2022届高三数学一轮复习（原卷版）单元测试十

1、1一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1把红、黄、蓝、白 4 张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四人，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是()a对立事件b不可能事件c互斥但不对立事件d不是互斥事件解：显然两个事件不可能同时发生，但两者可能同时不发生，因为红牌可以分给乙、丙两人，综上，这两个事件为互斥但不对立事件故选 c2在区间(0，2)内随机取一个数 x，使得0tanx1 成立的概率是()a18b13c12d2解：由 0tanx1，且 x(0，2)，得 0 x4，故所求概率为4212故选 c3已知xax5的展开式中含 x32

2、的项的系数为 30，则 a()a 3b 3c6d6解： 展开式的通项 tr1cr5( x)5raxr(a)rcr5x5r2r2，展开式中含 x32的项的系数为 30，所以52r232，所以 r1，并且(a)1c1530，所以 a6故选 d4(2018合肥模拟)某小区有 1 000 户，各户每月的用电量近似服从正态分布 n(300，102)，则用电量在 320 度以上的户数约为()参考数据：若随机变量服从正态分布 n(，2)， 则p()6826%， p(22)9544%， p(3320)121p(280215(442x)，由此解得 x8，即 x 取 0，1，2，7时符合要求，因此所求概率为810

3、45故选 d8(2016沧州模拟)如图，在一个长为，宽为 2 的矩形 oabc 内， 曲线 ysinx(0 x)与 x 轴围成如图所示的阴影部分，向矩形 oabc 内随机投一点(该点落在矩形oabc内任意一点是等可能的)，则所投的点落在阴影部分的概率是()a1b2c4d3解 ： 由 定积 分 可求 得 阴影 部 分的 面 积为错误错误!sinxdxcosx|02， 矩形 oabc 的面积为 2，根据几何概型概率公式得所投的点落在阴影部分的概率为221故选 a9设(x21)(x1)9a0a1(x2)a2(x2)2a11(x2)11，则 a1a2a11()a5b4c3d2解：令 x20，则 x2，

4、(x21)(x1)95a0；令 x21，则 x1，(x21)(x1)90a0a1a2a11，所以 a1a2a11a05故选 a10(2017浙江)已知随机变量i满足 p(i1)pi，p(i0)1pi，i1，2若 0p1p212，则()ae(1)e(2)，d(1)d(2)be(1)d(2)ce(1)e(2)，d(1)e(2)，d(1)d(2)解：依题意，列分布列110pp11p1210pp21p2所以 e(1)p1，d(1)p1(1p1)；e(2)p2，d(2)p2(1p2)因为 0p1p212， 所以 e(1)0故选 a11体育课的排球发球项目考试的规则是每名学生最多可发球 3 次，一旦发球成

5、功，则停止发球否则一直发到 3 次为止设学生一次发球成功的概率为 p(p0)，发球次数为 x，若 x 的均值e(x)175，则 p 的取值范围是()a(0，712)b(712，1)c(0，12)d(12，1)解：x 的可能取值为 1，2，3，因为 p(x1)p，p(x2)(1p)p，p(x3)(1p)2，所以 e(x)p2p(1p)3(1p)2p23p3由 e(x)175，即 p23p3175，解得 p12(p52舍去)故 0p12故选 c12(2016江西新余二模)7 人站成两排队列，前排 3 人，后排 4 人，现将甲、乙、丙三人加入队列，前排加一人，后排加两人，其他人保持相对位置不变，则不

6、同的加入方法种数为()a120b240c360d480解：前排 3 人有 4 个空，从甲、乙、丙 3 人中选 1 人插入，有 c14c13种方法，对于后排，若插入的2 人不相邻有 a25种，若相邻有 c15c12种，故共有c14c13(a25c15c12)360(种)，故选 c二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共20 分13二项式x1x15的展开式中 x13的系数为_解：二项展开式的通项tr1cr15x15r(1)rxrcr15(1)rx152r，令 152r13r1，故所求为c11515故填1514已知高一年级某班有 63 名学生， 现要选 1名学生作为标兵， 每名学生被选中的概

7、率是相同的，若“选出的标兵是女生”的概率是“选出的标兵是男生”的概率的1011，则这个班男生的人数为_解：根据题意，设该班的男生人数为 x，则女生人数为 63x，因为每名学生被选中的概率是相同的， 根据古典概型的概率计算公式知， “选出的标兵是女生”的概率是63x63， “选出的标兵是男生”的概率是x63，故63x631011x63，解得 x33，故这个班男生的人数为 33故填 33315某班从 4 名男生、2 名女生中选出 3 人参加志愿者服务，若选出的男生人数为，则的方差d()_所以的均值 e()1152353152， d()(12)215(22)235(32)21525故填2516(20

8、16湖北模拟) 设 区 域 (x ，y)|0 x2，0y2，区域 a(x，y)|xy1，(x，y)，在区域中随机取一个点，则该点恰好在区域 a 中的概率为_解：在平面直角坐标系中画出区域和 a，则区域的面积为 4， 区域 a 的面积分成两小块： 一是小长方形的面积，二是曲线 y1x(x0)与 x12，x2，y0 所围成的曲边梯形的面积，则区域 a 的面积 sa1222121xdx12ln2根据几何概型的概率计算公式可知该点恰好落在区域 a 中的概率pa 的面积的面积12ln24故填12ln24三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(10 分)(2017北京东城区二模

9、)小明计划在 8 月 11 日至 8 月 20 日期间游览某主题公园根据旅游局统计数据，该主题公园在此期间“游览舒适度”(即在园人数与景区主管部门核定的最大瞬时容量之比， 40%以下为舒适， 40%60%为一般， 60%以上为拥挤)情况如图所示小明随机选择 8 月 11日至 8 月 19 日中的某一天到达该主题公园， 并连续游览两天(1)求小明连续两天都遇上拥挤的概率；(2)设 x 是小明游览期间遇上舒适的天数，求 x的分布列和数学期望解：设 ai表示事件“小明从 8 月 11 日起第 i日连续两天游览主题公园(i1，2，9)”根据题意，p(ai)19，且 ai与 aj互斥(ij)(1)设 b

10、 为事件“小明连续两天都遇上拥挤”，则 ba4a7所以 p(b)p(a4a7)p(a4)p(a7)29(2)由题意，可知 x 的所有可能取值为 0，1，2，p(x0)p(a4a7a8)p(a4)p(a7)p(a8)13，p(x1)p(a3a5a6a9)p(a3)p(a5)p(a6)p(a9)49，p(x2)p(a1a2)p(a1)p(a2)29所以 x 的分布列为x012p134929故 x 的数学期望 e(x)0131492298918(12分)为了评估天气对某市运动会的影响，制定相应预案， 该市气象局通过对最近 50 多年气象数据资料的统计分析，发现 8 月份是该市雷电天气高峰期，在 31

11、 天中平均发生雷电 1457 天(如图所示)如果用频率作为概率的估计值，并假定一个月中每一天发生雷电的概率均相等，且相互独立(1)求在该市运动会开幕(8 月 12 日)后的前 3 天4比赛中，恰好有 2 天发生雷电天气的概率(精确到001)；(2)设运动会期间(8 月 12 日至 23 日， 共 12 天)，发生雷电天气的天数为 x，求 x 的均值和方差解：(1)设 8 月份一天中发生雷电天气的概率为p，由已知，得 p145731047因为每一天发生雷电天气的概率均相等，且相互独立，所以在运动会开幕后的前 3 天比赛中，恰好有 2 天发生雷电天气的概率 pc230472(1047)035(2)

12、由题意，知 xb(12，047)所以 x 的均值 e(x)12047564，x 的方差 d(x)12047(1047)2989219(12 分)厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品(1)若厂家库房中的每件产品合格的概率为08，从中任意取出 4 件进行检验，求至少有 1 件是合格品的概率；(2)若厂家发给商家 20 件产品，其中有 3 件不合格，按合同规定商家从这 20 件产品中任取 2 件，都进行检验，只有 2 件都合格时才接收这批产品，否则拒收求该商家可能检验出的不合格产品的件数的分布列及数学期望

13、e()， 并求该商家拒收这批产品的概率解：(1)记“厂家任取 4 件产品检验，其中至少有 1 件是合格品”为事件 a，用对立事件a来算，有 p(a)1p(a)10240998 4(2)可能的取值为 0，1，2，故的分布列为012p6895511903190e()0689515119023190310记“商家任取 2 件产品检验，都合格”为事件b， 则商家拒收这批产品的概率 p1p(b)168952795所以商家拒收这批产品的概率为279520(12 分)从某企业生产的某种产品中抽取500 件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图(1)求这 500 件产品质量指标值的样本

14、平均数x和样本方差 s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值z 服从正态分布 n(，2)，其中近似为样本平均数x，2近似为样本方差 s2利用该正态分布，求 p(1878z2122)；某用户从该企业购买了 100 件这种产品，记x 表示这 100 件产品中质量指标值位于区间(1878，2122)的产品件数利用的结果，求 e(x)附： 150122若 zn(， 2)， 则 p(z)06826，p(2z2)0954 4解：(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数x和样本方差 s2分别为x17000218000919002220003321002422

15、0008230002200，s2(30)2002(20)2009(10)20220033102024202008302002150(2)由(1)知，zn(200，150)，从而p(1878z2122)p(200122z200122)0682 6由知，一件产品的质量指标值位于区间(1878，2122)的概率为 0682 6，依题意知 x5b(100，0682 6)，所以 e(x)1000682 6682621(12 分)将某质地均匀的正十二面体玩具的十二个面上分别标记数字 1，2，3，12抛掷该玩具一次，记事件 a：向上的面标记的数字是完全平方数(即能写成整数的平方形式的数， 如 932，9 是

16、完全平方数)(1)甲、乙二人利用该玩具进行游戏，并规定：甲抛掷该玩具一次，若事件 a 发生，则向上一面的点数的 6 倍为甲的得分； 若事件 a 没有发生，则甲得 0 分；乙抛掷该玩具一次，将向上的一面对应数字作为乙的得分()甲、乙二人各抛掷该玩具一次，求二人得分的均值；()甲、乙二人各抛掷该玩具一次，求甲的得分不低于乙的概率；(2)抛掷该玩具一次，记事件 b：向上一面的点数不超过 k(1k12)若事件 a 与 b 相互独立，试求出所有的整数 k解：(1)设甲、乙二人抛掷该玩具后，得分分别为 x，y()易得 x，y 的分布列分别为点数149其他x624540p112112112912点数1212

17、y1212p112112112故 e(x)7，e(y)132()pp(x6，1y6)p(x24)p(x54)112612112112524(2)易知抛掷该玩具一次，基本事件总数为 12，事件 a 包含 3 个基本事件(1 点，4 点，9 点)记 n(ab)，n(b)分别表示事件 ab，b 包含的基本事件数，由 p(ab)p(a)p(b)及古典概型，得n（ab）12312n（b）12，所以n(b)4n(ab)，*故 b 事件包含的基本事件数必为 4 的倍数，即 k4，8，12当 k4 时，n(b)4，ab1，4，n(ab)2，不符合*；当 k8 时，n(b)8，ab1，4，n(ab)2，符合*；

18、当 k12 时，n(b)12，ab1，4，9，n(ab)3，符合*；故 k 的值可能是 8 或 1222(12 分)计划在某水库建一座至多安装 3 台发电机的水电站，过去 50 年的水文资料显示，水库年入流量 x(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米)都在 40 以上其中，不足80 的年份有 10 年，不低于 80 且不超过 120 的年份有 35 年，超过 120 的年份有 5 年将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立(1)求未来 4 年中，至多有 1 年的年入流量超过120 的概率；(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量 x 限制，并有如下关系：年入流量 x40x120发电机最多可运行台数123若某台发电机运行，则该台年利润为 5 000 万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损 800 万元欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？解：(1)