(完整版)导数讲义(学生新版)(2)

1、1 / 8、导数的概念函数 y=f(x),如果自变量 x 在 x0处有增量 x，那么函数 y 相应地有增量y=f(Xo+ x ) -f (x。)，比值 丄叫做函数 y=f (x)在 X。到 Xo+ x 之间的平均变x化率，即丄=x) f(x。)。如果当 X。时，有极限，我们就说函XXX数y=f(x)在点Xo处可导， 并把这个极限叫做f (x在点 Xo处的导数，记作 f(X。)或 y丨X X。f (x0)=limX。1A . 2k B . k C .丄kD .以上都不是2变式训练： 设函数f(x)在点x0处可导，试求下列各极限的值.3若f(X。)2，则limf(X k)仏)=?k 02k二、导数

2、的几何意义函数 y=f (x)在点 x0处的导数的几何意义是曲线 y=f (x)在点 p (x0, f (x0) 处的切线的斜率。也就是说，曲线 y=f (x)在点 p(x0，f (x0)处的切线的 斜率是 f(X。)。切线方程为 y-yo=fz(x。) (x-x。)。三、导数的运算1 .基本函数的导数公式：C 0;( C 为常数)导数f (XoX)f (Xo)- 。X例、 若 lim血X。X)f(X。)Xk，则 limX。f(x。2 x) f(x。)等于XX 22 / 83(sin x) cosx;4(cosx) si nx;5(ex) ex；6(ax) axlna;7In x -;1 lo

3、gae.x2、导数的四则运算法则:f(x)g(x)f (x)g(x)f(x)g(x)f (x)g(x)f(x)g(x) f (x)g(x) f(x)g(x)f(x) f (x)g(x) f(x)g(x) g(x) g2(x)练习: 求下列函数的导数：（1）y2xx 2；（2）y、x ln x；（3）y.xsin x；（4）yxln xo（5）ysin x（6）y2xo(1)f(x)( 2)f(x)4x（3）f(x),x(4)f (x) sin x(5)f (x)cosx（6）f(x)3x（7）f(x) ex(8)f (x) log2x(9)f (x) ln x（10）f(x)1（11）y31c

4、osxx4 4(12）y产（13)ylg xxe（14）y3x cosx1 x习题：求下列函数的导数:（8分钟独立完成）Xnn 1nxI ogaX3 / 8xln x3、复合函数求导:如果函数（x）在点 x 处可导，函数 f （u）在点 u=（x）处可导，则复合函4 / 8数yf ( u) =f (x)在点 x 处也可导，并且常考题型：类型一、求导数相关问题例 1、若曲线 y 二 ex上点 P 处的切线平行于直线 2X+ y+ 1 二 0,则点 P 的坐标是例 2、曲线 y = xexT 在点(1 , 1)处切线的斜率等于()A. 2e B . eC. 2 D . 1例 3、2014 新课标全

5、国卷U设曲线 y = ax- ln( x + 1)在点(0 , 0)处的切线方 程为 y = 2x，则 a=()A. 0 B . 1 C . 2 D . 3类型二、求切线方程(一) 已知切点坐标，求切线方程例 1.曲线y x33x21在点(1, 1)处的切线方程(二) 已知切点斜率，求切线方程例 2.与直线2x y 4 0的平行的抛物线y x2的切线方程(三) 已知曲线外一点，求切线方程例 3.求过点(2,0)且与曲线y丄相切的直线方程.x(四)已知曲线上一点，求过该点的切线方程例 4.求过曲线y x32x上的点(1, 1)的切线方程.变式训练：1、 2014 广东卷曲线 y 二一 5ex+

6、3 在点(0，- 2)处的切线方程为 _ .b2、2014 江苏卷在平面直角坐标系 xOy 中，若曲线 y = ax2+-(a, b 为常数)x(例、求下列函数的导数(1) y=1 2xcos x 练习：求下列函数的导数(1)y=(3x 1)f (x) / =f (x)(x)(2) y=ln ( x+ . 1 x2)(2)y=sin (3x+)45 / 8过点 P(2 , - 5)，且该曲线在点 P 处的切线与直线 7x + 2y+ 3= 0 平行，则 a+ b的值是_.23、与直线x y 1= 0 平行,且与曲线 y= 1相切的直线方程3类型三、求单调区间及极值、最值考点一求不含参数的函数的

7、单调区间例 1.求函数 y=x2(1 x)3的单调区间.变式训练：1. 函数y xlnx的单调递减区间是()A. (e1,) B. ( ,e1)C. (0,e1)D. (e,)2. (05 年广东高考题)函数f (x) x33x21是减函数的区间为()(A)(2,)(B)(,2)(C)(,0)(D)(0,2)考点二 求含参数的函数的单调区间1考例 1、已知函数 f(x) - x2ml nx (m 1)x , m R .当 m 0 时，讨论函数f (x)的单调性.例 2、设函数 f(x)=2x33(a 1)x21,其中 a 1.求 f(x)的单调区间；例 3、设函数 f(x)=ax (a+1)l

8、n( x+1)，其中 a -1 ,求 f (x)的单调区间。变式训练：x 一 11、2014 山东卷设函数 f (x) = aln x+ ,其中 a 为常数.x十 I(1) 若 a= 0,求曲线 y= f(x)在点(1 , f(1)处的切线方程；(2) 讨论函数 f(x)的单调性.2、【2014 安徽卷】设函数 f (x) = 1 + (1 + a)x x2 x3,其中 a0.(1)讨论 f(x)在其定义域上的单调性；考点三：利用单调区间求未知参数取值范围：例 1、2014 新课标全国卷U若函数 f (x) = kx ln x 在区间(1 , +)单调递增，贝 U k 的取值范围是()6 /

9、8A. (x,2 B.(x,1C. 2, +x) D.1, +x)例 2、2014 全国新课标卷I已知函数 f (x) = ax3 3x2+ 1,若 f (x)存在唯一的零点 xo,且 x0,则 a 的取值范围是()A. (2,+x)B.(1,+x)C. (x,2) D.(x,1)例 3、2014 辽宁卷当 x 2, 1时，不等式 ax3 x2+ 4x + 30 恒成立， 则实数 a 的取值范围是()9A. 5, 3 B.6,8C.6,2D 4,3变式训练：(山东省烟台市 2011 届高三上学期期末考试试题(数学文)已知函数f (x) ax3bx2的图像经过点M(1,4)，曲线在点 M 处的切

10、线恰好与直线x 9y 0垂直.(I)求实数a,b的值；(U)若函数f (x)在区间m, m 1上单调递增，求 m 的取值范围.考点四：结合单调性求极值问题求函数的极值的步骤：(1)确定函数的定义域，求导数f(x).求方程f(x)0的根.用函数的导数为 0 的点，顺次将函数的定义域分成若干小开区间，并列成表 格.检查f(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号， 那么f(x)在这个根处无极值.注：可导函数y f(x)在xX。处取得极值是 fix。)0的充分不必要条件.例 1、已知函数f(x) 2

11、axb4lnx在x 1与x1处都取得极值.x3(1)求a、b 的值；变式训练：设x 1,x 2是 f x al nx bx x 函数的两个极值点.(1) 试确定常数 a 和 b 的值；7 / 8(2) 试判断x 1，x 2是函数f x的极大值点还是极小值点，并求相应极值.例 2、(06 安徽卷)设函数 f x x3bx2cx(x R)，已知g(x) f (x) f (x)是8 / 8奇函数。(I)求 b、c的值。(U)求g(x)的单调区间与极值。例 3、已知函数f (x) ax3bx2(c 3a 2b)x d的图象如图所示.(I )求c,d的值；(II )若函数f(x)在x 2处的切线方程为3

12、x y 11 0，求函数f(x)的解析式;(III )在(II )的条件下， 函数y f(x)与y的交点，求m的取值范围. R).(1)当 b= 4 时，求 f(x)的极值;变式训练：1、 已知函数f(x) x b的图象与函数g(x) x23x 2的图象相切，记F(x) f(x)g(x).(I)求实数 b 的值及函数F(x)的极值；(U)若关于x的方程F(x) k恰有三个不等的实数根，求实数 k 的取值范围322、 (2011 全国U文 20)已知函数f(x) x3ax (3 6a)x12a4(a R)(I)证明：曲线y f (x)在 x 0 的切线过点(2,2);(U)若f(x)在xxo处取

13、得极小值，xo(1,3),求 a 的取值范围考点五：结合单调性求最值问题求函数在a,b上最值的步骤：(1)求出f(x)在(a,b)上的极值.(2) 求出端点函数值f(a), f(b).(3)比较极值和端点值，确定最大值或最小值. 例1、(2010 年重庆卷)已知函数 f(x) = ax3+ x2+ bx(其中常数 a，b R)，g(x)=f(x) + f (x)是奇函数.(1)求 f(x)的表达式；讨论 g(x)的单调性，并求 g(x)在区间1,2上的最大值与最小值.例 2、设函数 f(x) = ax3+ bx+ c(a 工 0)为奇函数，其图象在点(1，f(1)处的切 线与直线 x 6y 7

14、= 0 垂直，导函数 f (x)的最小值为12.(1)求 a，b，c 的值；求函数 f(x)的单调递增区间，并求函数 f(x)在1,3上的最大值和最小值.1例 4、2014 江西卷已知函数 f(x)=(2)若 f(x)在区间 0，3 上单调递增,1-f (x)5x m9 / 8例 3、已知函数f (x)x2aln x, g(x) (a 1)x ,a 1.2(I )若函数f (x), g(x)在区间1,3上都是单调函数且它们的单调性相同，求实数a的取值范围；(II )若a (1,e(e 2.71828L )，设F(x) f (x) g(x)，求证：当x,x21,a时，不等式| F(xJF(X2)

15、| 1成立.例 4、2014 安徽卷设函数 f(x) = 1+ (1 + a)x-x2 x3，其中 a 0.(1) 讨论 f(x)在其定义域上的单调性；(2) 当 x 0 , 1时，求 f(x)取得最大值和最小值时的 x 的值.四、导数与不等式恒成立问题：可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。两个基本思想解决“恒成立问题”思路 1、mf (x)在 x D 上恒成立mf(x)max思路 2、mf (x)在 x D 上恒成立mf (x)min例 1.设函数f (x)2x33ax23bx 8c在 x1 及x 2 时取得极值.求 a、b 的值；若对于任意的x0,3，都有f(x) c成立, 求 c 的

16、取值范围.例 2、已知函数 fa332.xxx a 132x1,其中a为实数。已知不等式fxx2x a 1对任意a0,都成立，求实数x的取值范围例 3、设函数f xx4ax32x2b, (xR), 其中a,b R。若对于任意的a2,2，不等式f x1在1,1上恒成立，求 b 的取值范围。例 4、若实数 a 0 且 a 2，函数 f x13ax312a 2 x22x1。2(1)证明函数f x在 x 1 处取极值，并求出函数f x的单调区间(2)若在区间0,上至少存在一点X。，使得f X。1，求实数a的取值范围变式训练：1、(2010 辽宁文)已知函数f (x) (a 1)lnx ax21.(I)

17、讨论函数f (x)的单调性；(U)设 a 2，证明：对任意为风(0,)，| f (xj f (x2) | 4 | x1x21.2、已知函数 f (x) = x + 3| x a|( a0).若 f (x)在1,1上的最小值记为 g(a). (1)求 g(a)；证明：当 x 1，1时，恒有 f(x) g( a) + 4.10 / 83、设函数f (x) (x a)2x, a R.11 / 8(I)若 x 1 为函数y f (x)的极值点，求实数 a ；-x32ax23a2x b (0 a 1, b R). 3(I)求函数 f x 的单调区间和极值;存在性问题:(1)对任意x3,3，都有fX g X)成立，求实数c的取值范围;(2)存在x3,3，使fX g X成立，求实数c的取值范围；