(完整版)《抛物线》典型例题12例(含标准答案)

1、抛物线典型例题1抛物线典型例题12例典型例题一例 1 指出抛物线的焦点坐标、准线方程.(1)x24y(2)x ay2(a 0)分析：(1)先根据抛物线方程确定抛物线是四种中哪一种，求出p,再写出焦点坐标和准线方程.(2) 先把方程化为标准方程形式，再对 a 进行讨论，确定是哪一种后，求 p 及 焦点坐标与准线方程.解：(1)p 2，二焦点坐标是(0, 1),准线方程是：y 1(2)原抛物线方程为：y26，2p -1a|a|1当a 0时，卫，抛物线开口向右，2 4a焦点坐标是(丄,0)，准线方程是：x .4a4a2当a 0时，卫，抛物线开口向左，2 4a11二焦点坐标是(,0)，准线方程是：x

2、.4a4a综合上述，当a 0时，抛物线x ay2的焦点坐标为(丄,0)，准线方程是：4a1x4a典型例题二例 2 若直线 y kx 2 与抛物线y28x交于 A、B 两点，且 AB 中点的横坐标为 2，求此直线方程.分析：由直线与抛物线相交利用韦达定理列出 k 的方程求解.另由于已知与直 线斜率及弦中点坐标有关，故也可利用作差法”求 k.y kx 2解法一：设A(x1, y1)B(x2,y2)，则由：2可得：y 8x2 2抛物线典型例题2k x (4k 8)x 40.直线与抛物线相交，k 0且0，则k 1.抛物线典型例题3x1x22 解得：k 2或k 1（舍去）.故所求直线方程为：y 2x 2

3、 .2或k 1（舍去）.则所求直线方程为：y 2x 2 .典型例题三例 3 求证：以抛物线的焦点弦为直径的圆心与抛物线的准线相切.分析：可设抛物线方程为y22px（p 0）.如图所示，只须证明 竺MM1,2111MM12（AA| BB1I） -（AF |BF）|AB1MM2AB，故以 AB 为直径的圆，必与抛物线的准线相切.说明：类似有：以椭圆焦点弦为直径的圆与相对应的准线相离，以双曲线焦点弦为直径的圆与相应的准线相交.典型例题四例 4（ 1）设抛物线y24x被直线 y 2x k 截得的弦长为3.5，求 k 值.（2）以（1）中的弦为底边，以 x 轴上的点 P 为顶点作三角形，当三角形的面 A

4、B 中点横坐标为:解法二：设A(x1, y1)B(x2,y2),则有y122y2两式作差解：（丫2）（仏y2）8（X1X2），即Ay2x-ix2yiy2为X24y1y2kx12 kx22 k(x1x2)44k 4，则以 AB 为直径的圆，必与抛物线准线相切.1y证明：作AA l于A,BB1l于B. M 为 AB 中点，作* 抛物线典型例题4积为 9 时，求 P 点坐标.分析：(1)题可利用弦长公式求 k, (2)题可利用面积求高，再用点到直线距 离求 P点坐标.设直线与抛物线交于A(x1, y1)与B(x2,y2)两点.则有：洛x?1 k,人x?AB| J(1 22)(% X2)2$5(X1X

5、2)24x1X2V5(1 k)2k2J 5(1 2 k)AB 3 怎 5(1 2 k)3/5，即k 4(2)S 9，底边长为3.5,A三角形高 h2 9 6卫3755点 P 在 x 轴上，.设 P 点坐标是(X0,O)则点 P 到直线 y 2x 4 的距离就等于 h,即2X00 4牡J22125Xo1或Xo5，即所求 P 点坐标是(一 1，0)或(5，0).典型例题五例 5 已知定直线 I 及定点 A (A 不在 I 上)，n 为过 A 且垂直于 I 的直线，设 N 为 I 上任一点，AN 的垂直平分线交 n 于 B,点 B 关于 AN 的对称点为 P,求证 P 的轨迹为抛物线.分析：要证 P

6、 的轨迹为抛物线，有两个途径，一个证明P 点的轨迹符合抛物线的定义，二是证明 P 的轨迹方程为抛物线的方程，可先用第一种方法，由A 为定点，I 为定直线，为我们提供了利用定义的信息，若能证明PA PN且PN I即可.证明：如图所示，连结 FA、PN、NB.由已知条件可知：PB 垂直平分 NA,且 B 关于 AN 的对称点为 P. AN也垂直平分 PB.则四边形 PABN 为菱形.即有PA PN.AB I. PN I.解：(1)由y 4X得：4x2y 2x k(4k 4)x k2抛物线典型例题5则 P 点符合抛物线上点的条件：到定点 A 的距离与到定直线的距离相等，所以P 点的轨迹为抛物线.典型

7、例题六例 6 若线段RP2为抛物线C: y22px（p 0）的一条分析：此题证的是距离问题，如果把它们用两点间 的距离表示出来，其计算量是很大的我们可以用 抛物线的定义，巧妙运用韦达定理，也可以用抛物 线的定义与平面几何知识，把结论证明出来.证法一：F（-P,0），若过 F 的直线即线段PP2所在直线斜率不存在时，1则有RFP2F P，-PF P2F p且设F；(x1,y1), P2(x2, y2).2P(k 2) k2X1X2焦点弦，F 为 C 的焦点，求证:1 1 2 RF|时| P若线段PR所在直线斜率存在时,设为k，则此直线为:y k（x ）（k 0），k（x夕）2得： 得:k（x夕）

8、2k2x2P(k22)xk2p4X1X2抛物线典型例题6根据抛物线定义有:1 IPF|RFP2Fx-ix2X1p P1P2x1x2|RF| |RF| IP1FIIP2F（为X1x1x2_P(x1x2)2X2P _2_P_4抛物线典型例题47请将代入并化简得：RF R2F p证法二：如图所示，设R、P2、F 点在 C 的准线 I 上的射影分别是 R、P2、p(m n) 2mn丄i 2 m n p故原命题成立.典型例题七2 px( p 0)，过焦点 F 的弦 AB 的倾斜角为，求2p2. sin分析：此题做法跟上题类似，也可采用韦达定理与抛物线定义解决问题.证法一：抛物线y22px(p 0)的焦点

9、为(,0)， 过焦点的弦 AB 所在的直线方程为：y tan(x 自又yiy2tan(捲x2)F，且不妨设 R2R2B 点，由抛物线定义知,BF| n,|RF m, FF又F2AFsR2BRi，AF|BR|RF2R|例 7 设抛物线方程为证：焦点弦长为|AB由方程组y tan (xy22px2 消去 y 得:2 2 24x tan4p(tan )2tan2XiX2设A(xi, yi), B(X2, y2)，则XiX22p(tan22)p(i 2cot2)tan2_p_RiRi，又设R2点在 FF、抛物线典型例题8AB J(1 tan2)(人x?)2(1 tan2) (x x2)24%X2i(1

10、 tan2) p2(1 cot2) 4；sec 4p2cot2(1 cot2)厂.4Psin4P2sin即 AB孝sin证法二：如图所示，分别作 AR、BB!垂直于准线 I .由抛物线定义有:AF|AA| |AF|cos p BF| |BB,| p |BF| cosp_p_1 cos1 cos2p1 cos2p2sin典型例题八例 8 已知圆锥曲线 C 经过定点P(3,2J3)，它的一个焦点为 F (1, 0),对应于 该焦点的准线为x 1，过焦点 F 任意作曲线 C 的弦 AB,若弦 AB 的长度不超 过 8,且直线 AB与椭圆3x22y22相交于不同的两点，求(1) AB 的倾斜角 的取值

11、范围.于是可得出：AFAB| |AF BFp1 cosBFp1 cos故原命题成立.抛物线典型例题9（2）设直线 AB 与椭圆相交于 C、D 两点，求 CD 中点 M 的轨迹方程.分析：由已知条件可确定出圆锥曲线 C 为抛物线，AB 为抛物线的焦点弦，设曲线 C 是抛物线，其方程为y24x k 存在.设 AB 的方程为 y k（x 1）4x可得：ky24y 4k 0k(x 1)tan 3或,3 tan其斜率为 k,弦 AB 与椭圆相交于不同的两点，可求出k 的取值范围，从而可得的取值范围，求 CD 中点 M 的轨迹方程时，可设出 化简即可.的坐标，利用韦达定理解：（1）由已知得 PF 4 .故

12、 P 到x 1的距离d从而 PF设直线 AB 的斜率为 k,若 k 不存在，则直线 AB 与3x22y22无交点.设 A、B 坐标分别为（xyj、（X22），则:y1yiy2AB(iy1y2)2f Sy2)2k4(1 k2)4yyk2弦AB的长度不超过8,4(12)8即 k2k2由y2k(x21)得：W3x 2y 23)x24k2x 2(k21) 0 AB 与椭圆相交于不同的两点,k2由 k21 和 k23 可得：1 k抛物线典型例题10，二所求的取值范围是:34(2)设 CD 中点 M(x,y)、C(x3,y3)、Dg y4)抛物线典型例题11到 y 轴的距离的最小值，并求出此时 AB 中点

13、的坐标.分析：线段 AB 中点到 y 轴距离的最小值，就是其横坐标的最小值.这是中点坐标问题，因此只要研究 A、B 两点的横坐标之和取什么最小值即可.解：如图，设 F 是y2x的焦点，A、B 两点到准线的垂线分别是AC、BD，又 M 到准线的垂线为MN,C、D 和N是垂足，则N0由y2k(x21)得:3x 2y 2(2k23)x24k2x 2(k21)X34k2x42,x32k 3ci2X3X42k22k233122k 3k232k23 91 V2k22(k21)2k232k22k2322 亠 (x 1)222 亠(x 1)2化简得：3x22y23x所222y23x 0( x )53典型例题九

14、例 9 定长为 3 的线段 AB 的端点 A、B 在抛物线y2x上移动，求 AB 的中点抛物线典型例题12CK抛物线典型例题131 1MN -(AC BD) -(AF BF) 设 M 点的横坐标为x，纵坐标为 y, 等式成立的条件是 AB过点 F .51当 x 一时，yyP2一，故44. 、2 2 2 ._ 1 _ (%目2 * y22yy 2x 2 2，y1y22，y一J25所以M (一，2)，此时 M 到 y 轴的距离的最小值为-42y4说明：本题从分析图形性质出发，把三角形的性质应用到解析几何中，解法较简.典型例题十例 10 过抛物线 y 2px 的焦点 F 作倾斜角为 的直线，交抛物线

15、于 A、B 两点，求 AB 的最小值.22I244p esc (1厂)4p esctan2ABMN x 1，则 x分析：本题可分和2式，再求范围.2 两种情况讨论当时，先写出|AB 的表达抛物线典型例题14解：若 2，此时 AB 2p .若-，因AB：y tan (x2，即x盘代入抛物线方程，有 y20.P2 .p20.故(y2yJ24P2tan22 2 24p 4 p esc(X2Xj2tan24p22CSCtan2抛物线典型例题15综合，当-时，AB最小值2p 说明:(3)当一时，AB 叫做抛物线的通径通径是最短的焦点弦.2典型例题十一例 11 过抛物线y22px(p 0)的焦点 F 作弦

16、 AB , I 为准线，过 A、B 作 I 的垂线，垂足分别为 A、B，则AFB为()， AFB 为( ).A.大于等于90B.小于等于90C.等于90D 不确定分析：本题考查抛物线的定义、直线与圆的位置关系等方面的知识，关键是求 角的大小以及判定直线与圆是否相切.解：点 A 在抛物线上，由抛物线定义，则 AAAF 12，又 AA/ x 轴13. 23，同理46，而2364 180，二36 90，所以 AB 一 1 2p 因sin2，所以这里不能取(1)此题须对分-和两种情况进行讨论;(2)从解题过程可知，抛物线点弦长公式为2psin2抛物线典型例题16 AFB90 .选 C.过 AB 中点 M 作 MMl，垂中为 M，抛物线典型例题17以 AB 为直径的圆与直线 I 相切，切点为 M又 F在圆的外部， AFB 90 .即 AFB 90，选 B.典型例题十二例 12 已知点 M(3,2)，F 为抛