2018版高中数学小问题集中营专题5.2疑难点与球体有关的组合体问题

1、问题2疑难点 与球体有关的组合体问题一、问题的提出有球体有关的组合体问题是每年必考的内容，几何体的内切球，外接球问题都是高考中的热点，也是难点，在学习中必须对重、难点进行突破二、问题的探源1 .正方体的内切球a球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为ri=，过在一个平面上的四个切点作截面如图（1）.2 .球与正方体的各条棱相切球与正方体的各条棱相切于各棱的中点，过球心作正方体的对角面有2=亠|，如图 .3 .长方体的外接球长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直1 径，若长方体过同一顶点的三条棱长为a,b,c,则过球心作

2、长方体的对角面有球的半径为3=空,a2+b2+c2,如图（3）.正方体棱长a与外接球半径R的关系为 2R=3a.5.正四面体的外接球正四面体的棱长a与外接球半径R的关系为 2R=a.三、问题的佐证【典型例题】在三棱锥S - ABC中，底面ABC是直角三角形，其斜边AB = 4,SC_平面ABC,且SC =3，则三棱锥的外接球的表面积为（）A.25二 B.2OC.16二 D.13：【答案】A【解析】根据已知，可将三棱锥补成一个长方体，如下图:则三棱锥的外接球就是这个长方体的外接球， 由于AB =4, SC = 3，且ABC是直角三角形,面ABC，.长方体的对角线长为AC2BC2SC AB2SC2

3、-.4232-5，三棱锥的外接552球的半径R， 三棱锥的外接球的表面积为425二，故选24A.考向 1 球的内接正方体问题【例 1】已知正方体棱长为4，则正方体外接球的体积为【答案】32.3n【解析】设外接球半径为r，2424242-4,3，r =2-、3.V二上3=32込n.考向 2 球内切于正方体问题【例 2】将棱长为 2 的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为B.于【答案】A【解析】选止由題意純此球罡正方体的内切球，根据其几何特征知，此球的直径与正方体的複长罡相等的，故可得球的直径为2,故半径为1,其体积是考向 3 球的内接正四面体问题【例 3】正四面体的棱长为，其外接的体积

4、与内切球的体积之比是【答案】27【解析】正四面体的棱长为，其外接球的半径为，其内切球的半径为所以412sc_平3故填 27.考向 4.球的内接圆锥问题【例 4】球的一个内接圆锥满足：球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，则该圆锥的体积和此球体积的比值为_【解析】如图所示，设球半径为r,则球心到该圆锥底面的距离是43球体积为 gnr,该圆锥的体积和此球体积的比值为38n932.答案:考向 5球的内接直棱柱问题【例 5】设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a,顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）2A. naD72B3na11C.亍nD. 5na2解析：选B由题意知该三棱柱为正三棱拄且侧棱与

5、底面边长相等，均为瓦如團，戸为三棱林上底面的中心，。为球卜，易知“u 訐尸力加匕孑町所以球的半径创满足用=佶扌+寸=石臨r2,于是圆锥的底面半径为该圆锥的体积为xnX冗3 - 8-X四、问题的解决5与球体有关的切、接问题要注意，一般要过球心并计算半径即可得出球体的表面积和体积。1三棱锥P - ABC中，PC_平面ABC，且AB二BC = CA二PC = 2，则该三棱锥的外接球的表面积2= 4sin60一3又PC_平面ABC PC _ CM2 2 216PM =PC CM =43平面 ABD 丄平面 BCD,求三棱锥A-BCD外接球的表面积 _ .【答案】16：【解析】取BD的中点E，连接AE、

6、CE，取CE的三等分点为O，使得CO = 2OE，则O为等边三角形A. 13B.4二 C.16二3D.28二3【答案】D【解析】作ABC的外接圆，过点C 作外接圆的直径CM 连接 PM 贝 U PM 为三棱锥 P-ABC 的外接球的直径,二28，即PM2二2R23AB二AD& BD =2-、3,底面BCD为等边三角形，且是（ ）如图所示.s =4 二R2二亜，故选D.BCD的中心，由于平面 ABD _平面 BCD,且平面ABD 平面BCD = BD,CE BD,则平面CE -7平面ABD，由于AB2AD2=BD2,. ABD为直角三角形，E为.：ABD的外心， 贝U OA = OB=：

7、OD,又OB=OC=OD,O为三棱锥A-BCD外接球的球心，球的半径0C =?2-、3=2，三棱锥322A - BCD外接球的表面积为S球=4二2 =16二.3.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为12，则这个球的表面积为【答案】6二【解析】设正方体的樓长为厂贝证方体的表面积为2 J正方体的表面积为12- 2 = 12,解得迈一个正方体的所有顶点在-仙上述方体时对角线等于球的直径，即屁5 R普4 .刘徽(约公元 225 年一 295 年)是魏晋时期伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一，他的杰作九章算术注和海岛算经是中国宝贵的古代数学遗产 解立方，得两壍堵.斜解壍堵

8、，其一为阳马，一为鳖臑.”刘徽注：“此术臑者，背节也，或曰半阳马, 其形有似鳖肘，故以名云.”其实这里所谓的“鳖臑(biendo)”，就是在对长方体进行分割时所产生的四个面都为直角三角形的三棱锥 .如图，在三棱锥A-BCD中，AB垂直于平面BCD，AC垂直于CD，且AB = BC = CD =1，则三棱锥A -BCD的外接球的球面面积为【答案】3：【解析】由条件知道AB垂直于平面BCD，AC垂直于CD，故 AB 垂直于CD，从而得到CD垂直于面ABC故三角形ABD和三角形ACD都是直角三角形，则外接球球心在AD的中点上，记作 O 点,BDhJ2, ADf；3,R3.表面积是4二R2=4二?3=

9、3；24故结果为：3二.九章算术商功中有这样一段话：斜则球的表面积为45 .点P是底边长为 2 3,高为 2 的正三棱柱表面上的动点，MN是该棱柱内切球的一条直径，则PMPN的取值范围是（)A. 0,2B.0,3C. 0,4D. 2,2【答案】C【解析】选C由题意知内切球的半径为b设球心为 5 则而页二（西+ 而八（两+ 而）=POPO*+av=|p5|=-i,且 iwaiw 詰；而兩血4.【方法结论】解决与球有关的切、接问题的方法（1）一般要过球心及多面体中的特殊点或过线作截面将空间问题转化为平面问题，从而寻找几何体各元素之 间的关系.（2）若球面上四点P, A,B, C中PA PB PC两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方 体确定直径解决外接问题【技能方法