(完整word版)初二年级数学压轴几何证明题[含答案解析]

1、完美 WORD 格式资料专业整理分享1.四边形 ABCD 是正方形， BEF 是等腰直角三角形，/ BEF=90 , BE=EF 连接 DF, G 为DF 的中点，连接 EG CG EC(1)如图 1,若点 E 在 CB 边的延长线上， 直接写出EG 与 GC 的位置关系及的值；将图 1 中的 BEF 绕点 B 顺时针旋转至图 2 所示位置，请问(1)中所得的结论是否仍然成 立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；将图 1 中的BEF 绕点 B 顺时针旋转a(0VaV90)，若 BE=1,AB=,当 E,F,D 三 点共线时，求 DF 的长及 tan / ABF 的值.理由是：过 G

2、 作 GHLEC 于 H,/FEB=ZDCB=90, EF/ GH/ DC G 为 DF 中点, H 为 EC 中点， 丄EG=GC GH=-即 GH=EH=HC/ EGC=90 ,即厶 EGC 是等腰直角三角形,:ECGC =辺；备用图(EF+DC=_(EB+BC ,flJ完美 WORD 格式资料专业整理分享理由是： 如图2， 延长EG到H,使EG=GH连接CH EC,过E作BC的垂线EM延长CD 在 EFG HDGirCF = GDf zFGE= zDGHEG.=HCEFGAHDG（ SAS, DH=EF=BE / FEG=/ DHGEF/ DH/仁/2=90-/3=Z4,/ EBC=18

3、0 - / 4=180 - / 仁/ HDC在厶 EBC 和 HDC 中rBE = DH4 zEBC-zHDCBC=CDEBCAHDCCE=CH / BCE 玄 DCH/ECH=/ DCH 社 ECDMBCE+ZECD=Z BCD=90 , ECH 是等腰直角三角形， G 为 EH 的中点，ECEG 丄 GC 二=_,即（1）中的结论仍然成立；解：连接 BD完美 WORD 格式资料专业整理分享/ AB=_，正方形 ABCD BD=2, cos / DBE= = 2/DBE=60,/ABE=/ DBE-ZABD=15,/ABF=45 -15=30,V3tan / ABF= _,DE=_BE= 一

4、，DF=DE-EF=/；-1 .解析：(1 )过 G 作 GHLEC 于 H,推出 EF/ GH/ DC 求出 H 为 EC 中点，根据梯形的中位线求出 EG=GCGH=2 |(EF+DC =2 ( EB+BC，推出 GH=EH=B,C 根据直角三角形的判定推出EGC 是等腰直角三角形即可；(2) 延长 EG 到 H,使 EG=GH 连接 CH EC,过 E 作 BC 的垂线 EM 延长 CD 证厶 EFG HDG 推出DH=EF=BE / FEG/ DHG 求出/ EBC 玄 HDC 证出 EBCAHDC 推出 CE=CH / BCE=Z DCH 求出 ECH 是等腰直角三角形，即可得出答案

5、；(3) 连接 BD,求出 cos / DBE=RD =2 ,推出/ DBE=60 ,求出/ ABF=30,解直角三角 形求出即可.2.已知正方形 ABCD 和等腰直角三角形 BEF, BE=EF, / BEF=90,按图 1 放置，使点 E 在 BC 上,取DF 的中点 G 连接 EG CG(1)延长 EG 交 DC 于 H，试说明：DH=BE将图 1 中厶 BEF 绕 B 点逆时针旋转 45 ,连接 DF,取 DF 中点 G(如图 2),莎莎同学发现： EG=CG1EGLCG 在设法证明时他发现：若连接 BD 贝 U D, E , B 三点共线.你能写出结论“EG=CG 且 EGLCG的完

6、整理由吗？请写出来.(3)将图 1 中厶 BEF 绕 B 点转动任意角度a(0VaV90 ),再连接 DF,取 DF 的中点 G(如图3),第 2 问中的结论是否成立？若成立，试说明你的结论；若不成立，也请说明理由.E/BcF图 1(1) 证明：T/BEF=90,EF/DH, /EFG 玄 GDH而/ EGF 玄 DGH GF=GD GEFAGHDEF=DH完美 WORD 格式资料专业整理分享而 BE=EF DH=BE(2)连接 DB,如图,BEF 为等腰直角三角形,/ EBF=45，而四边形 ABCD 为正方形,/ DBC=45 , D, E, B 三点共线.而/ BEF=90 , FED

7、为直角三角形, 而 G 为 DF 的中点，EG=GD=GC / EGC=ZEDC=90, EG=CG 且 EG! CQ(3)第 2 问中的结论成立.理由如下：连接 AC BD 相交于点 O,取 BF 的中点 M 连接 OG EM MG 如图, G 为 DF 的中点，0 为 BD 的中点，M 为 BF 的中点,OG/ BF, GM/ 0B,四边形 OGM 为平行四边形,OG=BM GM=OB 而 EM=BM OC=OBEM=OG MG=OC/ DOGNGMF而/ DOCMEMF=90 , /EMGNGOC MEG OGCEG=CG/EGMNOCG又/ MGFNBDF, / FGC=/ GDC/

8、GCD/ EGC/ EGM/ MGF/ FGC/ BDF+/ GDC/ GCD/ OCG=45 +45 =90EG=CG 且 EG! CG解析：完美 WORD 格式资料专业整理分享(1) 由/ BEF=90，得到 EF/ DH 而 GF=GD 易证得 GEFAGHD 得 EF=DH 而 BE=EF 即可得到结论.(2) 连接 DB,如图 2,由厶 BEF 为等腰直角三角形，得/ EBF=45，而四边形 ABCD 为正方 形，得/DBC=45，得到 D, E, B 三点共线，而 G 为 DF 的中点，根据直角三角形斜边上的 中线等于斜边的一半得到 EG=GD=GC 于是/ EGC=ZEDC=90

9、，即得到结论.(3) 连接 AC BD 相交于点 O,取 BF 的中点 M 连接 OG EM MG 由 G 为 DF 的中点，0 为 BD 的中点，M为 BF的中点， 根据三角形中位线的性质得 OG/ BF, GM/ 0B得到 OG=BMGM=OB 而 EM=BM OC=OB得至 U EM=OG MG=O,又/ DOGWGMF 而/ DOCMEMF=90，得/ EMG= / GOC 则厶 MEQAOGC得到 EG=CG / EGMWOCG 而/ MGFMBDF / FGCMGDC# GCD 所以有/ EGC# EGMXMGF#FGC=Z BDF+# GDC：+ GCD# OCG=45 +45

10、=90.3.已知正方形 ABCD 和等腰 Rt BEF, BE=EF / BEF=90，按图放置，使点 F 在 BC 上, 取 DF 的中点 G 连接 EG CG(1)探索 EG CG 的数量关系和位置关系并证明；将图中厶 BEF 绕 B 点顺时针旋转 45,再连接 DF,取 DF 中点 G(如图)，问中的 结论是否仍然成立证明你的结论；将图中厶 BEF 绕 B 点转动任意角度(旋转角在 0到 90之间)，再连接 DF,取 DF 的中 点 G(如图)，问(1)中的结论是否仍然成立，证明你的结论.证明如下：如图，连接 BD.正方形 ABCD 和等腰 Rt BEF,# EBF=# DBC=45 .

11、 B、E、D 三点共线.# DEF=90 , G 为 DF 的中点，# DCB=90 ,EG=DG=GF=CG# EGF=# EDG / CGF=2/ CDG# EGF+# CGF=2/ EDC=90 , 即# EGC=90 ,EG 丄 CG解：（1） EG=CGi EGL CG完美 WORD 格式资料专业整理分享(2) 仍然成立,完美 WORD 格式资料专业整理分享证明如下：如图，延长 EG 交 CD 于点 H./ BE 丄 EF,. EF/ CD / 1 =Z2 .又/3=Z4,FG=DG FEGADHGEF=DH EG=GHBEF 为等腰直角三角形，BE=EF, BE=DH/ CD=BC

12、 - CE=CH ECH 为等腰直角三角形.又 EG=GHEG=CG 且 EG! CG(3) 仍然成立.证明如下：如图，延长 CG 至 H,使 GH=CG 连接 HF 交 BC 于 M 连接 EH/ GF=GDZHGF=/ CGD HG=CG HFGACDGHF=CD / GHF=/ GCDHF/ CD正方形 ABCDHF=BC HF 丄 BC.BEF 是等腰直角三角形，BE=EF, / EBC=/ HFE BECAFEHHE=EC / BEC=/ FEH /BEF=ZHEC=90, ECH 为等腰直角三角形.又 CG=GHEG=CG 且 EG! CGEC.完美 WORD 格式资料专业整理分享

13、解析：即可证EG=CGt EG(1 )首先证明 B、E、D 三点共线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 明EG=DG=GF=CG#至屹 EGF=NEDG / CGF=2/ CDG 从而证得/ EGC=90(2)首先证明厶 FE3ADHG 然后证明厶 ECH 为等腰直角三角形.可以证得： 丄 CG完美 WORD 格式资料专业整理分享2(3)首先证明： BECAFEH 即可证得： ECH 为等腰直角三角形，从而得到：EG=CG且 EGL CGFECKBCD=90,EF/ CDMDGDGM DG=FG GE 匿 GMDEG=MG 即 G 为 EM 的中点.CG 为直角 ECM 的斜边上的中线

14、，CG=GE=EM ;(3)成立.取 BF 的中点 H,连接 EH, GH,取 BD 的中点 O,连接 OG, OC.已知，正方形 ABCD 中, BEF 为等腰直角三角形，且已知，正方形 ABCD 中, BEF 为等腰直角三角形，且 BF 为底，取 DF 的中点 G 连接 EGCGBF 为底，取 DF 的中点 G 连接 EGCGE 1(1)如图 1，若 BEF團2的底边 BF 在回 4BC 上，猜想 EG 和 CG 的数量关系为(2)如图 2,若厶 BEF 的直角边 BE 在 BC 上,则(1)中的结论是否还成立？请说明理由;(3)如图 3，若厶 BEF 的直角边 BE 在/ DBC 内，则

15、( 解：(1) GC=EG ( 1 分)理由如下：/ BEF 为等腰直角三角形，DF 的中点， EG=DF，1 )中的结论是否还成立？说明理由. / DEF=90 , 又 G 为斜边 ABCD 为正方形， / BCD=90 , 又 G 为斜边 DF 的中点， CG= DF,(2)成立.如图，延长 EG 交 CD 于 M, GC=EG/ / BEF=/ /EFGK又 / EGFK完美 WORD 格式资料专业整理分享/ CB=CD / DCB=90 , CO=BD/ DG=G, GH/ BD 且 GH= BD ,OG/ BF,且1OG=BF，2CO=GH/BEF为等腰直角三角形 EH=1BF2 E

16、H=OG/四边形OBHG 为平行四边形， / BOGWBHG /BOCHBHE=90. /GOCHEHGGO9 EHGEG=GC此题考查了正方形的性质，以及全等三角形的判定与性质.要求学生掌握直角三角形斜边上的中线等 于斜边的一半，以及三角形的中位线与第三边平行且等于第三边的一半.掌握这些性质，熟练运用全等知识是解本题的关键.解析：(1) EG=CG 理由为：根据三角形 BEF 为等腰直角三角形，得到HDEF 为直角，又 G 为 DFI.中点，根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，得到EG 为 DF 的一半，同理在直角三角I形 DCF 中，得到 CG 也等于 DF 的一半，利用等量代换得证；(2)成立理由为：延长 EG 交 CD 于 M 如图所示，根据“ ASA得到三角形 EFG 与三角形 GDM 全等，由全等三角形的对应边相等得到 EG 与 MG 相等，即 G 为 EM 中点，根据直角三角形斜边上的中线等于 斜边的一半得到 EG 与 CG 相等都等于斜边 EM 的一半，得证；(3)成立理由为：取 BF 的中点 H,连接 EH GH 取 BD 的中点 O,连接 OG OC 如图所示，因为直角三角形 DCB 中, O 为斜边 BD 的中点，根据斜边