2019年高考数学一轮复习专题探究课4立体几何中的高考热点问题理北师大版

1、四立体几何中的高考热点问题(对应学生用书第 127 页)命题解读立体几何是高考的重要内容，从近五年全国卷高考试题来看，立体几何每年必考一道解答题，难度中等，主要采用“论证与计算”相结合的模式，即首先利用定义、定理、公理等证明空间的线线、线面、面面平行或垂直，再利用空间向量进行空间角的计算，考查的热点是平行与垂直的证明、二面角的计算，平面图形的翻折，探索存在性问题，突出三大能力：空间想象能力、运算能力、逻辑推理能力与两大数学思想：转化化归思想、数形结合 思想的考查.題型讪r空间点、线、面间的位置关系空间线线、线面、面面平行、垂直关系常与平面图形的有关性质及体积的计算等知识交汇考查，考查学生的空间

2、想象能力和推理论证能力以及转化与化归思想，一般以解答题的形式出现，难度中等.用向量法证明平行、 垂直、求空间角，通过建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标A .运算来实现，实质是把几何问题代数化，注意问题：(1)恰当建系，建系要直观；坐标简单易求，在图上标出坐标轴，特别注意有时要证 明三条轴两两垂直(扣分点). 关键点，向量的坐标要求对，把用到的点的坐标一个一个写在步骤里.(3) 计算要认真细心，特别是|n| ,ni、n2的运算.(1) 求证：平面ABEL平面BBCC(2) 求证：CF/平面ABE求三棱锥EABC勺体积.解(1)证明：在三棱柱ABCABC中，BB丄底面ABC所以BB丄ABA吐B

3、C AA=AC=2,BC(4) 弄清各空间角与向量夹角的关系.又因为AELBC BBQBC= B,所以ABL平面BBCC又A匪平面ABE平行，实施线面平行、面面平行的转化2.计算几何体的体积时，能直接用公式时，关键是确定几何体的高，而不能直接用公式时,注意进行体积的转化3证明：法一：如图（1），取AB中点G,连接EG FG(1)所以平面ABEL平面AC血E &4因为G F分别是AB, BC的中点,所以FG/ AC,且FG=2AC因为AC/ AQ,且AC= AiC,所以FG/ EC,且FG= EC.所以四边形FGEC为平行四边形,所以CF/又因为EG二平面ABE CF?平面ABE所以CF

4、/平面ABE法二：如图（2）,取AC的中点H,连接CH, FHI 7因为H, F分别是AC, BC的中点，所以HF/ AB又因为E,H分别是AC,AC的中点， 所以EC上AH所以四边形EAHC为平行四边形,所以C H/ AE又OHP HF=H,AEPAB= A,所以平面ABE/平面CHF又CF二平面CHF/ f * /所以CF/平面ABE(3)因为AA=AC= 2 ,BC=1,ABL BC,所以AB= .ACBC=【3.所以三棱锥E-ABC的体积V=bABC-AA=1x3xix2=333 23规律方法I, I证明面面垂直，将面面垂直”问题转化为线面垂直”问题，再将线面垂直”问题转化为线线垂直”

5、问题2证明CF/平面ABE利用判定定理，关键是在平面ABE中找 作 出直线EG且满 足CF/ EG利用面面平行的性质定理证明线面平行，则先要确定一个平面CHF满足面面平行，实施线面平行、面面平行的转化2.计算几何体的体积时，能直接用公式时，关键是确定几何体的高，而不能直接用公式时,注意进行体积的转化5跟踪训练如图 2 所示，在底面是矩形的四棱锥RABCDK P从底面ABCD E, F分别是PC PD的中点，PA= AB=1,BC=2.图 2(1) 求证：EF/平面PAB(2) 求证：平面PADL平面PDC【导学号：79140259】证明以A为原点，AB AD AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴

6、，建立空间直角坐标系 如图所示，则A(0,0,0) ,B(1,0,0) ,Q1,2,0) ,D(0,2,0) ,P(0,0,1)，所以E1, 1,T1TTTTEF= , 0 , 0 ,AP=(0,0,1) ,AD=(0,2,0) ,DC=(1,0,0) ,AB=(1,0,0)(1)因为EF= ?AB所以EF/AB即EF/AB又平面PAB EFF/平面PAB所以EF/平面PAB(2)因为AP- DC=(0,0,1) (1,0,0) = 0 ,AD-DC=(0,2,0)(1,0,0)=0,所以TPL DC又因为APAAD= A, AP_平面PAD AD_平面PAD所以DCL平面PAD因为Dy平面P

7、DC所以平面PADL平面PDCADL DC即API DC ADL DC6立体几何中的探索性问题此类试题一般以解答题形式呈现，常涉及线面平行与垂直位置关系的探索或空间角的所以POL平面ABCD因为C皐平面ABCD所以POL CO因为AC= CD所以COLAD如图，建立空间直角坐标系Qxyz.计算问题，是高考命题的热点，一般有两种考查形式:(1)根据条件作出判断，再进一步论证；(2)利用空间向量，先假设存在点的坐标，再根据条件判断该点的坐标是否存在.(2016 北京高考)如图 3，在四棱锥RABCDK平面PADL平面ABCD PAL PD PA=PD AB AD AB=1,AD=2,AC= CD=

8、5.(1)求证：PD丄平面PAB求直线PB与平面PCD所成角的正弦值;在棱PA上是否存在点M使得BMF平面说明理由.解(1)证明：因为平面PA丄平面ABCD ABL ADPD又因为PALPD所以PDL平面PAB(2)取AD的中点Q连接PO CO因为PA= PD所以POLAD平面PAD平面PADL平面ABCD图 3又因为7所以直线PB与平面PCD所成角的正弦值为（3）设M是棱PA上一点，则存在入 0,1使得皿入AP因此点M0,1 入，入），BMI= （ 1,入，入）.因为BM/平面PCD所以要使BM/平面PCD当且仅当BM门=0,即（1,入，入） （1 ,2,2） = 0.1AM1解得“ 4.所

9、以在棱PA上存在点M使得平面PCD此时AP= 4 规律方法解立体几何中探索性问题的方法1 通常假设题中的数学对象存在或结论成立 ，然后在这个前提下进行逻辑推理；2 若能推导出与条件吻合的数据或事实，说明假设成立，即存在，并可进一步证明；若推导出与条件或实际情况相矛盾的结论，则说明假设不成立，即不存在易错警示：探索线段上是否存在点时，注意三点共线条件的应用跟踪训练（2017 湖南五市十校联考）如图 4,在四棱锥RABCD中，PAL平面ABCDAD/ BC ADLCD且AD= CD=2晶BC=4 羽,PA=2.由题意得，A(0,1,0),B(1,1,0),C(2,0,0),D(0，- 1,0) ,

10、P(0,0,1)设平面PCD勺法向量为n= （x,y,z），贝U InPA 0,心 0,yz= 0,z= 0.令z= 2,贝 yx= 1,y= 2.所以n= (1 , 2,2).又PB=(1,1 , 1)，所以 cosn,PBnPB_也|n|PE|38设BM与平面MAC勺夹角为0,贝Usinh0=BM(1)求证：AB丄PC (2)在线段 PD 上，是否存在一点解(1)证明：如图，由已知得四边形ABGDI直角梯形,由AD= GD=2 2,BG=4 2 ,可得ABC是等腰直角三角形，即ABL AC因为PAL平面ABGD所以PA! AB又PAH AG= A,所以ABL平面PAG所以ABL PC法一：

11、(作图法)过点M作MNLAD交AD于点N,则MN/ PA因为PAL平面ABGD过点M作MGL AG交AC于点G连接NG则/MGN1二面角MAGD的平面角.若/MGPN45,贝U NG= MN又AN=2NG=2MN所以MN=1,所以MNPA所以M是PD的中点.1在三棱锥MABC中,可得VMABG=ABG-MN设点B到平面MAC勺距离是h,贝UVB-MAM3&MAG-h,所以SXABG- MN=SXMAG-h,解得h= 22.在 RtBMN中 ,可得BM=3 3.求BM与平面MA陕角的正弦值,图 4M使得二面角MAGD的大小为 45,如果存在,如果不存在，所以MNL平面ABGD9法二：（向

12、量法）建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0,0,0） ,C（22,2 2,0）,D(0,22, 0)，只 0,0,2), 022, - 2 2, 0) ,PA (0,22, 2) , AO (22, 2 2, 0).设PM= t PD(0vtv1)，则点M的坐标为(0,2 2t,2 2t)，所以AM=(0,2 2t,2 2t).设平面MAC勺法向量是n= （x,y,z），则得器+2 问g 寸 2ty+ (2 2t)z= 0又m （0,0,1）是平面ACM个法向量,解得t= 2,即点M是线段PD的中点.此时平面MAC勺一个法向量可取n= (1 , 1,2) ,BM=( 2 2, 3 2, 1)

13、.平面图形的翻折冋题（答题模板）将平面图形折叠成空间几何体，并以此为载体考查点、线、面间的位置关系及有关几何量的计算是近年高考的热点，注重考查空间想象能力、知识迁移能力和转化思想.试题以解 答题为主要呈现形式，中档难度.卜;：（本小题满分 12 分）（2016 全国卷H）如图 5,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O, AB=5,AC=6,点E,F分别在AD CD上,AE= d5,EF交BD于点H.将厶DEF沿EFn心 0n AM=0,所以|cosm|m- n| 而n=cos 45设BM与平面MA（所成的角为0，则 sin0 =|cosno,BM2；6I題型，则可取n=10折到D EF的位置

14、，OD=i0.11图 5(1)证明：D H丄平面ABCD;求二面角BD A-C的正弦值.审题指导题眼挖掘关键信息由菱形ABCD及AE= CF,可知DH是等腰三角形DEF底边上的高线，而cDHL EF是翻折不变量，再逆用勾股定理可得D H丄OH从而得出结论利用(1)的结果，可得相交于一点且两两垂直的三条直线，为建立空间直角坐标系，利用向量法求解二面角的正弦值创造了条件规范解答(1)证明：由已知得ACL BD AD= CD故AC/ EF因为EFLHD从而EFLD H.由AB=5,AC=6 得DO=BO= JABA6=4.,mOH AE由EF/AC得DO=荷 4.itT JB所以OHk1,DH=D*

15、3.产Y)八、于是D Hf+OH=32+ 12= 10=D O,故DHLOH又D H EF,而OHD EF=H,所以D H丄平面ABCD(2)如图，以H为坐标原点，iHF的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系A 3, 1,0) ,B(0， 5,0) ,C(3 , 1,0) ,D(0,0,3)又由AE= CF得AE CFAD CD5 分Hxyz,则 ”0,0,0)12AB=(3 , 4,0) ,AC=(6,0,0),AD= (3,1,3)设m= (x1,y1,Z1)是平面ABD的法向量，贝U133xi- 4yi= 0,即3xi+yi+ 3zi= 0,所以可取m=(4,3, -5).设n= (X2

16、,y2,Z2)是平面ACD的法向量，则6X2= 0,即3X2+y2+ 3Z2= 0,所以可取n= (0，- 3,1).阅卷者说易错点防范措施弄不清翻折变量与可动手操作、加强训练、及时总结，明确在同一平面内的性质不变量不发生变化，不在冋一平面上的性质可能会发生变化应明确：在同一个平面上的性质不发生变化，不在同一个平面.解决这类问题就是要据此研究翻折以后的空间图形中的线面关系(2018 合肥二检)如图 6(1)所示，矩形ABCD中,AB=1,AD= 2,点E为ADnAC=0,AO= 0,于是 cosm,nnrn-14Im|n厂 50X107.515.sinn2 空25因此二面角B-D A-C的正弦

17、值是2 952512 分规律方法对于翻折问题， 上的性质可能会发生变化和几何量的度量值，这是解决翻折问题的主要方法跟踪训练中点，沿BE将ABE折起至PBE如图BE上.(1)146(2)所示，点P在平面BCDE上的射影O落在【导学号：79140260】(1)求证：BP丄CE求二面角BPGD的余弦值.15解证明：点P在平面BCDEt的射影O落在BE上, POL平面BCDETCE平面BCDE-POL CE易知BEL CE BEH PO QCEL平面PBE而BP平面PBEBPL CE设平面PCD的法向量为n1= (X1,y1,Z1),令Z2=., 2，可得n2= (2,0 , . 2),n1n233二面角BPGD为钝二面角，二面角BPG