(浙江专版)高中数学复习课(三)平面向量学案新人教A版必修4

1、1复习课(三)平面向量1.题型为选择题和填空题. 主要考查向量的线性运算及对向量有关概念的理解，常与向量共线和平面向量基本定理及数量积运算交汇命题.2.向量的加法遵循三角形法则和平行四边形法则，减法可以转化为加法进行运算，向量的加减法满足交换律、结合律，数乘运算满足结合律、分配律实数运算中的去括号、移项、 合并同类项等变形方向在向量的线性运算中都可以使用.uujuruuuuLuir uuuruujur典例(北京高考)在厶ABC中，点M N满足AM= 2MC,BN=NC.若MN=uuiruuirAB+yAC， 贝U x=;y=uuuu uuuuuuiur2uuur解析 AM :=2MC,AM=3

2、AC.UUIT UULTUULU1uuiruuur/BN=NC,.AN=J(AB+AC),uuuruuuruuuur1uur iuuir2uuur-MN=ANAM=2(AB+，AC) 3AC1unriuuir=2AB6AC.uuuuruuuruur又MN=xAB+yAC11x=2，y=6. 1答案216类题通法 向量线性运算的基本原则向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算向量的线性运算的结果仍是一个向量，因此，对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意向量的大小和方向两个方面. 题组训练1若A(3 , 6),巳5,2) , Q6 ,y)三点共线，则y=()A. 13B.13C. 9D.

3、9uiuruur解析：选 DAB= ( 8,8),AC=(3 ,y+6)uuir uuur AB/AC, 8(y+ 6) 24= 0.常考点一平面向量的概念及线性运算2 y =- 9.uuu2LULTuuiruuj2.设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外, |BC| = 16, |AB+AC| = |AB-uuuruuuuAC| , 则 |AM| =()A. 8B. 4C. 2D. 1uuirUlUT解析斤：选 C 由|BC|2=16,得 |BC| = 4.uuur uuirUlUUULTuuirIAB+AC| = |ABAC| = |BC| = 4,uur uuirLULLTIAB+AC

4、| = 2|AM| ,uuuu-1AM| = 2.uuu uuu UUU3OAOB3 .已知点O A B不在同一条直线上，点P为该平面上一点，且0P=-2-则()A.点P在线段AB上B.点P在线段AB的反向延长线上C.点P在线段AB的延长线上D.点P不在直线AB上uuu uuu uuu解析：选 B 由于 2OP= 3OAOB,uuu uuu uuu uuu uuur uuu- 2OP 2OA=OAOB，即 2AP=BA,uuiriuuu-AP=BA，则点P在线段AB的反向延长线上.平面向量的数量积1题型既有选择题、填空题，又有解答题，主要考查数量积运算、向量的垂直等问题， 常与平面几何、三角函

5、数、解析几何等知识交汇命题.2.解决此类问题要掌握平面向量数量积的两种求法：一是根据数量积的定义，即b=|a|b|cosB,二是利用坐标运算，即ab=X1X2+yiy2；同时还要掌握利用数量积求向量的夹角、求向量的长度和判断两个向量垂直的方法.典例(1)(福建高考)设a= (1,2) ,b= (1,1) ,c=a+kb.若b丄 c,则实数k的值等于( )35A，-2B-3常考点二353C.3D.24A.20B. 15C. 9D. 6(2)(四川高考)设四边形ABCD为平行四边形,UULUT uuuruuirUULUTLUUUT=3MC,DN= 2NC，贝 UAMNM=(UULTuuiruuuu

6、|AB| = 6, |AD| = 4.若点MN满足BM解析(1)c=a+kb= (1 +k,2+k),又bc,所以 1x(1 +k) + 1x(2 +k) = 0,解得如图所示，由题设知：UUUUTunrUUUU UULT3UULTAM=AB+BM=AB+ 4AD,UUUUT UULT UUUU1UULT1UULT NM=NCMC=-AB -AD,34UUUUUUU UUL3UUAM -NM=AB+4AD1UULT1UULT3AB- 4AD1UULT3UULT1UULT=31AB|2-押AD|2+ 4ABUULT1UULTAD-4ABUULTAD=3x36-3x16=9.答案(1)A(2)C类

7、题通法(1)数量积的计算通常有三种方法：数量积的定义，坐标运算，数量积的几何意义；可以利用数量积求向量的模和夹角，向量要分解成题中已知向量的模和夹角进行计算.题组训练1 .已知a+b+c= 0, |a| = 2, |b| = 3, |c| = 19，则向量a与b的夹角为()A. 30B. 45C.60D.以上都不对解析：选 Ca+b+c= 0, c= (a+b),2 2 2 2 2 c= (a+b)，即 |c| = |a| + |b| + 2|a|b|cos a,b,19 = 4+ 9+ 12cosa,b 1cosa,b= 2.又0wa,b=60.UULT UULT UULT UULT2.在厶

8、ABC中 ,AB=4, /ABC=30 ,D是边BC上的一点，且ADAB=ADAC,UULTUULT则ADAB的值为()35B. 4C. 8D. 4umr uuiruuur uuir uuur umr umruuur uuu解析：选 D 由ADAB=ADAC，得AD(ABAC) = 0，即ADCB=umr uuu0，所以AD丄CB，即ACLCB又AB=4，/ABG30 ，所以AD= ABsin 30 =2，/BADuuruuur1=60,所以ADAB=AD- AB-cosZBAD=2x4 迄=4.3.已知向量a,b满足|a| = |b| = 2,a与b的夹角为 60,则b在a方向上的投影是解析

9、：T|a| = |b| = 2,a与b的夹角为 60,二b在a方向上的投影是|b|cos 60 =1.答案：1uuur uuur4在平行四边形ABCD中,AD=1，/BAD=60,E为CD的中点若ACBE= 1,则AB的长为_解析 :设|uiurAB|=x,x 0 ,则uuurABuuirAD=1uuurqx.又ACuuurBEunr=(AD+uuuruuur1uuu12111AB)AD 2AB2 .=1 尹 +4x=1, 解得x= 2，即AB的长为勺答案：平面向量与三角函数的综合问题1题目以解答题为主.主要包括向量与三角函数化简、求值与证明的结合，向量与三角函数的图象与性质的结合等几个方面此

10、类题目所涉及向量的知识往往是数量积的运算，所 研究的问题主要是讨论三角函数的图象与性质.2.解决此类问题，首先要根据向量的运算性质将向量问题转化为三角函数问题，然后利用三角公式进行恒等变换，转化为题目中所要求的问题.典例（广东高考）在平面直角坐标系xOy中, 已知向量m=孑， ,n=（sinx,ncosx),x 0, .(1) 若m丄n,求 tanx的值；n(2) 若m与n的夹角为，求x的值.解(1)若mLn,则mvn= 0.A. 06由向量数量积的坐标公式得sinx-cosx= 0,/tanx= 1.n(2) m 与 n 的夹角为,. nsinx4n又Tx0,12 -类题通法在平面向量与三角

11、函数的综合问题中，一方面用平面向量的语言表述三角函数中的问题,如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系，利用向量模表述三角函数之间的 关系等；另一方面可以利用三角函数的知识解决平面向量问题，在解决此类问题的过程中，只要根据题目的具体要求，在向量和三角函数之间建立起联系，就可以根据向量或者三角函 数的知识解决问题.题组训练11 .设a= (sinx,1)，b= ，cosx，且a/b，则锐角x为()n代亍nB. TnC.百nD12解析：选 B 因为a/b，所以 sin1xcosx=0,所以 sin 2x= 1，又x为锐角，所以 02x2 成立的x的取值范围.8解:(1) /?(x) =a

12、(a+b) =aa+a - b2 2 2=sinx+ cosx+ sinxcosx+ cosx1 1=1 + qsin 2x+ 2(cos 2x+ 1)二?(x)的最大值为 2 H，最小正周期T= =n.使?(x) 3 成立的x的取值范围是n3nx kn gWxwkn+ ,kZ8 8回i口验收特训1_uuu uuuuuu uuu1设P, Q是线段AB的三等分点，若OA=a,OB=b,则OP+OQ=()A.a+bB. ab1C. 2(a+b)D.(a+b)解析：选 A 如图，uuu UUU uur uuu UUU UUUOP=OA+AP,OQ=OB+BQ,UUUT UUU AP=BQ,uuu u

13、uu uuu uuuOP+OQ=OA+OB=a+b.2 .已知向量a,b满足ab= 0, |a| = 1, |b| = 2,则 |ab| =()A. 0B. 1C. 2D. 5解析：选 D 因为 |ab|2=a2 2ab+b2= 1 0+ 22= 5,所以 |ab| = , 5，故选 D.3.若平面向量a= ( 1,2)与b的夹角是 180,且|b| = 3 . 5,则b的坐标为()A. (3 , 6)B. ( 3,6)=2 +#sinc n2x+433由(1)知?(x)? 2+n32x+匚nn2x+0? 2knW2x+ W2kn447t+ n?kn 仝xwkn +3n8(kZ).9C. (6

14、 , 3)D. ( 6,3)解析：选 A 由题意设b=Xa=( 一入，2入)(入v0)，而|b| = 3 5，则.入2+ 4入2= 3 5,所以X= 3,b= (3 , 6).4.已知|a| = 1, |b| = ,2,且a丄（ab），则向量a与向量b的夹角为（）nA. 6nB.壬nC.T2nD. 32 2解析：选 BT a丄(ab)，二a(ab) =aab= 0,二ab=a, |a| = 1, |b| = 2, cosa,b= |暮|售=|a b| =-2,-向量a与向量b的夹角为-4，故选 B.uuir uuuuiruur5在ABC中, (BC+BA)AC= |AC|，则ABC的形状一定是

15、()A.等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形uuiruuuuuuruuir2uuruuuruuuuuur解析：选C 由(BC+BA)AC= |AC|，得AC(BC+BAAC) = 0，即uuuruuur uuuuuuuuuruuuuuuruuuAC(BC+BA+CA)= 0,.2ACBA= 0,.AC _LBA,A=90 .故选 C.6.已知平面向量a,b,c满足|a| = 1, |b| = 2 , |c| = 3,且a,b,c两两所成的角相等，则|a+b+c|等于（)A. 6 或 3C. 2B. 6 或 2D. 6解析：选 A/a,b, c两两所成的角相等，这个角为 0或

16、 120.当夹角为 0 时，|a+b+c| = |a| + |b| + |c| = 1+ 2+ 3 = 6,排除 C；当夹角为 120 时，1 1ab=|a|b|cos 120=1x2x ，=1,bc=|b|c|cos 120=2x3x -=133,ca=|c|a|cos 120 =3x1x ,2 2 2 2|a+b+c|=a+b+c+2(ab+bc+ca)2223=1+2+3+2132=3,-1a+b+c| = -：.3.|a+b+c| = 6 或.3.7已知向量a= ( 1,3) ,b= (1 ,t)，若(a 2b)丄a,则 |b| =_ .解析：/a= ( 1,3) ,b= (1 ,t)

17、,a 2b= ( 3,3 2t).T(a 2b)丄a,(a 2b)a=0,即(一 1)x( 3) + 3(3 2t) = 0,即t= 2,b= (1,2) ,|b| = . 12+ 22= 5.10答案：52n&已知平面向量a与b的夹角等于,如果|a| = 2 , |b| = 3,那么|2a 3b| =_ .解析：222222n2|2a3b|=(2a3b)=4a12ab+9b=4X2 12X2X3Xcosp +9X33133, |2a 3b| = .133.答案：133. 29 .已知|a| = 2|b|丰0,且关于x的方程x+ |a|x+ab= 0 有实根，则a与b的夹角的 取值范围

18、是_ .解析：由于|a| = 2|b|丰0,且关于x的方程x2+ |a|x+ab= 0 有实根，则|a|2 4ab0.12ab41 a|1n设向量a与b的夹角为B,贝ycose=W=-, 0 T,n|a|b|1221 a|n答案：y,n10.已知 |a|= 4, |b|= 3, (2a 3b)(2a+b) = 61.(1) 求a与b的夹角0;求|a+b|.解：(1)v(2a 3b)(2a+b) = 61,2 24a 4ab 3b= 61,即 64 4ab 27= 61.ab= 6.ab 61ocose=厂二e= 120 .(2) |a+b|=/a2+2ab+b2=.：16+2X 6+9=13.

19、11.已知向量a= ( 3,2) ,b= (2,1) ,c= (3 , 1) ,tR(1)求|a+tb|的最小值及相应的t值；若atb与c共线，求实数t.解：(1)va= ( 3,2) ,b= (2,1),a+tb= ( 3,2) +1(2,1) = ( 3+ 2t,2 +1),-1a+tb| = 3+ 2t+2 +12x4249；49 7 51xn11=J5t8t+13=斗 5t5+寸$ -5-=*2 3 4 5 627怯4当且仅当t=时取等号，即|a+tb|的最小值为，此时t=.355vatb=(3,2)1(2,1)=(32t,2t),又atb与c共线，c= (3 , 1),(32t)X(

20、1)(2t)X3=0.123 解得t飞.3n12.已知向量 rn= (1,1)，向量n与向量m的夹角为，且mrn= 1.求向量 n；(2)设向量a= (1,0)，向量b= (cosx, sinx)，其中xR若na= 0，试求 |n+b|的取值范围.解：令n= (x,y),x+y=1,.2-_：x1 7+y2cos 茅一 1,x= 0, 或y= 1. n= ( 1,0)或 n= (0， 1)./a=(1,0),na=0,- n=(0，1).n+b=(cosx,sinx1).|n+b|=.cos2x+sinx12=_22sinx=/2 1sinx/ 1sinx1,0w|n+b|0,sin 2av0

21、,sina0,2sinacosav0.sin a 0,即 a 在第二象限.cos av0.5.已知平面向量a= (1,2) ,b= ( 2,m)，且a/b,贝 U 2a+ 3b等于(A. ( 5, 10)C. ( 3, 6)B. ( 4, 8)D. ( 2, 4)解析：选 B /a= (1,2) ,b= ( 2,m),-1Xm2X(2)=0,m= 4.2a+ 3b= (2,4)+ ( 6, 12) = ( 4, 8).6 .若a4n2n，且 sina= 5,贝Usina+ cos(na)的值为(52BT2j2 D解析：选sinn2a+42 cos(n a)迄.2sin+ cosa+cosa2

22、21516a+ 2C0Sa.- sina7tCOSa二2+ 2COSa7已知向量a= (1,2) ,b= ( 2, 4) , |c| = 5,若(cb)a=，贝 Ua与c的夹 角为()15A.30B.60C.120D.150155解析：选 Cab= 10,则(cb)a=caba=ca+ 10=三,所以ca=刁ac21设a与c的夹角为B,则 cose=:,又 0e0,0,x0)的部分图象如图 2 所示，则?(1) +?(2) +?(3) +?(11)的值等于()1718A. 2C. 2 + 2 2解析：选 C 由图象可知，函数的振幅为2,初相为 0，周期为 8,则A= 2,2n3=8，从而?(x

23、) = 2sin -4x.n ?(1)+?(2)+?(3)+?(11)=?(1)+?(2)+?(3)=2si n + 2sinn+2sin3n4=2 + 2 2.10.已知 3a+ 4b+ 5c= 0,且 |a| = |b| = |c| = 1,则a(b+c)=()A. 0B.3C.5D.解析：选 B 由 3a+ 4b+ 5c= 0，得向量 3a,4b,5c能组成三角形，又|a| = |b| = |c| = 1,所以三角形的三边长分别是3,4,5 ,故三角形为直角三角形,且a丄b,所以a(b+c) =a - c11.如图，在四边形ABCD中，|uuirAB| + |uuirBD| + |uuu

24、rDC1 = 4,uuiruuuruuiruuurunruuiruuuruuur1AB|BD1+11BD|1 DC| =4,ABBD=BDDC=0,则uuiruuuruu(AB+DC) AC的值为 ( )A.4B. 2C.4 2D. 2 2uuuruuurunruuiruuiruuiruuuruuu解析：选 ATAC=AB +BD+DC,ABBD=BDDCuuur uuuruuu(AB+DC)ACuuiruuuruuiruuurULUTunr2unruuu=(AB+ DC；)(AB +BD+DC)=AB+ABBDuuuruuiruuur uuiruuurounr2unruuuruuur2DCA

25、B+DC BD+DC=AB+ 2ABDC+DC.uuuruuuruuuuuurABBD =0,BD) DC；=0,uuuruuur uuiruuuruuuuirAB丄BD , DC丄BD ,AB/DC,uuuruuuruuruuirABDC =1AB|DC|=0,lur+ABuuurDC+1920uuiruuur原式=(IABI + IDCI)UULTUULTUULTUULT设丨AB| + |DC| =x,贝 V |BD| = 4 x, |BD|x= 4, - x 4x+ 4= 0,.x= 2 ,原式=4，故选 A.12.已知函数y= 2sin(cox+0)(co 0,0 0 0,0 0n)为

26、偶函数，0=三,y=2n2cosox,排除 C、D;y=2cosox2,2，结合题意可知T=n,.=n, co =2,co排除 B,选 A.二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在题中的横线上）uuuruuuruuur13.在平行四边形ABCD中,E和F分别是边CD和BC的中点，若AC=入AE+口AF, 其中入，口R贝 U入+口=_.uuuruuur解析：设AB=a,AD=b,uuur1uuur1uuur则AF=a+尹AE=?a+b,AC=a+b,24代入条件得入=口= 3,入+口= 3.答案：4UUIUUUU14.在平面直角坐标系xOy中，已知OA= ( 1

27、,t) ,OB= (2,2).若/ABQ90 ,则实数t的值为_ .uuur uuuuuiu uuur解析：/ABO=90,.AB丄OB,OBAB= 0.uuur uuu uuu又AB=OBOA= (2,2) ( 1,t) = (3,2 t),(2,2)(3,2t)=6+2(2t)=0. -1 =5.答案：5其图象与直线y= 2 的交1B.co= ,0C.co12,nD.co=2,0=15.已知?(x) = sin-H-右 cos3a= 507t7ta2，贝 U?a+ =213n解析：因为 COSa=50a卩，则 sinasin卩;,n12右函数y= 2cosax 的最小正周期是 4n,贝 U

28、a=； 2一=仏sinx sinx口3函数y=是奇函数；sinx 1n4函数y= Sinxy在0,n上是增函数.其中正确命题的序号为 _ .解析：a= 390 30=卩，但 sina= sin卩，所以不正确；函数y= 2cosax的最小正周期为T= 刍 =4n,3 1 a|1 1所以|a| = 2,a=，因此不正确；n中函数定义域是x x工2kn+ ,k Z，显然不关于原点对称，所以不正确；nn由于函数y= sinx = sin x= cosx，它在(0,n)上单调递增，因此 正确.答案：三、解答题(本大题共 6 个小题，共 70 分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤)17.(本

29、小题满分 10 分)已知|a| = 1,|b| = 一 2,a与b的夹角为0.(1) 若a/b,求ab；(2) 若ab与a垂直，求0.解：(1) a/b,.0= 0 或 180, ab= |a|b|cos0= .:2.(2)vab与a垂直，(ab)a= 0,7ta+ i2=sinn n .a+12+6=sin7t答案:710a+ COS23即 |a|2ab= 1 2cos0= 0,424口：2cosB=又 0wBw180,.0= 45.118.(本小题满分 12 分)已知 tana =，求1+2sinn acos2n a- 的值.2 . 25nsin a sin 2-a1 + 2sinacos

30、a2 2Sina cosasin8 9 10a+ cos2a+ 2sinacos2 2sina cosasina+ cosa求2a2cos9解：Tab= cos 2a+ sina(2sina 1) 2 .=cos 2a+ 2sina sina10 + cosa解：原式=425sina cosasina+ cosasina cosa5 2sin 2a 4cos2=1sina=5nTa,n,/ sin 2a=2si n sin3a=二5 cos4a=5，acos24a=,252a2cos75 ,：2sin 2a2 2cosa sinasina+ cosatana+ 15 ,2sin 2na4cos

31、a+ 12,原式=12+1121=3.19.（本小题满分12 分)已知a= (cos 2a, sina.n),b=(1,2si na 1), a2, n,2620.(本小题满分 12 分)已知函数？(x) = 2cosxsinx+ y 3sin2x+ sinxcosx.n(1)当x 0,时，求?(x)的值域;n5n用五点法在下图中作出y=?(x)在闭区间 一 6，一了上的简图;nnn4n(1)x0，2x + ，右沐 sin 2x+ 才w1,.当x 0，专 时，?(x)的值域为3, 2.2n由T= 2，得T=n,列表:xn6n72n*37n5nn2x+0n2n3n22ncn2sin 2x+3-02020图象如图所示.5 .2 X24255 5解:?(x) = 2