测度论基础知识总结

1、测度论基础知识总结1集合论1.1集合与基本运算概念：具有一定性质的对象构成的全体（不严格定义）。中间含有的对象叫元素。全集：要研究的问题涉及到的最大集合。空集：没有任何元素的集合。表达方法：X （集合元素x）|x应该有的性质元素与集合的关系：X，A, x?A集合之间的关系只有包含或者不包含若对于任意元素 X A, X B则A包含于B （证明就用这个方法），A是B的子集（A B 则为B的真子集）包含的特殊情况相等：A=B就是A包含于B同时B包含于A真子集：A包含于B但A B集合的运算 单个元素的幕集-对于一个集合X,它的幕集表示所有其子集为元素构成的集合。这种以集合为元素的集合，也叫集合族。 两

2、个集合的运算交：A B=x| x A 且 x B并：A B=x| x A 或 x B差：AB （或写成 A-B） =x| x A 且 x?BAC补： =UA （ U是问题要研究的全集）于是有等式AB=A ：:积：（直积）AX B=（x,y）| x A且y B （把A、B中元素构成有序对） 多个元素的运算多个交表示所有以入为角标的集合的并，要求入，1称为指标集。类似有多个并注：可以是无穷个1【例】 hx| x> " /, A=x| x>0，则 A=集合的分析相关性质门 DO |j|8 A 上限集：一列集合 f ，定义上限集为。类似于数列的上极限。 下限集：一列集合 C ，定

3、义下限集为.|"。类似于数列的下极限。 集合列的极限：当上限集等于下限集时极限存在，就是上限集(或下限集)。 单调集合列：若始终有'包含于；，也就是集合越来越大，则为递增集合列；反之，若始终有-人，则为递减列。Alim A ijs Alim A 门閃 A若:为递增列，则有极限='；若为递减列，则有=''O1.2映射定义：X、Y是两个集合，对任意x X，存在唯一的y=f(x) Y与之对应，则对应法则f 为X到Y的一个映射，记为f:X tY o像集：对于X的一个子集A，像集f(x)| x A记为f(A)，显然包含于Y原像集：对于Y的一个子集B,原像集x|

4、x ：一匚 m 一口记为：'满射：f(X)=Y,即Y中所有元素都是像单射：X中不同元素一定对应 Y中不同的像双射：既是单射又是满射。双射是一一对应的映射。逆映射：对于双射，建立一种Y到X的双射，将像映射到原像上。记为：Yt X复合映射：f：XT Y, g:YT乙它们的复合g o f:XT乙写成g(f(X)函数，一个R (n维实数向量)到 R (实数)上的映射性质(映射与交并运算顺序可交换性)对于f:XT Y, X若干个子集：,Y若干个子集'a a f(U )=Uf)厂3叮=uL®)f(J包含于(只有这一个不一定等于！)3不等于的例子：A-1 , B-1, f(x)-|

5、x|，则 f(A门 B)工 f(A) °f(B)门厂仞用集合相等定义可证明。1.3集合的势对等：如果集合 A和B之间可以建立双射，则 A对等于Bo记为AB 性质：A到B有单射t A与B子集对等A到B有满射t B与A子集对等 AB, BC,贝y AC (传递性) AC, BD，贝U AX BCX D判定：(康托一伯恩斯坦定理)若集合 X与Y的一个真子集对等而且 Y与X的一个真子集 对等，则XY基数：有限个元素的集合为元素个数。势：若两个集合对等，则定义它们的势相等。在有限个元素的情况下，势就是基数。无限个元素的情况下，定义自然数集的势是 (阿列夫0)。A的势用|A|表示。若A与B的一个

6、子集对等，则|A|B|，若与B的真子集对等，则1.4可数集可数集：与自然数集对等的称为可列集，元素有限的集合和可列集统称可数集。性质：任何无穷集合都包含可列子集 可数集的子集还是可数集 两个可数集的交、并还是可数集 可数集和可数集的直积还是可数集定理：有理数集是可列集，实数不是可列集。(有理数可列证明就把每一个有理数p/q映射到(p,q)点，则有理数和ZX N对等。实数不可列证明方法有多种，可用闭区间 套定理、有限覆盖定理、十进制小数展开等方法)定义实数的势是 c=定理：单调函数的间断点集是可数集。证明思路：不妨设单调递增。间断点x0左右必有界，否则不单调。f(x0-0)和f(x0+0)之间必

7、有有理数rx0，而且x0不同的话每个区间(f(x0-0),f(x0+0)不会相交，否则不单 调。所以间断点和有理数子集rx0建立双射，是可数的。不可数集性质：一个集合子集不可数，则它不可数A不可数，B可数，则 AAUB2. n维欧式空间极其简单的性质2.1定义向量与运算：(略)这部分详见线性代数或者解析几何书定义的向量及运算(加、减、模、内积)、距离等。一些常用的集合：开球：B(x,r)(以x为球心，r为半径的球内部)就是y *|d(x,y)<r (d(x,y)是x、y的距离)闭球：上面改为 d(x,y)丄r有界集：包含于一个开球的集合。2.2分析相关的概念点列的极限点： 在 k趋于 时

8、与定点x的距离趋向于0,则x为p 极限点。聚点和导集：若对于 ，点I为圆心的任何开球内都有无数个 （中的点，贝y I为 聚点。一个集合 A的所有聚点构成的集合叫A的导集，记为 A'若勺总A且不是A的聚点则为A的孤立点，孤立点集记为AA'注：聚点未必属于集合，比如0,1所有有理数构成的集合聚点是0,1中所有数，包括无理数。但是定义孤立点属于集合。定理：若是点集A的聚点，贝U A中存在一个点列趋向-。内点和边界点内点（记为儿）:存在一个以它为球心有一个开球包含在A中边界点（记为臼山）：以它为圆心有一个所有开球不包含在A中，但都有A中的点（用几何图像很好理解）定理：aaa=a （用集

9、合相等的定义证出）J （用几何图像很好理解）闭包A的闭包定义为 A与A'的并。称A在A的闭包中稠密。（闭包在几何图像上可以理解为一个 图形加上它的边界组成的封闭图形）有若干性质，略2.3 n维欧式空间中的集合闭集：闭包等于自己的集合。开集：闭集的补集。闭集性质：有限个闭集并还是闭集，任意个闭集交还是闭集。LT | 1无限个闭集并可能是开集，比如-=（0,1）开集类似：有限个开集交还是开集，任意个开集并还是开集。、集和集。F集：可数个闭集的并。.集：可数个开集的交。性质：I集的补集是 集注意：一个集合有可能既是集又是 集！比如半开半闭区间。与矩体的关系矩体：若干个 R上的区间直积。半开半

10、闭矩体就是若干个前开后闭区间的直积。性质：开集一定是可列个互不相交的半开半闭矩体的并。康托集C。开始是0,1区间，然后挖掉中间的三分之一开区间得到0,1/3U2/3,1，再把每个区间挖掉中间1/3的开区间，如此往复，无数次的极限就是康托集。康托集对应三进制小数 O.XXXXX中只有0,2数字，没有1数字的小数。(这个结论可以从每 次区间的端点都保留在集合里来得到) 性质：康托集是非空有界闭集。 势是茂。 是完全集C=C' 没有内点。代数和博雷尔集 代数：设F是X的一些子集构成的集合，而且匚二若二带则；尺:若一列 >pn集合',则. 1 o则称F是X的一个代数。 博雷尔集：

11、n维欧式空间的一切开集的最小代数中的集合。2.4连续函数定义：设f是集合E上面的实值函数，若对任一点i '，任何，均存在；，使得' ：1''"时|f-f( i)l< '，则f为E上连续函数。连续函数性质与微积分中一元函数类似，不详述。特殊判定方法： 对于任何t x| f>t , x(记为E(f>t)是开集，则f在E上连续。大于号可换为大于等于、小于、小于等于。 若R任意开集在f的原像是开集，则f在E上连续。“开集”可换为“闭集”。2.5 n维欧式空间的完备性定理有柯西收敛准则、闭集套定理、有限覆盖定理、聚点原理，类似于R的情况

12、，不详细叙述。3. 勒贝格测度3.1勒贝格外侧度勒贝格测度的定义开矩体的体积n维欧式空间中的开矩体匸="(都是R中的开区间)定义它的体积 |1|=| X' | X-X：' |勒贝格外侧度对于任意n维欧式空间的集合E,总有可数个开矩体可以将其覆盖。定义E外侧度为可数个覆盖它的开矩体体积和的下确界，记为'(E)o性质：非负性：(E)'平移不变性：(E)='(E+x), E+x为把集合 E向右平移X。 子集的外侧度：若则)门C) 集合的并的外侧度：n维欧式空间中，()一些集合外侧度的例子： ()=0 单个点构成的集合外侧度为 0。 可数集的外侧度是

13、0定义：外侧度为0的集合称为零测集。 平面(2为欧式空间)上的任意直线外侧度为0 (即直线面积是 0) 开矩体与它的闭包外侧度相等，都等于它的体积。(而且还等于有一部分边界的矩体的外侧度)可测集勒贝格测度 可测集：如果对于一个 n维欧式空间中的集合 E,任意n维欧式空间中的集合 T,都有T(T)= " (E1t)+" ()，则称E为可测集。n维欧式空间中的所有可测集的全体记为M(R )。理解：就是用任意一个集合 T去“检验”这个E,与E相交的部分外侧度和 E以外部分的外 侧度加起来还等于原来 T的外测度，那么E就是一个“可以用常理理解”的集合，不至于太“奇怪”，这样的集合E

14、叫做可测集。这个概念不要记错注1不可测集一定是存在的，但是要举出不可测集的例子非常麻烦，要有很多铺垫，所以 略去。注2:条件可以减弱，只要把任意集合T换成任意开矩体I成立即可。证明略。可测集例子： 零测集可测，显然测度为 0 开矩体可测勒贝格测度：当一个集合 E是可测集的时候，它的外侧度定义为它的勒贝格测度，简称测 度，记为m(E)。可测集族M(R )是n维欧式空间上的代数 空集可测 若E可测，则可测 若一列集合'，则'可测勒贝格测度的性质可列可加性：若一列可测集合傀两两不交，则i) = 冋(亠) 上连续：若递增集合列 下连续：若递减集合列都可测则='111'都

15、可测,而且测度有限，则=A1注:注：康托集可测，测度为0。(证明很容易，因为康托集是一些区间的极限)故测度为0的集合不一定可数，康托集不可数却测度为0。可测集的性质 若E是可测集，则任给， 存在一个开集 G包含E,且m(E/F)， 若E是可测集，则任给，存在一个闭子集 F且m(E/F)-证明思路：分情况讨论(有界与无界)证明，有界时用定义的开矩体证明，无界时 ：一亠二小，开集'包含且差集测度任意小，G= '。对于取补集再用证。 若E是可测集，则存在 包含E且与E差集测度为0。这个.集称为E的 包。FFF 若E是可测集，则存在 包含于E且与E差集测度为0。这个 集称为E的 核。证

16、明较简单，用直接证。取'=1/n构造集合列。3.2测度的公理化定义 概率 测度空间设X是非空集，F是X上的5弋数，若存在把F子集映射为非负实数的函数'，满足:若f中集合列r两两不交，就有K（ur-A）=2r=i w ()=0 ；则称-为(X,F上的一个测度，称(X,F,)为一个测度空间。 很容易验证勒贝格测度满足上述性质，故是一个特殊的测度。 性质单调性：若 A包含于B贝卜'() 次可加性：')-" 上、下连续性(同勒贝格测度)概率若上述测度还满足' ' =1,则称 为一个概率测度，简称概率，记为P。上述集合X记为Q ,称为样本空间，实

17、际表示随机试验结果构成的集合；Q内的元素为基本事件。概率满足测度的所有性质。在下面的讨论中不涉及一般测度空间的性质，只涉及勒贝格测度和少量概率的相关问题。4. 勒贝格可测函数4.1广义实数将.看成两个数加入实数系中，称为广义实数。定义的性质和运算 任意实数x，- -<x<+* 略(若干符合直观意义的运算，比如+(+ )= +等加减乘除运算) 无意义的运算+ -(+)、(0X 有意义，规定为0，为了今后证明的方便)广义实值函数把n维欧式空间的点映射到广义实数的函数。4.2可测函数定义：对于可测集 E上定义的函数f,如果对于任意实数 t, E(f>t )是可测集，则称f在E 上可

18、测。E可测函数全体记为 M(E)。还有一些等价定义，即把上述大于号改成大于等于、小于、小于等于都等价。注：概率论中的“随机变量”实际上就是样本空间上对于概率测度来说的可测函数。而上述 的可测函数是n维欧式空间中相对于勒贝格测度而言的。定理：可测集上定义的连续函数可测。 可测集上的指示函数可测。(即E上恒为1,其余为0的函数) R上的单调函数可测。 E若为零测集则E上任何函数可测。 a,b上定义的间断点集为零测集的函数可测。性质：f为E上可测函数，则 E(f=")、E(f< ')均可测。E.川若f在集合列 上可测，则f在上也可测。函数正负部正负部概念：对于函数f,定义=m

19、axf,0(要是f大于零则为f，小于零则为0) / =max-f,0。定理：f可测则、I可测。简单函数：设 E是可测集，对于 E的有限个可测子集''-上定义的指示函数的线性组合0®)-乙=% x日称为简单函数。性质：可测函数可以表示成若干个两两不交子集上指示函数之和。 简单函数可测。0 对于任意一个有界非负可测函数f,都存在一个可简单函数列 一致收敛到f。任意有界可测函数可以划分为负部和正部，分别用简单函数逼近则非负条件可以去掉。注：直观上面好理解， 将有界函数值域每次二等分，然后每个值域区间可以对应到一个定E E义域子集， 上面定义最大值的常数函数(只是函数的实数倍

20、)代替，划分次数越多越接-可测函数四则运算设f、g是两个各自定义域上的可测函数，I为使得它们作下面运算有意义的集合则cf（c是常数）、f+g、fg、f/g均在各自的上为可测函数。证明思路：cf可测显然；对于f+g用f+g>t等价于任意有理数 r，f>r且g>t-r ；对于fg先证，可测，再用fg=I来做；f/g只证1/g可测。4.3可测函数列极限的可测性对于一列E上的可测函数 , sup 、inf 均可测进而 上下极限都可测。几乎处处成立的命题：指在集合E上，除去零测集I以外，其他地方处处成立的命题（若F =仍0如则处处成立），记为a.e.E。注：一个函数几乎处处等于一个连续函数，未必几乎处处连续，反例是狄利克雷函数。由于有理数集可数所以有理数集测度为0,狄利克雷函数几乎处处等于0。但是狄利克雷函数不但不是几乎处处连续，而且是处处都不连续。可测函数列的三种收敛 在E上几乎处处收敛到 f,记为 a.e.E。注：若探讨