k（）A. 4B. 4uuurC. 5D. 52.uuuruuur（青岛高二检测） 若 AB CD CE ，则直线 AB与平面 CDE的位置关系是 （）A. 相交B. 平行uuurC. 在平面内D. 平行或在平面内uuuruuuruuuruuur3. 已知 AB （ 1，5， 2）， BC （ 3，1，z），若 AB BC ， BP （x 1，y， 3），且 平面，则实数x，z分别为（）BPABCyA. 33 ， 15 ，4B.40 ， 15 ，4C.40 ， 2，4 D. 4，

16、40 ，157777774. （汕头模拟）如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 3，点 E 在 AA1上，点 F 在 CC1上，且 AE FC1 1。（ 1）求证： E，B， F， D1 四点共面；（ 2）若点 G在 BC上，BG 2 ，点 M在 BB1 上，GM BF，垂足为 H，求证：EM平面 BCC1B1。35. 下列命题中，正确的是 _。（填序号） 若 n1， n2 分别是平面 ， 的一个法向量，则n1 n2 ； 若 n， n 分别是平面 ， 的一个法向量，则 n · n 0；1212 若n是平面的一个法向量，a与平面共面，则 · 0；na 若两个平

17、面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直。uuuruuur uuuruuuruuur6. 平面上有四个互异的点 A， B，C，D，已知（ DB DC 2 DA ）·（ AB AC ）0，则 ABC的形状是三角形。7. 如图，直四棱柱 ABCD A1B1C1D1 中，底面 ABCD是矩形， AB 2， AD 1， AA1 3， M 是BC的中点。在DD1上是否存在一点N，使 MN DC1？并说明理由。8. （衡水调研卷）如图所示，在四棱柱ABCD A 1B1C1D1 中， A 1D 平面 ABCD，底面ABCD是边长为1 的正方形，侧棱A1A 2。（1）证明： AC A1B ；uuur

18、uuur（ 2）是否在棱A1A 上存在一点P，使得 AP PA1 ，且面 AB1C1面 PB1C1。1. D 解析： ， a b， a· b 28 2k0， k 5。uuuruuuruuuruuuruuuruuur2. D 解析： AB CD CE ， AB 、 CD 、 CE 共面，则 AB与平面 CDE的位置关系是平行或在平面内。uuuruuuruuuruuur3. B 解析： AB BC ， AB · BC 0，即 3 5 2z 0，解得 z4，40uuuruuuruuuruuurx15 y60x7。又 BP平面 ABC， BP AB ， BP BC ，则3 x1y1

19、2，解得150y74. 证明：（ 1）以 B 为原点，以 BA， BC，BB1 为 x 轴， y 轴， z 轴，建立如图所示的空间直 uuur角坐标系 B- xyz ，则 B（0，0，0），E（ 3，0， 1），F（0，3，2），D1（ 3，3，3），则 BE （ 3，uuuruuuuruuuuruuuruuur0， 1）， BF （ 0，3， 2）， BD1 （ 3， 3，3），所以 BD1 BE BF 。由向量共面的充要条件知 E，B， F， D1 四点共面。（ 2）设 M（ 0，0， z0）， G 0, 2 ,032uuur，则GM 0, z0 ，而 BF （ 0， 3， 2），3uuu

20、r200uuur由题设得 GM · BF ×3 z ·2 0，得 z 1。故 M（ 0， 0， 1），有 ME （ 3，30， 0）。uuuruuur uuuruuur uuuruuur又 BB1（ 0，0， 3）， BC （ 0，3， 0），所以 ME · BB10， ME · BC 0，从而 ME BB1， ME BC。又 BB1 BCB，故 EM平面 BCC1B1。5.解析：一定正确，中两平面有可能重合。uuur uuur uuur6.uuur uuuruuuruuur uuur等腰解析：（ DB DC2DA）·（ AB AC）（ DBDADC uuuruuuruuuruuuruuurDA）· CB （ ABAC）·CB 0，故 ABC为等腰三角形。7. 解：如图所示，建立以 D为坐标原点， DA为 x 轴， DC为 y 轴， DD1为 z 轴的坐标系，则 C1（ 0， 2， 3）， M（ 1 ， 2， 0），D（ 0， 0， 0）。设 N（ 0，