(完整word版)房贷计算器原理(word文档良心出品)

1、1.等本息法月还款额计算公式的推导在上一篇随笔用C#写个人住房贷款计算器”中提到，等本息法在利率不变的情况下, 每月的还款额是固定的，所以也称为等额法”，计算公式如下：现在就让我们来推导出这个公式吧。我们知道，等本息法的计算方法如下：本月月还利息=上月剩余贷款余额x月利率本月月还本金=月还款额-本月月还利息本月剩余贷款余额=上月剩余贷款余额-本月月还本金因此:本月剩余贷款余额=上月剩余贷款余额=上月剩余贷款余额=上月剩余贷款余额=上月剩余贷款余额=上月剩余贷款余额-本月月还本金-（月还款额-本月月还利息）-月还款额+本月月还利息-月还款额+上月剩余贷款额x 月利率x （1 +月利率）-月还款额

2、设:A =贷款金额r =月利率n =期数z =月还款额这样，各个月的剩余贷款余额如下表:期数剩余贷款余额0AA1A(1+r)- zA(1+r)- z2A(1+r)- z(1+r)- zA(1+r)2- z(1+r)+ 13A(1+r)2- z(1+r)+ 1(1+r)- z32A(1+r)- z(1+r)+ (1+r) + 1nn_1n_2A(1+r)n1- z(1+r)+ + (1+r)+ 1(1+r) - zA(1+r)n- z(1+r)n-1+ + (1+r)+ 1根据上表，最后一期的剩余贷款余额是：A(1+r)nz(1+r)n-1+ (1+r) + 1 = A(1+r)nz(1+r)n

3、- 1 / r上面的计算是根据等比数列的求和公式，Sn= ai(qn-1) / (q-1)，其中a1= 1,q = 1+r。由于最后一期的剩余贷款余额必须为零，因此：A(1+r)n-z(1+r)n- 1 / r = 0z(1+r)n- 1 / r = A(1+r)nz = Ar(1+r)n/ (1+r)n- 1这就是本文一开头提到的等本息法月还款额的计算公式。2.等本息法应付的总利息在利率不变的情况下，等本息法的月还款额是固定的，计算公式如下：月还款额=贷款金额x月利率x (1 +月利率)期数/ (1+月利率)期数-1本月月还利息=上月剩余贷款余额x月利率本月月还本金=月还款额-本月月还利息本

4、月剩余贷款余额=上月剩余贷款余额-本月月还本金因此:总利息=总还款额-贷款金额-A将月还款额z = A总利息=A1 + (nr - 1)上式中，贷款金额A和月利率思考题：证明：按上式计算的总利息大于零。=月还款额x期数-贷款金额=zn-r(1+r)n/ (1+r)n- 1代入上式，得到:(1+r)n / (1+r)n- 1r都是正实数，期数n是正整数。当月利率r趋向于零时，按上式计算的总利息的极限是多少?当贷款金额A = 10万元，月利率r = 3.87% / 12，期数n = 240时,代入上式计算得到的总利息是43,796.52元。下图中使用个人住房贷款计算器计 算出来的总利息是43,79

5、6.00元，两者相差0.52元，是因为该计算器在计算还款计划表时各个月的月还利息都必须进行舍入处理造成的。礙日期別息累计利息纫202&-M-01597.1月睛13 js0. QD14i3p7. 00*3” 7ffi.00239 20JH-Q3-01505. 303 35sgg.lssarr.gB4I3U%.S543/m.83236 2Q29-O2-Q1593 395 765W. 15L 1朗KZrW.7Q43；7ffl 99断2029-01-01591.487 67599.15L786.67KL99S.5543r785.22236 202B-12-01589.58g 575薪.垢Z3T

6、8. 15lilr399.4043/777.5535 2026-11-015G7.6Sii 417换用Z筋T.T3140pm. 2543；767.98Z34 2DZe-10rO.S5B5. 7313 3B5M. |53555. 41HQ,201. !43/7S5.SI233 2026-OT-QI583 311524599 IS牡14】20】3601.9543；7.】523E 2ozs-re-oi562.031712W9.I54.72S. 11139POOZ.0O口727. 91231 2028-07-01590. IB10. Wl599L155r30T. 14198.403-. 6543,71

7、0. T9230 2026-06-01STB. 3020.驅s-as.is5,087.3013Tpe&l.5O43/61.30也2oee-os-n.ilSTB. 44iz n溷.B5氐血.B0137p2(K. 3543,fiTO.g5碌5T4 592456599 B5匚咙 g呱3 EQ和辭公227 2028-03-01572. 74a. ii599.15L614. 63136,007.0543/B23.60236 2028HJ2-01STD. 9328258P189.37135r407.9043/597.2722S 2028-01-015&B.K30. EMS.iSB. 760

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9、Dl3.B3.等本金法应付的总利息在利率不变的情况下，等本金法的月还本金是固定的，计算公式如下: 月还本金=贷款金额/期数本月月还利息=上月剩余贷款余额x月利率本月月还款额=月还本金+本月月还利息本月剩余贷款余额=上月剩余贷款余额-月还本金这样，各个月的月还利息如下表:期数月还本金月还利息剩余贷款余额0A (1 - 0/n)1A / nr A (1- 0/n)A (1 - 1/n)2A / nr A (1- 1/n)A (1 - 2/n)3A / nr A (1- 2/n)A (1 - 3/n)nA / nr A - 1- (n-1)/nA (1 - n/n)因此，将上表中各个月的月还利息加起

10、来就得到:总利息= rAn-rAn上面的计算是根据等差数列的求和公式,=0,an= (n-1)/n。化简后得到：总利息=Ar(n+1) / 2当贷款金额A = 10万元，月利率 代入上式计算得到的总利息是38,861.25-0 + (n-1)/n / 2r = 3.87% / 12，期数n = 240时,元。下图中使用个人住房贷款计算器计算出来的总利息是38,860.94兀，两者相差0.31兀，是因为该计算器在计算还款计划表时各个月的月还利息都必须进行舍入处理造成的。4.等本息法和等本金法应付的总利息的比较那么，在贷款金额、利率和期限相同的情况下，哪种还款方式的成本更小呢?在上面两个小节中，我

11、们看到，当贷款金额为10万元，年利率为3.87%， 期限为20年时，等本息法应付的总利息为43,796.00元，而等本金法为38,860.94元，两者相差4,935.06元。但是，在上述情况下，等本息法的月还款额固定为599.15元。而等本金法的月还款额第一个月为739.17元，以后逐月递减，直到最后一个月为417.21丿元。可见，如果经济能力能够负担刚开始时比较大的月还款额，应该选择等本金 法，可以节省不少利息。当然，上面仅仅是一个特定的例子，并不是证明在所有情况下等本金法都会 比等本息法节省利息。根据前面的两个小节，我们知道:曰期每期S009-D1-D1第352006-01-01S. 04

12、3M7-D1-D14.園心0K6-O1-DJ3 W* 41SM5-01-D1:.7z4.23L0GL-D1-D1 3. B4 0520290401细029-03-013029-D2-D12029-01-01HEB-IS-Dl3523412026-10-0133302B-D9-D12322O26-0S-012O2B-07-01230MEB-DB-D12O2&-0S-0122SEoee-oi-Di纽2026-03-012oee-(K-oi22S3EB-D1-D1口2027-12-012027-11-01计草堂款金額 E 元wZ4D堂刘日期20M年GS月01曰 还款方式等車毘-專建金等本息法

13、的总利息=AI + (nr - 1)(1+r)n / (1+r)n- 1等本金法的总利息=Ar(n+1) / 2利息差=A 1+ (nr - 1)(1+r)n/ (1+r)n- 1 - r(n+1)/ 2 上面的算式中，贷款金额A和月利率r都是正实数，期数n是正整数。目前我还没有找到证明利息差不小于零的方法。下面是利息差关于月利率r的函数的图像，坐标原点在左下角，贷款金额为1元，期数为180个月，年利率从0%变化到10%，函数值(利息差)从0元变化到0.18元。上面的Plot程序请参见我在2005年11月1日发表的随笔 画函数图形的C#程序(改进版)”。5.利率为零时的情况如果天上掉馅饼下来，贷款的利率为零的话，月还利息就为零，月还款额等 于月还本金，等于贷款金额除以期数，对于等本息法就和等本金法都是这样的。在前面的第1小节，我们证明了等本息法的月还款额由以下公式决定:z = Ar(1+r)n/ (1+r)n- 1上式在月利率r趋向于零时的极限:hiii -:r0(1 +T)u1=*4 * lirnr*01上0 _A11- 1T上面的计算中用到的规则:lim竿=linL理1.洛必达法则：。（巧叫工）2.导數的乘积法则：3 ”沙=小/ + m /ri 1久 劣项式的求导公式；3 ） =2其实，这个极限这也可以用初等方法（即不使用微积分）解出