2022届高三数学一轮复习（原卷版）第7讲　离散型随机变量的均值与方差、正态分布

1、第 7 讲离散型随机变量的均值与方差、正态分布一、知识梳理1离散型随机变量的均值与方差一般地，若离散型随机变量 x 的分布列为xx1x2xixnpp1p2pipn(1)均值称 e(x)x1p1x2p2xipixnpn为随机变量 x 的均值或数学期望它反映了离散型随机变量取值的平均水平(2)方差称 d(x)错误错误!(xie(x)2pi为随机变量 x 的方差，它刻画了随机变量 x 与其均值 e(x)的平均偏离程度，并称其算术平方根 d(x)为随机变量 x 的标准差2均值与方差的性质(1)e(axb)ae(x)b(2)d(axb)a2d(x)(a，b 为常数)3两点分布与二项分布的均值、方差(1)

2、若随机变量 x 服从两点分布，则 e(x)p，d(x)p(1p)(2)若 xb(n，p)，则 e(x)np，d(x)np(1p)4正态曲线的特点(1)曲线位于 x 轴上方，与 x 轴不相交(2)曲线是单峰的，它关于直线 x对称(3)曲线在 x处达到峰值1 2.(4)曲线与 x 轴之间的面积为 1(5)当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿 x 轴平移(6)当一定时，曲线的形状由确定越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散常用结论均值与方差的七个常用性质若 yaxb，其中 a，b 是常数，x 是随机变量，则(1)e(k)k，d(k)0，其中

3、k 为常数(2)e(axb)ae(x)b，d(axb)a2d(x)(3)e(x1x2)e(x1)e(x2)(4)d(x)e(x2)(e(x)2.(5)若 x1，x2相互独立，则 e(x1x2)e(x1)e(x2)(6)若 x 服从两点分布，则 e(x)p，d(x)p(1p)(7)若 x 服从二项分布，即 xb(n，p)，则 e(x)np，d(x)np(1p)二、教材衍化1已知 x 的分布列为x101p121316设 y2x3，则 e(y)_解析：e(x)121613，e(y)e(2x3)2e(x)323373.答案：732甲、乙两工人在一天生产中出现的废品数分别是两个随机变量 x，y，其分布列

4、分别为x0123p0.40.30.20.1y012p0.30.50.2若甲、乙两人的日产量相等，则甲、乙两人中技术较好的是_解析：e(x)00.410.320.230.11.e(y)00.310.520.20.9，因为 e(y)e(x)所以乙技术好答案：乙3已知随机变量 x 服从正态分布 xn(3，1)，且 p(x2c1)p(xc3)，则 c_解析：因为 xn(3，1)，所以正态曲线关于 x3 对称，且 p(x2c1)p(xc3)，所以 2c1c332，所以 c43.答案：43一、思考辨析判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)随机变量的均值是常数，样本的平均数是随机变量，它不确定()(2

5、)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量的平均程度越小()(3)正态分布中的参数和完全确定了正态分布，参数是正态分布的均值，是正态分布的标准差()(4)一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布()(5)均值是算术平均数概念的推广，与概率无关()答案：(1)(2)(3)(4)(5)二、易错纠偏常见误区|(1)期望、方差的性质不熟导致错误；(2)二项分布的数学期望公式用法不当；(3)求错分布列，导致 e()出错1 已知两个随机变量 x， y 满足 x2y4， 且 xn(1， 22)， 则 e

6、(y)， d(y)依次是_解析：由 xn(1，22)得 e(x)1，d(x)4.又 x2y4，所以 y2x2，所以 e(y)212e(x)32，d(y)14d(x)1.答案：32，12在一次招聘中，主考官要求应聘者从 6 道备选题中一次性随机抽取 3 道题，并独立完成所抽取的 3 道题乙能正确完成每道题的概率为23，且每道题完成与否互不影响记乙能答对的题数为 y，则 y 的数学期望为_解析：由题意知 y 的可能取值为 0，1，2，3，且 yb3，23 ，则 e(y)3232.答案：23一个人将编号为 1，2，3，4 的四个小球随机放入编号为 1，2，3，4 的四个盒子，每个盒子放一个小球，球的

7、编号与盒子的编号相同时就放对了，否则就放错了设放对个数记为，则的期望值为_解析：将四个不同小球放入四个不同盒子，每个盒子放一个小球，共有 a44种不同放法，放对的个数可取的值有 0，1，2，4，其中 p(0)9a4438，p(1)c142a4413，p(2)c24a4414，p(4)1a44124，e()03811321441241.答案：1考点一均值与方差的计算(基础型)复习指导|理解取有限值的离散型随机变量均值、方差的概念核心素养：数学运算1已知某离散型随机变量 x 服从的分布列如表，则随机变量 x 的方差 d(x)等于()x01pm2ma19b29c13d23解析：选 b法一：由 m2m

8、1 得 m13，所以 e(x)01312323，d(x)02321312322329.法二：由 m2m1 得 m13，根据两点分布的期望和方差公式可得 e(x)23，d(x)23123 29.2有 10 张卡片，其中 8 张标有数字 2，2 张标有数字 5，从中任意抽出 3 张卡片，设 3张卡片上的数字之和为 x，则 x 的数学期望是()a7.8b8c16d15.6解析：选 ax 的取值为 6，9，12，相应的概率p(x6)c38c310715，p(x9)c28c12c310715，p(x12)c18c22c310115.e(x)67159715121157.8.3某班举行了一次“心有灵犀”的

9、活动，教师把一张写有成语的纸条出示给 a 组的某个同学， 这个同学再用身体语言把成语的意思传递给本组其他同学 若小组内同学甲猜对成语的概率是 0.4，同学乙猜对成语的概率是 0.5，且规定猜对得 1 分，猜不对得 0 分，这两个同学各猜 1 次，则他们的得分之和 x 的数学期望为()a0.9b0.8c1.2d1.1解析：选 a由题意，x0，1，2，则 p(x0)0.60.50.3，p(x1)0.40.50.60.50.5，p(x2)0.40.50.2，所以 e(x)00.310.520.20.9.求均值与方差的方法技巧技巧方法适用题型巧用特殊分布列利用相应公式直接求解两点分布、二项分布巧借性质

10、利用 e(axb)ae(x)bd(axb)a2d(x)两随机变量有明确的线性关系利用公式d(x)e(x2)e(x)2计算复杂的方差考点二二项分布的均值与方差(应用型)复习指导|能计算二项分布的均值与方差核心素养：数学建模雾霾天气对人体健康有伤害，应对雾霾污染、改善空气质量的首要任务是控制pm 2.5，要从压减燃煤、严格控车、调整产业、强化管理、联防联控、依法治理等方面采取重大举措，聚焦重点领域，严格考核指标某省环保部门为加强环境执法监管，派遣四个不同的专家组对 a、b、c 三个城市进行治霾落实情况抽查(1)若每个专家组随机选取一个城市，四个专家组选取的城市可以相同，也可以不同，求恰有一个城市没

11、有专家组选取的概率；(2)每一个城市都要由四个专家组分别对抽查情况进行评价，并对所选取的城市进行评价，每个专家组给检查到的城市评价为优的概率为12，若四个专家组均评价为优则检查通过不用复检，否则需进行复检设需进行复检的城市的个数为 x，求 x 的分布列和期望【解】(1)随机选取，共有 3481 种不同方法，恰有一个城市没有专家组选取的有 c13(c14a22c24)42 种不同方法，故恰有一个城市没有专家组选取的概率为42811427.(2)设事件 a：“一个城市需复检”，则 p(a)11241516，x 的所有可能取值为 0，1，2，3，p(x0)c03116314 096， p(x1)c1

12、3116215161454 096， p(x2)c231161151626754 096，p(x3)c33151633 3754 096.所以 x 的分布列为x0123p14 096454 0966754 0963 3754 096xb3，1516 ，e(x)315164516.(1)求离散型随机变量的均值与方差的步骤理解的意义，写出可能的全部取值；求取每个值的概率；写出的分布列；由均值的定义求 e()；由方差的定义求 d()(2)二项分布的期望与方差如果b(n，p)，则用公式 e()np；d()np(1p)求解，可大大减少计算量提醒均值 e(x)由 x 的分布列唯一确定，即 x 作为随机变量

13、是可变的，而 e(x)是不变的，它描述 x 取值的平均水平电子商务在我国发展迅猛，网上购物成为很多人的选择某购物网站组织了一次促销活动，在网页的界面上打出广告：高级口香糖，10 元钱三瓶，有 8 种口味供您选择(其中有 1 种为草莓口味)小王点击进入网页一看，只见有很多包装完全相同的瓶装口香糖排在一起，看不见具体口味，由购买者随机点击进行选择(各种口味的高级口香糖均超过三瓶，且各种口味的瓶数相同，每点击选择一瓶后，网页自动补充相应的口香糖)(1)小王花 10 元钱买三瓶，请问小王收到货的组合方式共有多少种？(2)小王花 10 元钱买三瓶，由小王随机点击三瓶，请列出有小王喜欢的草莓味口香糖的瓶数

14、的分布列，并计算其数学期望和方差解：(1)若三瓶口味均不一样，有 c3856(种)；若其中两瓶口味一样，有 c18c1756(种)；若三瓶口味一样，有 8 种故小王收到货的组合方式共有 56568120(种)(2)所有可能的取值为 0，1，2，3.因为各种口味的高级口香糖均超过 3 瓶，且各种口味的瓶数相同，有 8 种不同口味，所以小王随机点击一次是草莓味口香糖的概率为18，即随机变量服从二项分布，即b3，18 .p(0)c031801183343512，p(1)c131811182147512，p(2)c23182118121512，p(3)c3318311801512.所以的分布列为012

15、3p343512147512215121512数学期望 e()np31838，方差 d()np(1p)318782164.考点三均值与方差的实际应用(应用型)复习指导|能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题核心素养：数学建模某种产品的质量以其质量指标值衡量，并按照质量指标值划分等级如下：质量指标值 mm8585m105m105等级三等品二等品一等品现在从某企业生产的这种产品中随机抽取了 200 件作为样本， 检验其质量指标值， 得到了如下频率分布直方图现给出三个条件：y0.02.质量指标值不超过 95 的有 65 件质量指标值的中位数是6056.从中选一个填入下面的横线上，

16、并回答问题若_(1)在样品中，按照产品等级用分层抽样的方法抽取 8 件，再从这 8 件产品中任取 4 件，求 4 件产品中三等品、二等品、一等品都有的概率；(2)若将频率视为概率，已知该企业每销售一件此产品中的一等品的利润为 10 元，销售一件二等品和三等品的利润都是 6 元， 那么销售 600 件此种产品， 所获利润的期望值是多少元？【解】若选y0.02.则有(0.002 50.0090.010.020.0260.002 5x)101，解得 x0.03.(1)由频率分布直方图可知，样品中三等品、二等品、一等品的频率分别为(0.002 50.01)100.125，(0.020.03)100.5

17、，(0.0260.0090.002 5)100.375，所以样品中三等品、二等品、一等品的件数分别为 25，100，75.若按照产品等级用分层抽样的方法抽取 8 件产品，那么应抽取的三等品、二等品、一等品的件数分别为 1，4，3.从这 8 件产品中任取 4 件，共有 c48种等可能的取法，其中三等品、二等品、一等品都有的取法有 c11(c14c23c24c13)种故 4 件产品中三等品、二等品、一等品都有的概率 pc11(c14c23c24c13)c4837.(2)由(1)知，从该企业此产品中任取一件，其中是一等品的概率为 0.375，是二等品或三等品的概率为 0.625.设从此产品中任取一件

18、并销售所得的利润为，则的分布列为106p0.3750.625因此 e()100.37560.6257.5(元)故销售 600 件此种产品，所获利润的期望值为 600e()6007.54 500(元)若选，质量指标值不超过 95 的有 65 件则有(0.002 50.01y)1020065.解得 y0.02.下与选相同若选，质量指标值的中位数是6056，则1056056x(0.0260.0090.002 5)100.5.解得 x0.03.下与选相同均值与方差的实际应用(1)d(x)表示随机变量 x 对 e(x)的平均偏离程度，d(x)越大表明平均偏离程度越大，说明 x 的取值越分散；反之，d(x

19、)越小，x 的取值越集中在 e(x)附近，统计中常用 d(x)来描述 x 的分散程度(2)随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量取值偏离于均值的程度， 它们从整体和全局上刻画了随机变量， 是生产实际中用于方案取舍的重要的理论依据，一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定(2020湖北武汉模拟)某保险公司对一个拥有 20 000 人的企业推出一款意外险产品，每年每位职工只要交少量保费，发生意外后可一次性获得若干赔偿金，保险公司把企业的所有岗位共分为 a， b， c 三类工种， 从事这三类工种的人数分别为 12 000， 6 000，2 000，由历史数据统计出三类工种的

20、赔付频率如表(并以此估计赔付概率)：工种类别abc赔付频率110521051104已知 a，b，c 三类工种的职工每人每年保费分别为 25 元、25 元、40 元，出险后的赔偿金额分别为 100 万元、100 万元、50 万元，保险公司在开展此项业务过程中的固定支出为每年 10 万元(1)求保险公司在该业务所获利润的期望值；(2)现有如下两个方案供企业选择：方案 1：企业不与保险公司合作，职工不交保险，出意外企业自行拿出与保险公司提供的等额赔偿金赔偿付给意外职工，企业开展这项工作的固定支出为每年 12 万元；方案 2：企业与保险公司合作，企业负责职工保费的 70%，职工个人负责保费的 30%，

21、出险后赔偿金由保险公司赔付，企业无额外专项开支请根据企业成本差异给出选择合适方案的建议解：(1)设工种 a，b，c 职工的每份保单保险公司的收益为随机变量 x，y，z，则 x，y，z 的分布列分别为x2525100104p111051105y2525100104p121052105z404050104p111041104所以 e(x)2511105(25100104)110515，e(y)2512105(25100104)21055，e(z)4011104(4050104)110410，保险公司所获利润的期望值为 12 000156 00052 00010100 00090 000，所以保险公

22、司在该业务所获利润的期望值为 9 万元(2)方案 1：企业不与保险公司合作，则企业每年安全支出与固定开支共为 1200010010411056 00010010421052 0005010411041210446104；方案 2：企业与保险公司合作，则企业支出保险金额为(12 000256 00025200040)0.737.1104.因为 4610437.1104，所以建议企业选择方案 2.考点四正态分布(基础型)复习指导|认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义核心素养：数学抽象1设随机变量 x 服从正态分布 n(，2)，若 p(x4)p(x0)，则()a1b2c3d4解析：选 b正态曲线

23、关于直线 x对称，若 p(x4)p(x0)，则4022.2 已知随机变量 x 服从正态分布 n(3， 1)， 且 p(x4)0.158 7， 则 p(2x4)()a0.682 6b0.341 3c0.460 3d0.920 7解析： 选 a 因为随机变量 x 服从正态分布 n(3， 1)， 且 p(x4)0.158 7， 所以 p(x2)0.158 7，所以 p(2x4)1p(x2)p(x4)0.682 6，故选 a3 某校在一次月考中有 900 人参加考试， 数学考试的成绩服从正态分布 xn(90， a2)(a0，试卷满分 150 分)，统计结果显示数学考试成绩在 70 分到 110 分之间

24、的人数约为总人数的35，则此次月考中数学考试成绩不低于 110 分的学生约有_人解析：因为成绩服从正态分布 xn(90，a2)，所以其正态分布曲线关于直线 x90 对称，又因为成绩在 70 分到 110 分之间的人数约为总人数的35，由对称性知成绩在 110 分以上的人数约为总人数的12135 15， 所以此次数学考试成绩不低于 110 分的学生约有15900180(人)答案：180服从 n(，2)的随机变量 x 在某个区间内取值的概率的求法(1)利用 p(x)，p(2x2)，p(3x3)的值直接求；(2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与 x 轴之间的面积为 1 这些特殊性质求解基础题组练1已

25、知随机变量服从正态分布 n(2，2)，且 p(4)0.8，则 p(04)()a0.6b0.4c0.3d0.2解析：选 a由 p(4)0.8，得 p(4)0.2.又正态曲线关于 x2 对称，则 p(0)p(4)0.2，所以 p(04)1p(0)p(4)0.6.2口袋中有编号分别为 1，2，3 的三个大小和形状相同的小球，从中任取 2 个，则取出的球的最大编号 x 的期望为()a13b23c2d83解析：选 d因为口袋中有编号分别为 1，2，3 的三个大小和形状相同的小球，从中任取 2 个，所以取出的球的最大编号 x 的可能取值为 2，3，所以 p(x2)1c2313，p(x3)c12c11c23

26、23，所以 e(x)21332383.3(多选)甲、乙两类水果的质量(单位：kg)分别服从正态分布 n(1，21)，n(2，22)，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法正确的是()a甲类水果的平均质量10.4 kgb甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右c甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小d乙类水果的质量服从的正态分布的参数21.99解析： 选 abc 由图象可知甲图象关于直线 x0.4 对称， 乙图象关于直线 x0.8 对称，所以10.4，20.8，12，故 a 正确，c 正确；因为甲图象比乙图象更“高瘦”，所以甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右，故 b 正

27、确；因为乙图象的最大值为 1.99，即1221.99，所以21.99，故 d 错误4已知随机变量 x8，若 xb(10，0.6)，则 e()，d()分别是()a6，2.4b2，2.4c2，5.6d6，5.6解析：选 b由已知随机变量 x8，所以8x.因此，求得 e()8e(x)8100.62，d()(1)2d(x)100.60.42.4.5某篮球队对队员进行考核，规则是每人进行 3 个轮次的投篮；每个轮次每人投篮 2 次，若至少投中 1 次，则本轮通过，否则不通过已知队员甲投篮 1 次投中的概率为23.如果甲各次投篮投中与否互不影响，那么甲 3 个轮次通过的次数 x 的期望是()a3b83c2

28、d53解析：选 b在一轮投篮中，甲通过的概率为 p89，未通过的概率为19.由题意可知，甲3 个轮次通过的次数 x 的可能取值为 0，1，2，3，则 p(x0)1931729，p(x1)c13891192247298243，p(x2)c2389219119272964243，p(x3)893512729.所以随机变量 x 的分布列为x0123p1729824364243512729数学期望 e(x)0172918243264243351272983.6若随机变量的分布列如下表所示，e()1.6，则 ab_0123p0.1ab0.1解析：易知 a，b0，1，由 0.1ab0.11，得 ab0.8

29、，又由 e()00.11a2b30.11.6，得 a2b1.3，解得 a0.3，b0.5，则 ab0.2.答案：0.27已知某公司生产的一种产品的质量 x(单位：克)服从正态分布 n(100，4)，现从该产品的生产线上随机抽取 10 000 件产品，其中质量在98，104内的产品估计有_件(附：若 x 服从 n(，2)，则 p(x)0.682 7，p(2x20.954 5)解析：由题意可得，该正态分布的对称轴为 x100，且2，则质量在96，104内的产品的概率为 p(2x2)0.954 5，而质量在98，102内的产品的概率为 p(x)0.682 7，结合对称性可知，质量在98，104内的产

30、品的概率为 0.682 70.954 50.682 720.818 6，据此估计质量在98，104内的产品的数量为 10 0000.818 68186(件)答案：8 1868(2020浙江浙北四校模拟)已知袋子中有大小相同的红球 1 个，黑球 2 个，从中任取2 个设表示取到红球的个数，则 e()_，d()_解析：从袋中 3 个球中任取 2 个球，共有 c23种取法，则其中的可能取值为 0，1，且服从超几何分布，所以 p(0)c22c2313，p(1)c11c12c2323，所以 e()01312323，d()02321312322329.答案：23299若 n 是一个三位正整数，且 n 的个

31、位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称 n 为“三位递增数”(如 137，359，567 等)在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取 1 个数，且只能抽取一次得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被 5 整除，参加者得 0 分；若能被 5 整除，但不能被 10 整除，得1 分；若能被 10 整除，得 1 分(1)写出所有个位数字是 5 的“三位递增数”；(2)若甲参加活动，求甲得分 x 的分布列和数学期望 e(x)解：(1)个位数字是 5 的“三位递增数”有 125，135，145，235，245，345.(2)由题意知， 全部“三位递增数”

32、的个数为 c3984， 随机变量 x 可能的取值为 0， 1，1，因此 p(x0)c38c3923，p(x1)c24c39114，p(x1)1114231142，所以 x 的分布列为x011p231141142则 e(x)023(1)11411142421.10已知 6 只小白鼠中有 1 只感染了病毒，需要对 6 只小白鼠进行病毒 dna 化验来确定哪一只受到了感染下面是两种化验方案：方案甲：逐个化验，直到能确定感染病毒的小白鼠为止方案乙：将 6 只小白鼠分为两组，每组三只，将其中一组的三只小白鼠的待化验物质混合在一起化验，若化验结果显示含有病毒 dna，则表明感染病毒的小白鼠在这三只当中，然

33、后逐个化验，直到确定感染病毒的小白鼠为止；若化验结果显示不含病毒 dna，则在另外一组中逐个进行化验(1)求执行方案乙化验次数恰好为 2 次的概率；(2)若首次化验的化验费为 10 元，第二次化验的化验费为 8 元，第三次及以后每次化验的化验费都是 6 元，求方案甲所需化验费的分布列和期望解：(1)执行方案乙化验次数恰好为 2 次的情况分两种：第一种，先化验一组，结果显示不含病毒 dna，再从另一组中任取一只进行化验，其恰含有病毒 dna，此种情况的概率为c35c361c1316；第二种，先化验一组，结果显示含病毒 dna，再从中逐个化验，恰好第一只含有病毒，此种情况的概率为c25c361c1

34、316.所以执行方案乙化验次数恰好为 2 次的概率为161613.(2)设用方案甲化验需要的化验费为(单位：元)，则的可能取值为 10，18，24，30，36.p(10)16，p(18)561516，p(24)56451416，p(30)5645341316，p(36)5645342313，则化验费的分布列为1018243036p1616161613所以 e()10161816241630163613773(元)综合题组练1(2020湖北部分重点中学测试)为了研究学生的数学核心素养与抽象能力(指标 x)、推理能力(指标 y)、建模能力(指标 z)的相关性，将它们各自量化为 1，2，3 三个等级

35、，再用综合指标xyz 的值评定学生的数学核心素养， ，若7，则数学核心素养为一级；若56，则数学核心素养为二级；若 34，则数学核心素养为三级为了了解某校学生的数学核心素养，调查人员随机访问了某校 10 名学生，得到如下数据：学生编号a1a2a3a4a5(x，y，z)(2，2，3)(3，2，3)(3，3，3)(1，2，2)(2，3，2)学生编号a6a7a8a9a10(x，y，z)(2，3，3)(2，2，2)(2，3，3)(2，1，1)(2，2，2)(1)从这 10 名学生中任取 2 人，求这 2 人的建模能力指标相同条件下综合指标值也相同的概率；(2)从这 10 名学生中任取 3 人，其中数学核心素养等级是一级的学生人数记为 x，求随机变量 x 的分布列及数学期望解：(1)a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10 x2331222222y2232332312z3332232312w7895786846由题意可知，数学核心素养为三级的学生是 a9；数学