2012-2018全国卷圆锥曲线

1、2012-2018全国卷圆锥曲线解答题(理科)1. (2012年全国高考新课标I卷理科第 20题)设抛物线C:x 4. (2015年全国高考新课标I卷理科第 20题)在直角坐标系xOy中，曲线C : y 与直线 y kx a(a 0)交于M,N两点.(I )当k 0时，分别求C在点M和N处的切线方程；(I) y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有 OPM OPN ?说明理由. 2py(p 0)的焦点为F ,准 线为I， A C 已知以F为圆心，FA为半径的圆F交I于B,D两点.(I)若 BFD 90 , ABD的面积为2，求p的值及圆F的方程.(U)若A, B , F三点在同一直线m上，直线

2、n与m平行，且n与C只有一个公共点，求 坐标原点到m,n距离的比值.2. (2013全国高考新课标I卷理科第 20题)已知圆M:(x 1)2 y21，圆N:(x 1)2 y29，动圆P与M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C .(I )求C的方程；(II )l是与圆P,圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A,B两点，当圆P的半径最长时， 求 | AB|.3. (2014年全国高考新课标I卷理科第x220题)已知点A(0, 2)，椭圆E : - 2ab21(a b 0)的离心率为子，F是椭圆的焦点，直线AF的斜率为年，。为坐标原点.(I )求E的方程；(I)设过点A的直线l与E相交于P,Q两

3、点，当 OPQ的面积最大时，求I的方程.5. （2016年全国高考新课标I卷理科第 20题）（本小题满分12分）设圆x7. （2018年全国高考I卷理科第19题）（本小题满分12分）设椭圆C： : y2 1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为2 ,0 .当|与x轴垂直时，求直线 AM的方程；设O为坐标原点，证明：/ OMA / OMB . y2 2x 15 0的圆心为A，直线I过点B（1,0）且与x轴不重合，I交圆A于C,D两点，过B作AC的平行 线交AD于点E .（I）证明|EA |EB为定值，并写出点E的轨迹方程；（II）设点E的轨迹为曲线Ci，直线I交Ci于M,N两

4、点，过B且与 I垂直的直线与圆A交于P,Q两点，求四边形MPNQ面积的 取值范围.2占=1 (a>b>0)，四b2X6. （2017年全国高考I卷理科第20题）（本小题满分12分）已知椭圆C: -2a点 P1 ( 1,1 )，P2 ( 0,1)，P3 ( -1,昼），P4（1,晅2 2中恰有三点在椭圆（1 ）求C的方程；（2）设直线I不经过P2点且与C相交于A，B两点。若直线 P2A与直线P2B的斜率的和为-1,证明：I 过定点.2012-2018全国卷圆锥曲线解答题(参考答案)1. (2012年全国高考新课标I卷理科第 20题)设抛物线C:x2 2py(p 0)的焦点为F ,准

5、线为I， A C 已知以F为圆心，FA为半径的圆F交I于B,D两点.(I)若 BFD 90 , ABD的面积为<2，求p的值及圆F的方程.(U)若A, B , F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求 坐标原点到m,n距离的比值.【解析】(I )由对称性知 BFD是等腰直角三角形，斜边|BD| 2p，点A到准线I的距离d | FA| | FB | ，2p，1由 S ABD 2 |BD| d 4、2 得 p 2 .圆F的方程为x2 (y 1)2 8 .2(U)由对称性设 A(X0 , -) (X0 0)，则 F (0,号).2由点A, B关于点F对称得B( X),

6、p 乂)，从而p2p2X。2p2，所以邛2.3p p因此，直线m:y2 2 x 3p X 3p2又 x2 2pyy存，求导得y'；，从而切点 P(；p，_p).又直线n：y fp_2,33p故坐标原点到直线m,n距离的比值为一匸 3 .p2 <3【考点分析】本小题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识，涉及到简单的面积和点到直 线的距离等基本计算问题，考查推理论证能力、运算求解能力.2. (2013全国高考新课标I卷理科第 20题)已知圆M:(x 1)2 y21，圆N:(x 1)2 y29，动圆P与M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C .(I )求C的方程；(II )1是与圆P

7、,圆M都相切的一条直线，I与曲线C交于A,B两点，当圆P的半径最长时，求 | AB|.【解析】由已知得圆M的圆心为M( 1,0)，半径n 1，圆N的圆心为N(1,0)，半径a 3.设动圆P的圆心为P(x,y)，半径为R .(I )因为圆P与圆M外切且与圆N内切，所以 | PM | | PN | (R r1) (r2 R) r1 r24，且 4 |MN | .由椭圆的定义可知，曲线C是以M,N为左，右焦点，长半轴长为2，短半轴长为的椭圆(左顶点除外)，1 (x2).2 y3(II )对于曲线C上任意一点P(x,y)，由于|PM | |PN| 2R 2 2，所以R 2 .当且仅当圆P的圆心为(2,

8、0)时，R 2 .当圆P的半径最长时，其方程为(x 2)2 y24 .当丨的倾斜角为90时，丨与y轴重合，可得|AB| 2巧.当丨的倾斜角不为90时，由r1 R知I不平行x轴.设丨与x轴的交点为Q，则器R，可求得Q(4,0)，设 I :y k(x 4)，由丨与圆M相切得二1，解得k2y才 1(x2)整理得7x2 8x 8(*)设A(xn yj , B(X2, y2)，则捲，x?是(*)方程的两根.所以花X28-，NX?|ab|,1 k2 |x1 x21 .1 k2、(X1 X2)24%x2于时，由对称性知|AB|号.综上,| AB| 2、3 或 | AB| 号.【考点分析】本小题主要考查直线、

9、圆、椭圆等基础知识，考查推理论证能力、运算求解 能力和方程思想.2 23. (2014年全国高考新课标I卷理科第 20题)已知点A(0, 2)，椭圆E :三 召1(a b 0)a b的离心率为 乜,F是椭圆的焦点，直线AF的斜率为 空1 , O为坐标原点.23(I )求E的方程；(H)设过点A的直线丨与E相交于P,Q两点，当 OPQ的面积最大时，求I的方程.【解析】(I )设F c,0，由条件知又f弓，所以a 2，b22c2 1，故E的方程y4(U)由题意知直线I的斜率存在，设直线I的斜率为k，方程为y kx 2，联立直线与椭圆方程：4ykx1，化简得:(1 4k2)x2216kx 120.1

10、6(4k2 3)0， k设 P(Xi, yi), Q(X2, y2)，则 X16k x x 122 , x1 x22 ，1 4k1 4k PQ 二 J1 k2x-ix24、4k2 31+4 k2，且坐标原点O到直线I的距离为k24.4k2 31+4k22k24 4厂31+4k2'令 t4k2 3(t 0)，则 S OPQ4tt2 4T t 44，当且仅当t4，即t 2时,等号成立，I Sopq故当t 2 即U4k2 3OPQ的面积最大.此时，直线I的方程为y【考点分析】本小题主要考查直线、椭圆、函数和不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识和方程思想.24. (201

11、5年全国高考新课标I卷理科第 20题)在直角坐标系xOy中，曲线C : y 与直线4y kx a(a 0)交于M,N两点.(I )当k 0时，分别求C在点M和N处的切线方程；(n) y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有 OPM OPN ?说明理由.【解析】(I)由题设可得 M(2、a,a),N( 2.a,a)或 M( 2.a,a) , N(.a,a).2 又y = X，故y 在x 2. a处的导数值为、a .24在点(2.a,a)处的切线方程为y a a(x 2. a)，即Jax y a 0 .2y 在x2-、a处的导数值为 a .4在点(2 一a, a)处的切线方程为y a , a(x

12、2. a)，即ax y a 0 .故所求切线方程为、ax y a 0和ax y a 0 .(n)存在符合题意的点p .证明如下：设P(0,b)为符合题意的点，M(Xi,yJ,N(X2,y2)，直线PM , PN的斜率分别为 沐.将y kx a代入C的方程，消去y整理得x2 4kx 4a 0，则xi, X2是该方程的两根.故 Xi X2 4k,xiX24a.从而& k2 U 3X-Ix22kXrX2 (a b)(x.| x2)x(x2k(a b)aa时，有ki k20,则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补,故 OPM OPN .所以点P(0, a)符合题意.【考点分析】本小题主要考查

13、直线、抛物线和导数的几何意义等基础知识，考查推理论证 能力、运算求解能力和方程思想.y2 2x 150 的5. (2016年全国高考新课标I卷理科第 20题)(本小题满分12分)设圆x2D圆心为A，直线丨过点B(0,1)且与x轴不重合，丨交圆A于C,D两 点，过B作AC的平行线交AD于点E .(I) 证明|ea |eb为定值，并写出点E的轨迹方程；(II) 设点E的轨迹为曲线G，直线丨交G于M , N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点，求四边形MPNQ面积的 取值范围.故 EBD ACD ADC .所以 EBED故EAEBEAEDAD又圆A标准方程为X 1 2 y216 ,从而AD

14、4，所以 EA EB 4由题设得 A 1,0 ,B 1,0 , AB由椭圆的定义可得点E的轨迹方程为(y0)；(II)（法一）当丨与x轴不垂直时，设i：yM 为， ,N X22y2 X4k X2y31得 4k2 31X2 8k2X4k212X1X28k24k23 'X1gX24k2124k2 3所以MN.rvX1 X212 k2 14k2 31过点B 1,0且与l垂直的直线m: y -k2A到m的距离为，1 k2，所以円伞启24k2 3k2 1故四边形MPNQ的面积为S1一 MN | PQ2121 4k1 3当丨与x轴不垂直时，四边形MPNQ的面积的取值范围为12,8乜当l与X轴垂直时

15、，其方程为MNPQ 8四边形MPNQ的面积12.综上，四边形MPNQ的面积的取值范围为12,8.3 .X2 y2(法二)G :1 ;设 l : X my 1，43因为PQ丄l，设PQ: y m X 1，联立l与椭圆Gx my 1x2 y2 得 3m2 4 y2 6my 9 0; 14336m2 36 3m2 4则 IMNI J m |yM 小1 m3m2 412 m2 13m2 4圆心a到pq距离d1 m111丿2mi,【考点分析】主要考查直线与圆的位置关系、椭圆的定义、韦达定理、弦长公式等解析 几何常用知识，考查推理论证能力、运算求解能力和方程思想.2X已知椭圆C : -2ay233b&qu

16、ot;=1 （a>b>0），四点 P1（ 1,1），P2（心 P3（-二），P4（X 云）中恰有三点在椭圆C上.(1 )求C的方程;(2)设直线I不经过P2点且与C相交于A, B两点。若直线 P2A与直线P2B的斜率的和为-,证明：I过定点.【考点】：圆锥曲线。【思路】：(1)根据椭圆的对称性可以排除P1 (1,1 )。(2)联立方程即可，此时有两种方法联立，第一种,假设直线AB的方程，第二种假设直线P2A 和 P2B。【解析】:(1)根据椭圆对称性可得，P1 ( 1,1) P4(1,彳)不可能同时在椭圆上,P3（-1，当），P4（ 1,当）2 2定同时在椭圆上，因此可得椭圆经过p

17、2 （ 0,1 ），P3(-，)，P4 ( 1，)，代入椭圆方程可得:2 213b 21 a 2，故而可得椭圆的标准方程为:a 42Xy 1 °414 12k1 4k2y2y141k214k21，化简可得kABxx8 1k8kAB22 “41k14k 1112，此时满足k -。1 2k2时，AB两点重合，不合题意。ykx 1y 1 k x 1.联立 x222 24k 1 xy 148kx 0，假设 A x1,y1 , B x2, y2 此时可得:8k4k211 4k24k2128 1 k 14 1kB2，一4 1 k 14 1 k 1，此时可求得直线的斜率为:121 18k时，直线方程为：y2 x22 1 2k 4k 1字，即y4k 14k2 4k 1 x，当2kx 2时，y1，因此直线恒过定点 2, 119.答案：(1)y -(x 2) ；( 2)略.2解答:1(1)如图所示，将x 1代入椭圆方程得2