线性代数在企业生产中的应用

1、线性代数在企业生产中的应用小组：第五组系部：工商管理系专业：市场营销指导老师：赵梅春提交日期： 2015 年 5 月 27 日目录线性代数在企业生产中的应用1摘要3简介4什么是线性代数4线性代数在经营管理领域中的应用5线性代数应用广泛的原因5相关知识6实例分析101、价格平衡模型102、生产总值问题123、产品成本计算134、投入产出数学模型14参考文献16致谢16摘要线性代数是一门讨论矩阵理论、与矩阵结合的有限维向量空间及其线性变换理论的学科。当代， 睡着线性代数在企业生产领域的广泛应用，线性代数显得日益的重要。通过对线性代数知识的运用， 企业可以预测市场变化、计算投资与回报、调节最优的生产

2、模式等。科学地运用线性代数可以使企业生产更加适应当今不断变化的市场环境。可见，对线性代数研究的深浅将直接影响我国企业是否能在未来的生产中顺利发展。本文将围绕线性代数在企业生产中的应用，通过四个线性代数在企业生产中应用的实例，即运用线性代数建立投入产出模型、运用线性代数计算产品成本、运用线性代数解决生产总值问题等四个实例，目的在于通过对这四个实例的分析，来说明线性代数在企业生产中有着那些应用，并解释为什么这些应用对企业生产有着不可替代的重要作用，以及解答如何在企业生产中科学地运用小小大，而更重要的是， 我们希望本文的研究成果，能为企业在运用线性代数解决生产问题这一方面提供科学有效的参考价值。关键

3、词：线性代数企业生产数学模型预测市场AbstractLinear algebra is a discussion of matrix theory, matrix binding and subject finite-dimensionalvector space linear transformation theory. Contemporary, asleep linear algebra is widely used in the production field, linear algebra is becoming increasingly important. Through th

4、e use of linearalgebra, companies can predict market changes, and return on investment calculation, adjusting optimal production mode. Scientific use of linear algebra can make production more responsive to today's ever-changing market environment. Seen on the depth of linear algebra will direct

5、lyaffect whetherthe smooth development of Chinese enterprises in the future production.Thisarticle will focus on linear algebra in the enterprise production, by way of example in the production of four linear algebra applied, that the use of linear algebra establish input-output model, using linear

6、algebra calculation of product cost, using linear algebra to solve the problemof GDP four instances, the aim of the analysis by these four examples to illustrate the production of linear algebra with those applications, and explain why these applications on the production plays an irreplaceable role

7、, and how to answer in enterprise production Little Big scientific use,but more importantly,we hope that results of this study can provide scientific and effectivereference value in this regard to solve production problems for enterprises in the use of linearalgebra.Keywords: Linear AlgebraProductio

8、nMathematical ModelPrediction Market简介什么是线性代数线性代数是代数数学的一个分支，以研究向量空间与线性映射为对象。它是以讨论矩阵理论，与矩阵结合的有限维向量空间及其线性变换理论的一门学科。 其主要理论成熟于十九世纪， 但它的第一块基石二、三元线性方程组的揭发，则源于两千多年前我国的九章算术。那么，“线性问题”和“代数”又是什么？“线性”的主要意思是，线性空间里的线性变换。线性变换成线性映射，是把中学的线性函数概念重新定义，从而突出强调了函数的变量之间的变换意义。而线性问题， 则是从实际中来的数学问题中研究最久，理论最完善的。 一般来讲，非线性问题均要转化为

9、线性问题，才可以更好的得到解决。而“代数”一词，英文为Algebra，源于阿拉伯，意为“结合在一起”。也就是说，代数的功能是进行抽象，从而把看似不相关的事物结合在一起。抽象的目的是把许多问题化为一类问题，提高解决问题的效率。拉格朗日说过：“如果代数与几何各自分开发展，那它的进步十分缓慢，而且应用范围也很有限，但若两者相互结合而共同发展，则会相互加强，并以快速的步伐向着完善化的方向猛进。”线性代数正是如此。线性代数具有“几何直观意义”，能使几何与代数相辅相成，因此在现实生活与研究中，它具有很大的实用价值。线性代数在数学、力学、物理学和技术学科中有各种重要的应用；在计算机广泛应用的当今社会，计算机

10、图形学、计算机设计、密码学等，均有以其为基础。最重要的是，线性代数所体现的几何观念与代数方法之间的联系，从具体概念抽象出来的公理化方法以及严谨的逻辑推证、巧妙的归纳综合等，对于强化我们的数学训练，增益科学智能是非常有用的。毫无疑问，线性代数是一门值得品味而美妙的学科。但同时，积极激化线性代数的活力，并把它运用到现实生活中去。才是最重要的。毕竟，数学的目的，是改变生活。线性代数在经营管理领域中的应用线性代数是在经济研究和经济工作中处理线性经济模型的重要工具。在社会生产管理中经常要对生产过程中产生的数据进行统计、处理、分析，以此来对生产过程进行了解和监控，进而对生产进行管理和调控，保持正常平稳的原

11、始数据纷繁复杂，运用矩阵对数据进行处理，将得到简单明了的结果。经济系统内部各部门之间存在某种依存关系。一个经济部门依赖于其他部门的产品或半产品，同时它也为其他部门的生产提供条件。如何在特定经济的形式下确定各经济部门的产出水平， 以满足经济系统的需要是一个十分重要的问题。投入产出模型就是用于全面分析经济系统内部各部门的生产和分配之间的数量依存关系的数学模型。投入产出分析是以线性代数理论为基础的，是一种行之有效的经济数量分析方法。投入产出模型在编制经济计划、经济预测以及研究污染和人口等社会问题中发挥了重要的作用。它是国民经济计划工作的重要工具。在市场经济条件下，投入产出分析被充分吸收到国民经济核算

12、体系中，具有重要的实践意义。在经济管理领域中，许多实际问题都能够转化为线性规划问题，求解线性规划问题的最优解就是得到这些实际问题的解，也就是指导经济生活的最佳方案。而线性规划问题研究的必备基础为线性代数知识。实际问题转化为线性规划问题的首要步骤就是建立线性规划数学模型。求解数学模型的过程即为解决实际问题得到最佳方案的过程。运用线性规划方法能够使得企业的决策具有科学性和可靠性，能够使得企业进行合理的资源配置，制定科学的生产计划和透支计划。从而提高企业的效率获得最大的经济效益。线性代数应用广泛的原因线性代数为何在生活中被如此广泛地应用呢？原因之一，大自然的许多现象恰好是线性变化的。以物理学为例，整

13、个物理世界可以分为机械运动、电运动、还有量子力学的运动。而机械运动的基本方程是牛顿第二定律，即物体的加速度同它所受到的力成正比，这是一个基本的线性微分方程。电运动的基本方程是麦克思韦方程组，这个方程组表明电场强度与磁场的变化率成正比，而磁场的强度又与电场强度的变化率成正比，因此麦克思韦方程组也正好是线性方程组。而量子力学中描绘物质的波粒二象性的薜定谔方程，也是线性方程组。其二，随着科学的发展，我们不仅要研究单个变量之间的关系，还要进一步研究多个变量之间的关系， 因为各种实际问题在大多数情况下可以线性化，而科学研究中的非线性模型通常也可以被近似为线性模型，另外由于计算机的发展，线性化了的问题又可

14、以计算出来，所以，线性代数因成为了解决这些问题的有力工具而被广泛应用。如量子化学（量子力学）是建立在线性空间的理论基础上的，没有线性代数的基础，不可能掌握量子化学。而量子化学（和分子力学）的计算在今天的化学和新药的研发中是不可缺少的。其三，线性代数所体现的几何观念与代数方法之间的联系，从具体概念抽象出来的公理化方法以及严谨的逻辑推证、 巧妙的归纳综合等， 对于强化人们的数学训练， 增益科学智能是非常有用的。相关知识线性代数是数学的一个分支，它的研究对象是：行列式矩阵空间向量和线性方程组。矩阵和行列式是两个完全不同的概念，行列式代表着一个数，而矩阵仅仅是一些数的有顺序的摆法。 利用矩阵这个工具，

15、 可以把线性方程组中的系数组成向量空间中的向量；这样对于一个多元线性方程组的解的情况，以及不同解之间的关系等等一系列理论上的问题，就都可以得到彻底的解决。矩阵的应用是多方面的，不仅在数学领域里，而且在力学、物理、科技等方面都十分广泛的应用。行列式与矩阵的本质区别在于它们的定义。行列式是一种特殊的算式, 它是根据求解方程组个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的，经计算能算出其数值，而矩阵只是一个数表，无法通过计算求得其值；而且两者的表示方法也不同。如下例：12121234 表示的是一个 2 阶行列式；而34 则表示是一个 2× 2 的矩阵。而且34 可12以通过计算求得其值为

16、-2；而 34 只能表示一个数表，不能求出值。行列式的行数和列数必须是相等的；而矩阵的行数和列数可以相等也可以不相等。由n2 个数组成的 n 行 n 列行列式为 n 阶行列式；由 m 行 n 列组成的数表为m× n 矩阵。只有135237618行数和列数相等的矩阵即方阵才能计算其行列式。如：026是一个3×4 的矩阵；135135237237618618而 026 这样的行列式是不存在的，因此026无法求其行列式。而且行列式和矩阵的性质和运算法则也不同。如下：a11a12a1na11a21an1a21a22a2 na12a22an2（ 1）记 D= an1an2ann ，D

17、T= a1na2nann ，则称 DT 为 D 的转置行列式，并有 D= DT，行列式中行与列具有同等的地位，因此，行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立；同样的矩阵A 的转置矩阵 AT 是指把矩阵 A 的行换成同序数的列得到的新矩a11a12a1na11a21an1a21a22a2na12a22an 2阵，即记 A=an1an 2ann，则 AT= a1na2nann，但有（ AT） T=A。且对方阵来说， AT= A 。123456456123（ 2）互换行列式的两行（列） ，行列式变号，例如：789=-789 ，因此可以247616892476推出如果行列式有两行（列）完全相同，则此行

18、列式为零，如：3592 =0。（ 3）行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数k，等于用数k 乘此行列式，即行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号外面。如：2325223523452345627627；而An A=(A 为方阵 )。25（ 4）行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零。如：410 =0；把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数然后加到另一行（列）对应的元素上去，行列式不变；如果行列式的某一行（列）的各元素都是两数之和，则此行列式为两个行列式的和。而矩阵没有这些性质。（ 5）在矩阵中，对调两行（列） ；以数 k0 乘以某一行（列）的所有元素；把某一

19、行（列）所有元素的 k 倍加到另一行（列）对应的元素上去，称为矩阵的初等变换。如果矩阵A 经过有限次的初等变换成矩阵B，就称矩阵A 与 B 等价，记作AB。则有以下性质：反身性：AA；对称性： 若 AB，则 BA ；传递性： 若 AB ， BC ，则A C。（ 6）在矩阵中有下列运算法则： A+B=B+A，（ A+B）+C=A+(B+C)，-A 为 A 的负矩阵， A+(-A)=0，A-B=A+ （ -B ）（ A 、 B为同型矩阵）；() A(A)，() AAA ，(A B)AB ；当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵可以相乘，1239111022A4 34561235A213

20、52858134B3 4132 4B12 15 13 29如：621，2113，则10192341，是一423132BA393133个 4×4 的矩阵，而251819，是一个 3× 3 的矩阵，由此可见， A× BB× A；( AB )kAk B k（ 但 也 有 例 外 ），（ AB ） C=A(BC)， A(B+C)=AB+AC， (B+C)A=BA+CA，( AB)( A)BA(B) ， AE=EA=A； Ak AmAk m ， ( Am ) kAmk （ A 是 n 阶矩阵）；（ A+B） T=AT+BT，（ A） T= AT，（AB） T=BT

21、AT。a11a12a13a21a22a23a11a13（7）D=a31a32a33，去掉a22所在的行和列得到M22=a31a33即为元素a22的余子式， A22=（ -1） 2+2 M22 ，叫做 a22 的代数余子式，行列式的每个元素分别对应着一个a21a23余子式和代数余子式， 再如去掉 a12 所在的行和列得到M12= a31a33 ，A12=（ -1）1+2 M12 。而在矩阵中，定义行列式A的各个元素的代数余子式Aij所构成的如下矩阵：A11A12A1nA*A21A22A2 nAn1An 2Ann称为矩阵 A 的伴随矩阵，且有 AA*= A*A= A E。因为对于一个n 阶矩阵 A

22、，如果有一个n 阶矩阵 B 使得 AB=BA=E，则说矩阵A 是可逆的，并把矩阵B 称为A 1A*A 的逆矩阵，记作A-1，则有A ( A 0)。在 m×n 矩阵 A 中任取 k 行 k 列（ km，k n），位于这些行列式交叉处的k2 个元素，不改变它们在A 中所处的位置次序而得到的k279237阶行列式，称为矩阵A 的 k 阶子式。如：矩阵 A= 186，取其前 2 行和前 2 列得到 A2 7的2阶子式 2 3 。（ 8）关于矩阵的初等变换：首先要懂得矩阵的三种初等变换的算法，明白一个矩阵经过一次初等变换并非完全不变，变换前后的矩阵间只是一种特殊的所谓等价关系（如E(i, j

23、) A A ，而不是 E(i, j ) A A, 等等）。还要能将行列式性质中提公因子、交换两行（列）与用常数乘某行（列）加到另一行（列）上去后的结果弄清楚，并可与相应方阵的初等变换进行对比。重要的是知道初等变换不改变矩阵的秩。（ 9）关于逆矩阵：逆阵是由线性变换引入的，它可只由ABE 来定义（A与 B互为逆阵），这是应用的基础。 要记住方阵可逆的充要条件为A0 以及关系式 AA*A E ，二者有着重要与广泛的应用。要弄清A 的伴随方阵是矩阵Aaij的各元素代数余子式为元素的矩阵的转置，否则会出错。下面是如何用初等变换求逆矩阵：001A 110,设101设求A1.001|100101|0011

24、01|001A, I110|010110|01001-1|01 -1解101|001001|100001|100101|001100|-101010|01 -1010|11 -1.000|100000|100-101A 111 -1.于是，100（ 10）关于矩阵的秩： 矩阵的秩是由解线性方程组引入的一个新概念，对它要逐步加深理解。为此，首先应弄清什么是矩阵的行阶梯形：其一个“台阶”（非零行）只有一行，即任一行的首非零元素下面（同列）的元素全为零 ,不能把两行的首非零元素位于同一列视为一个“台阶” ,而全为零的一行也是一个台阶，且要位于非零行下方。这里，介绍如何用初等变换求矩阵的秩：关于矩阵和

25、行列式，在线性代数的学习中我了解了很多知识。在此有一些总结。实例分析1、价格平衡模型在 Leontiff 成为诺贝尔奖金获得者的历史中，线性代数曾起过重要的作用，我们来看看他的基本思路。 假定一个国家或区域的经济可以分解为n 个部门， 这些部门都有生产产品或服务的独立功能。设单列n 元向量x 是这些n 个部门的产出，组成在Rn 空间的产出向量。先假定该社会是自给自足的经济，这是一个最简单的情况。因此各经济部门生产出的产品，完全被自己部门和其它部门所消费。Leontiff 提出的第一个问题是，各生产部门的实际产出的价格 p 应该是多少，才能使各部门的收入和消耗相等，以维持持续的生产。Leonti

26、ff的输入输出模型中的一个基本假定是：对于每个部门， 存在着一个在Rn 空间单位消耗列向量vi，它表示第i 个部门每产出一个单位（比如100 万美金）产品，由本部门和其他各个部门消耗的百分比。在自给自足的经济中，这些列向量中所有元素的总和应该为1。把这n 个vi，并列起来，它可以构成一个n × n 的系数矩阵，可称为内部需求矩阵V。举一个最简单的例子，假如一个自给自足的经济体由三个部门组成，力业和钢铁业。它们的单位消耗列向量和销售收入列向量p 如下表：由下每单位输出的消耗分配列 部 门 购煤炭业电力钢铁业p它们是煤炭业、 电销售价格买业（收入）煤炭0.0.40.6pc业电力0.60.

27、10.2pe业钢铁0.40.50.2ps业如果电力业产出了 100 个单位的产品， 有 40 个单位会被煤炭业消耗， 10 个单位被自己消耗，而被钢铁业消耗的是 50 个单位，各行业付出的费用为：0.4pe v2pe0.10.5这就是内部消耗的计算方法，把几个部门都算上，可以写出pcpc各部门消耗成本 pcvcpevepsvs vc ,ve, vspe销售收入pepsps0.0.40.6V vc, ve ,vs0.60.10.2其中0.40.50.2于是总的价格平衡方程可以写成为：p Vp = 0( I V ) p =0此等式右端常数项为零，是一个齐次方程。它有非零解的条件是系数行列式等于零，

28、或者用行阶梯简化来求解。用 MATLAB语句写出其解的表示式：V=0.,0.4,0.6;0.6,0.1,0.2;0.4,0.5,0.2,U0 = rref(eye(3)-V,zeros(3,1)程序运行的结果为1.00000-0.93940U 001.0000-0.848500000这个结果是合理的，简化行阶梯形式只有两行，说明I-V的秩是 2，所以它的行列式必定为零。由于现在有三个变量，只有两个方程，必定有一个变量可以作为自由变量。记住U0 矩阵中各列的意义，它们分别是原方程中pc，pe，ps，的系数，所以简化行阶梯矩阵U0表示的是下列方程：pc- 0.9394 ps= 0pc= 0.939

29、4 pspe- 0.8485 ps= 0pe= 0.8485 ps这里取ps为自由变量，所以煤炭业和电力业的价格应该分别为钢铁业价格的0.94 和0.85 倍。如果钢铁业产品价格总计为100 万元，则煤炭业的产品价格总计为94 万，电力业的价格总计为85 万2、生产总值问题一个城市有三个重要的企业：一个煤矿、一个发电厂和一条地方铁路。开采一元钱的煤，煤矿必须支付0.25 元的运输费。生产一元钱的电力，发电厂需支付0.65 元的煤作燃料，自己亦需支付0.05 元的电费来驱动辅助设备及支付0.05 元的运输费。提供一元钱的运输费，铁路亦需支付0.55 元的煤作燃料，0.10 元的电费驱动它的辅助设

30、备。某个星期内，煤矿从外面接到50000元煤的订货，发电厂从外面接到25000元的电力订货，外界对地方铁路没有要求。 同问三个企业在那一个星期内生产总值为多少时，才能精确地满足它们本身的要求和外界的要求？把上述问题，与线性代数思想结合，运用线性代数相关知识，来解决现实中的问题。下面，我们运用线性代数的知识，来尝试解决并回答上述问题：解：对于一个星期的周期，x1表示煤矿的总产值，x2 表示电厂的总产值，x3 表示铁路的总产值。由题意得：x1 - ( 0 ? x1 + 0.65x 2 + 0.55x 3 ) = 50000 x2 - (0.25x 1 + 0.05x 2 + 0.01x 3) =

31、25000 x3 - ( 0.25x 1 + 0.05x 2 + 0 ?x3) = 0写成矩阵形式为：x100.650.55x150000 x2 - 0.250.050.01 x2 = 25000x30.250.050x30记：x100.650.5550000X= x2 , c= 0.250.050.01, b= 25000x30.250.0500则上式写成：x-cx=b 即： (E-C)X=b1-0.65-0.55x150000即： -0.250.95-0.10 x2= 25000-0.25-0.051x30因为系数行列式：|E - C| = 0.62875 0根据克莱默法则，此方程组有唯一

32、解，其解为：X=(E - C)-11?b = 50375654247050000 220690190 250002001702200102087= 56163 28330所以，煤矿总产值为102097 元，发电厂总产值为56163 元，地方铁路总产值为28330元。从上面的实际问题的线性运算解决过程中，我们可以很明确地看出，线性代数在运算和解决一些现实问题方面有更加方便、快速和有效的有点。3、产品成本计算矩阵在计算成本利润中有广泛的应用，利用矩阵可以将复杂的问题或计算过程简化成矩阵运算， 结合计算机程序语言能够快速的解决实际问题。下面简单介绍矩阵在成本利润计算中的应用。生产成本 : 在社会生产

33、管理中经常要对生产过程中产生的很多数据进行统计、处理、分析， 以此来对生产过程进行了解和监控，进而对生产进行管理和调控，保证正常平稳的生产以达到最好的经济效益。但是得到的原始数据进行处理，得到直接明了的结果。在计算中引入矩阵可以对数据进行大量的处理，这种方法非常方便。例 :某厂生产三种成品，每件产品的成本及每季度生产件数已知。试提供该厂每季度在每种产品上的成本表。成本矩阵为M季度产量矩阵为P0.100.300.15M= 0.300.400.25 0.100.200.154000450045004000P= 20002800240022005800620060006000将 M 和 P 相乘，得

34、到的矩阵设为Q， Q 的第一行第一列元素为Q(1,1)=0.1×4000 + 0.3 ×2000 + 0.15 ×5800 = 18701870222020701960Q=402038103580 34501670194018301740不难看出， Q 表示了夏季消耗的原材料总成本。从线性代数角度来看，Q 矩阵把以件数为单位的产品空间，结果明了，是传统方法所不能比及的地方。正是因为矩阵计算的种种优点，许多企业在计算成本利润等问题中引入这种计算方法。以一个小型的经济系统为例来进行研究，通过引入矩阵知识，主要研究了两个问题:一是在一定外部需求的情况下，系统内各个企业应该怎样生产才能满足需求:二是当系统下的某个企业的影响。 以矩阵为工具， 我们研究的问题可以比较容易得到解决，从中也体现了矩阵等数学基础知识在经济中强大的应用价值。4、投入产出数学模型投入产出分析是研究国民经济各部门联系平衡的一种数量经济分析法，通过编制投入产出平衡表，建立部门间的“投入”与“产出”数量依存关系的一种线性模型，称为投入产出数学模型， 它适用于分析整个国民经济， 也可以分析地区及行业和企业内部的各种经济关系。（一）投入产出平衡表x1 表示第 i 部门总产品， #表示第 i 部门的最终产品，#表示第 i 部门分配给第j 部门的产品量， #表示第 j