2018年秋高中数学第一章计数原理1.2排列与组合1.2.1第2课时排列的综合应用学案

1、第 2 课时排列的综合应用学习目标：1.进一步理解排列的概念，掌握一些排列问题的常用解决方法.(重点)2.能应用排列知识解决简单的实际问题.(难点)自主预习探新知1.排列数公式Am=n n_ 1)(n_2) (n_ 僻 1)n!*nm!(n, mEN, men)An=n(n 1) (n_2). 2 1 =n!(叫做n的阶乘)另外，我们规定 0!=丄.2排列应用题的最基本的解法(1) 直接法：以元素为考察对象， 先满足特殊元素的要求,再考虑一般元素(又称元素分析法)；或以位置为考察对象， 先满足特殊位置的要求,再考虑一般位置(又称位置分析法).(2) 间接法：先不考虑附加条件，计算出总排列数，再

2、减去不合要求的排列数.3.解简单的排列应用题的基本思想基础自测1.从n个人中选出 2个，分别从事两项不同的工作，若选派的种数为72,则n的值为( )A. 6B. 8C. 9D. 12C 由 An= 72，得n(n 1) = 72,解得n= 9(舍去n= 8).2用数字 1,2,3,4,5 组成的无重复数字的四位偶数的个数为 _ .【导学号：95032035】48 从 2,4 中取一个数作为个位数字，有2 种取法；再从其余四个数中取出三个数排在前三位，有 A4种排法.由分步乘法计数原理知，这样的四位偶数共有 2XA4= 48 个.3.A，B, C, D, E五人并排站成一排，如果A B必须相邻且

3、B在A的右边，那么不同的排法种数有_ 种.24 把 A,B视为一人，且B固定在A的右边，则本题相当于 4 人的全排列，共A4=24 种.4.从4名男生和3名女生中选出 3 人，分别从事三种不同的工作，若这3 人中至少有1 名女生，则选派方案共有 _ 种.186 可选用间接法解决： 先求出从 7 人中选出 3 人的方法数，再求出从 4 名男生中选 出 3 人的方法数，两者相减即得结果.A A4= 186(种).(2)有 5 种不同的书(每种不少于 3 本)，要买 3 本送给 3 名同学，每人各 1 本，共有多 少种不同的送法？【导学号：95032036】思路探究从 5 本不同的书中选出 3 本分

4、别送给 3 名同学，各人得到的书不同，属于求排列数问题；(2)给每人的书均可以从 5 种不同的书中任选 1 本，各人得到哪本书相 互之间没有联系，要用分步乘法计数原理进行计算.解(1)从 5 本不同的书中选出 3 本分别送给 3 名同学，对应于从 5 个不同元素中任 取 3 个元素的一个排列，因此不同送法的种数是A!=5X4X3= 60,所以共有 60 种不同的送 法.(2)由于有 5 种不同的书，送给每个同学的每本书都有5 种不同的选购方法，因此送给3 名同学，每人各 1 本书的不同方法种数是 5X5X5= 125,所以共有 125 种不同的送法.规律方法1没有限制的排列问题，即对所排列的元

5、素或所排列的位置没有特别的限制，这一类 问题相对简单，分清元素和位置即可.2.对于不属于排列的计数问题，注意利用计数原理求解.跟踪训练1将 3 张电影票分给 10 人中的 3 人，每人 1 张，共有_ 种不同的分法.720问题相当于从 10 个人中选出 3 个人，然后进行全排列，这是一个排列问题故不同分法的种数为 心=10X9X8= 720.排队问题有 3 名男生，4 名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法总数.(1)全体排成一行，其中甲只能在中间或者两边位置.全体排成一行，其中甲不在最左边，乙不在最右边.合作探究攻重难(3) 全体排成一行，其中男生必须排在一起.(4) 全体排成一行，男、

6、女各不相邻.(5) 全体排成一行，其中甲、乙、丙三人从左至右的顺序不变.(6) 排成前后二排，前排 3 人，后排 4 人.【导学号：95032037】思路探究 分析题意，确定限制条件f先排特殊位置或特殊元素f再排其它元素解(1)元素分析法：甲为特殊元素，故先安排甲，左、右、中共三个位置可供甲选择.有 A；种，其余 6 人全排列，有 A6种.由分步乘法计数原理得A3A6=2160 种.(2) 位置分析法：先排最左边，除去甲外，有A6种，余下的 6 个位置全排列有 A6种，但应剔除乙在最右边的排法数A5A5种.则符合条件的排法共有 A6A6-A5A5= 3 720 种.(3) 捆绑法：将男生看成一

7、个整体，进行全排列有A3种排法，把这个整体看成一个元素再与其他 4 人进行全排列有A种排法，共有A；A5=720 种.(4) 插空法：先排好男生，然后将女生插入排男生时产生的四个空位，共有A3A4= 144种.(5) 定序排列用除法：第一步，设固定甲、乙、丙从左至右顺序的排列总数为N第二A步，对甲、乙、丙进行全排列，则为七个人的全排列，因此有A；= NY；,. N=840 种.(6) 分排问题直接法：由已知，7 人排在 7 个位置，与无任何限制的排列相同，有A；= 5040 种.注意：解(6)时易出现 AAJ的错误，其主要原因是排列的概念理解不深刻.规律方法1排队问题中的限制条件主要是某人在或

8、不在某位置，可采用位置分析法或元素分析法进行排列.对相邻、相间、定序、分排等常见问题的解法应记住.2元素相邻和不相邻问题的解题策略限制条件解题策略兀素相邻通常采用“捆绑”法，即把相邻兀素看做一个整体参与其他兀素排列丿兀糸不相邻通常采用“插空”法，即先考虑不受限制的兀素的排列，再将不相邻兀素插在前面兀素排列的空当中跟踪训练2.有 4 名男生、5 名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法?(1) 甲不在中间，乙必在两端；(2) 甲不在左端，乙不在右端；(3) 男、女生分别排在一起；(4) 男女相间；(5) 男生不全相邻.解(1)优先安排特殊元素.乙的站法有2 种，甲的站法有 7 种，其

9、余随便站，共有:2X7XA；=70 560 种(2) 按甲在不在右端分类讨论.甲站右端的有：A8种；甲不在右端的有：7X7XA7种；共有：Al+ 7X7XA7=A7X(8 + 49) = 287 280 种.(3) (捆绑法)A2A!A 5= 5 760 种.(4) (插空法)先排 4 名男生有 A；种方法，再将 5 名女生插空，有 A5种方法，故共有A4A5=2 880种排法.(5) (排除法)9 人全排列再减去 4 名男生全部相邻的情况，有 A9-A46= 345 600 种.卿艮.j数字排列问题探究问题1.偶数的个位数字有何特征？从1,2,3,4,5 中任取两个不同数字能组成多少个不同的

10、偶数？提示偶数的个位数字一定能被 2 整除先从 2,4 中任取一个数字排在个位，共 2 种不同的排列，再从剩余数字中任取一个数字排在十位，共 4 种排法，故从 1,2,3,4,5 中任取两个数字，能组成 2X4= 8(种)不同的偶数.2.在一个三位数中，身居百位的数字x能是 0 吗？如果在 09 这十个数字中任取不同的三个数字组成一个三位数，如何排才能使百位数字不为0?提示在一个三位数中，百位数字不能为 0,在具体排数时，从元素 0 的角度出发， 可先将 0 排在十位或个位的一个位置， 其余数字可排百位、 个位(或十位)位置；从“位置” 角度出发可先从 19这 9 个数字中任取一个数字排百位，

11、然后再从剩余 9 个数字中任取两 个数字排十位与个位位置.的元素做全排列有A4种排法，故共有A4A3A4=288（个）六位奇数.法三：排除法6 个数字的全排列有A6个，0,2,4 在个位上的六位数为 3A5个，1,3,5 在个位上，0 在十 万位上的六位数有 3A4个，故满足条件的六位奇数共有A6- 3A5 3A4= 288（个）.法一：排除法0 在十万位的六位数或 5 在个位的六位数都有 A5个，0 在十万位且 5 在个位的六位数有 AS个.故符合题意的六位数共有 A 2A5+A4=504（个）.法二：直接法十万位数字的排法因个位上排0 与不排 0 而有所不同.因此需分两类：这六个数字可以组

12、成多少个无重复数字的用 0,1,2,3,4,5第一类：当个位排 0 时，符合条件的六位数有A5个.第二类：当个位不排 0 时，符合条件的六位数有 A&A；个.故共有符合题意的六位数 A1+A4A4A4=504（个）.（3）用直接法1当千位上排 1,3 时，有A2A1A2个.2当千位上排 2 时，有A72个.3当千位上排 4 时，形如 40XX,42XX的各有 A1个；形如 41XX的有A3A；个，形 如43XX的只有 4 310 和 4 302 这两个数.故共有A2A2+A2A4+2A3+ AA3+2= 110（个）.母题探究：1.本例条件不变，能组成多少个能被5 整除的五位数？解个位

13、上的数字必须是 0 或 5.若个位上是 0，则有 A5个；若个位上是 5,若不含 0, 则有 A：个；若含 0,但 0 不作首位，则 0 的位置有 A 种排法，其余各位有 屈种排法，故共有 A5+ A4+A3A=216（个）能被 5 整除的五位数.2.本例条件不变，若所有的六位数按从小到大的顺序组成一个数列an，则 240 135是第几项？解由于是六位数，首位数字不能为 0，首位数字为 1 有 A5个数，首位数字为 2,万 位上为 0,1,3中的一个有 3AJ个数，所以 240 135 的项数是A5+3A4+ 1 = 193，即 240 135 是 数列的第 193 项.规律方法 解排数字问题

14、常见的解题方法1.“两优先排法”：特殊元素优先排列，特殊位置优先填充.如“0”不排“首位”.2.“分类讨论法”：按照某一标准将排列分成几类，然后按照分类加法计数原理进行, 要注意以下两点：一是分类标准必须恰当；二是分类过程要做到不重不漏.3.“排除法”：全排列数减去不符合条件的排列数.4“位置分析法”：按位置逐步讨论，把要求数字的每个数位排好.当堂达标固双基1.6 名学生排成两排，每排3 人，则不同的排法种数为（）A. 36B. 120C. 720D. 240C 由于 6 人排两排，没有什么特殊要求的元素，故排法种数为A6= 720.2. 6 位选手依次演讲，其中选手甲不排在第一个也不排在最后

15、一个演讲，则不同的演讲次序共有（）A. 240 种B. 360 种C. 480 种D. 720 种C 先排甲，有 4 种方法，剩余 5 人全排列，有A= 120 种，所以不同的演讲次序有 4X120 =480种.3.用 123,4,5,6,7 这 7 个数字排列组成一个七位数，要求在其偶数位上必须是偶数，奇数位上必须是奇数，则这样的七位数有 _ 个.144 先排奇数位有A4种，再排偶数位有 A3种，故共有144 个.4. 两家夫妇各带一个小孩一起去公园游玩，购票后排队依次入园.为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这6 人的入园顺序排法种数为24 分 3 步进行分析

16、，先安排两位爸爸，必须一首一尾，有A2= 2 种排法，两个小孩一定要排在一起，将其看成一个元素，考虑其顺序有Al= 2 种排法，将两个小孩看作一个元素与两位妈妈进行全排列，有A3= 6 种排法.贝 y 共有 2X2X6= 24 种排法.5.从 6 名短跑运动员中选出 4 人参加 4X100 m 接力赛，甲不能跑第一棒和第四棒，问 共有多少种参赛方案？解法一：从运动员（元素）的角度考虑，优先考虑甲，分以下两类：第 1 类，甲不参赛，有 A5种参赛方案；第 2 类，甲参赛，可优先将甲安排在第二棒或第三棒，有2 种方法，然后安排其他 3棒，有 A5种方法，此时有 2 淀种参赛方案.由分类加法计数原理可知，甲不能跑第一棒和第四棒的参赛方案共有A4+ 2A5= 240 种.法二：从位置（元素）的角度考虑，优先考虑第一棒和第四棒，则这两棒可以从除甲之外的 5 人中选 2 人，有 A2种方法；其余两棒从剩余 4 人中选，有 A2种方法.由分步乘法计数原理可知，甲不能跑第一棒和第四棒的参赛方案共有A5A=240 种.(1) 六位奇数？(2) 个位数字不是 5 的