2019届高考数学一轮复习第二篇函数、导数及其应用第11节第三课时利用导数证明不等式专题训

1、第三课时 利用导数证明不等式专题力提升知识点、方法题号构造函数证明不等式1,2函数零点（方程根）有关不等式3证明与数列有关的不等式4在宴践中升华思想在宴践中升华思想【 选 题 明 细表】x+ (a_ _ _ 21.(2017 咸阳二模)已知三次函数 f(x)的导函数 f (x)=-3x+3 且 f(0)=-1,g(x)=xln 1).(1)求 f(x)的极值;求证：对任意 X1,x2 (0,+g),都有 f(x1) 0 时,f(x)最大值=1,依题意知，只要 1 0) ? x 0),22由 a 1 知,只要 xwx ln x+1(x0), 即 xln x+1-x0(x0),令 h(x)=x l

2、n x+1-x(x0), 贝 V h (x)=2xln x+x-1,h (1)=0,当 x1 时,h (x)0;当 0 x1 时,h (x) 0 对任意 X1,X2 (0, +g),都有 f(x1)wg(x2).法二 易得 x0 时,f(x)由 a 1 知,g(x) xln x+ (x0),厶 令 h(x)=xln x+ (x0),亠2* Z1122则 h (x)=ln x+1- =ln x+,1注意到 h (1)=0,当 x1 时,h (x)0;当 0 x1 时,h (x)0,即 h(x)在(0,1)上是减函数,在(1,+g)是增函数,h(x)最小值=h(1) =1,所以 h(x)最小值=1

3、,即 g(x)最小值=1.综上知对任意 X1,x2 (0,+g),都有 f(x1) 0 时,f(x)最大值=1,由 a 1 知,g(x) xln x+ (x0).Cr令 h(x)=xIn x+ (x0),贝 V h (x)=ln x+1-(x0),1 123令 (x)=ln x+1-(x0),贝: (x)= +0,知(x)在(0,+g)上递增，注意到 (1)=0,所以,h(x)在(0,1)上是减函数，在(1,+g)上是增函数有 h(x)最小值=1,即 g(x)最小值=1,综上知对任意 X1,X2 (0,+g),都有 f(x1)wg(x2).32.导学号 38486068(p017 山东模拟)已

4、知函数 f(x)=In x-x2+x.(1)求函数 f(x)在点 x=2 处的切线方程；求函数 f(x)的极值;证明：当 a 2 时，关于 x 的不等式 f(x)0),故 f=-,f(2)=ln 2-2,故切线方程是 y-(l n 2-2)=- (x-2),整理得 y=-x+3+ln 2.-2x2+尤 +1解:f (x)= -2x+仁(x0),由 f (x)0.又 x0,所以 x1,所以 f(x)的单调递减区间为(1,+),函数 f(x)的单调递增区间为(0,1),故 f(x)极大值=f(1)=0,无极小值._ 2 2(3)证明：令 g(x)=f(x)-( -1)x+ax-1=ln x-ax

5、+(1-a)x+1,因为 a 2,所以 g (x)=-令 g (x)=0,得 x=,所以当 x (0, ),g (x)0,当 x (,g (x)0,因此函数 g(x)在 x (0,)上是增函数，在 x (，+g)上是减函数，I故函数 g(x)的最大值为 g()=ln -ax()2+(1-a)x+1= -ln a,令 h(a)= -ln a,因为 h(2)= -ln 20,所以 h (a)2 时,h(a)0,即对于任意正数 x 总有 g(x)0, 所以关于 x 的不等式恒成立.3.(2017 河南安阳一模)已知函数 f(x)=x+aln x 与 g(x)=3-的图象在点(1)若函数 y=2(x+

6、m)与 y=f(x)的图象有两个交点，求实数 m 的取值范围;m m所以 g(x)=-ax2+ (1 -+ 1x(1,1)处有相同的切4设函数 F(x)=3(x-)+g(x)-2f(x)有两个极值点 X1,x2,且 X1X2,求证:F(x2)0,当 x (1,+g)时,T (x)=T(1)=-1-2m,因为XT0 时,T(x)T-g,XT+g时,T(x) Too故要使两图象有 2 个交点，只需-1-2m0,解得 m0,故 0m1,所以 X2=1+且 1X22,m=- +2x2,F(x2)-x2+1=X2-2ln x2-1,令 h(t)=t-2ln t-1,1t2,t 2则 h (t)=,由于

7、1t2,则 h (t)0,故 h(t)在(1,2)上递减，故 h(t)h(1)=1-2ln 1-1=0,所以 F(x2)-x2+1=h(X2)0,所以 F(X2)0,f(x)+g(x)1 恒成立，求 a 的取值范围；1求证:+ + ：0 ? -1 xO;f (x)0,所以函数 f(x)的增区间为(-1,0),减区间为(0,+g), f(x)max=f(0) = 0,无最小值.x2+ 2x + a(2)解：？x0,f(x)+g(x)1? x0,ln(1+x)-x+?x0,l n(1+x)+ 1? x0,a(x+2)1-l n(1+x),令 h(x)=(x+2)1-ln(1+x).X 4- 21则 h (x)=1-ln(1+x)- - =-ln(1+x)- 十】.当 x0 时，显然 h (x)=-ln(1+x)-0 时,h(x)0 时,In(1+x)+1,即 ln(1+x