2022届高三数学一轮复习（原卷版）第2节 平面向量的基本定理及坐标表示 教案

1、1第二节第二节平面向量的基本定理及坐标表示平面向量的基本定理及坐标表示最新考纲1.了解平面向量的基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加法、 减法与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件1平面向量基本定理(1)定理：如果 e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量 a，有且只有一对实数1，2，使 a1e12e2(2)基底：不共线的向量 e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底2平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab(x1x2，y1y2)，ab(x

2、1x2，y1y2)，a(x1，y1)，|a| x21y21(2)向量坐标的求法若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab(x2x1，y2y1)，|ab| （x2x1）2（y2y1）23平面向量共线的坐标表示设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中 a0，b0，a，b 共线x1y2x2y10常用结论1若 a 与 b 不共线，且ab0，则02若 g 是abc 的重心，则gagbgc0，ag13(abac)一、思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)2(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底()(2)在abc 中，向量ab，bc的夹角为abc

3、.()(3)同一向量在不同基底下的表示是相同的()(4)若 a，b 不共线，且1a1b2a2b，则12，12.()答案(1)(2)(3)(4)二、教材改编1已知平面向量 a(1，1)，b(1，1)，则向量12a32b()a(2，1)b(2，1)c(1，0)d(1，2)da(1，1)，b(1，1)，12a12，12 ，32b32，3212a32b1232，1232 (1，2)，故选 d.2已知abcd 的顶点 a(1，2)，b(3，1)，c(5，6)，则顶点 d 的坐标为_(1，5)设 d(x，y)，则由abdc，得(4，1)(5x，6y)，即45x，16y，解得x1，y5.3已知点 a(0，1

4、)，b(3，2)，向量ac(4，3)，则向量bc_(7，4)根据题意得ab(3，1)，bcacab(4，3)(3，1)(7，4)4 已知向量a(2， 3)， b(1， 2)， 若manb与a2b共线， 则mn_12由向量 a(2，3)，b(1，2)，得 manb(2mn，3m2n)，a2b(4，1)由 manb 与 a2b 共线，3得2mn43m2n1，所以mn12.考点 1平面向量基本定理的应用平面向量基本定理解决问题的一般思路(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便另外，要熟练运用平面几

5、何的一些性质定理1.如果 e1，e2是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是()ae1与 e1e2be12e2与 e12e2ce1e2与 e1e2de13e2与 6e22e1d选项 a 中，设 e1e2e1，则1，10，无解；选项 b 中，设 e12e2(e12e2)，则1，22，无解；选项 c 中，设 e1e2(e1e2)，则1，1，无解；选项 d 中，e13e212(6e22e1)，所以两向量是共线向量故选 d.2 在abc 中， m 为边 bc 上任意一点， n 为 am 的中点， anabac，则的值为()a.12b.13c.14d1a因为 m

6、 为边 bc 上任意一点，所以可设amxabyac(xy1)因为 n 为 am 的中点，4所以an12am12xab12yacabac.所以12(xy)12.故选 a.3.如图，以向量oaa，obb 为邻边作oadb，bm13bc，cn13cd，用 a，b 表示om， on，mn.解baoaobab，bm16ba16a16b，omobbm16a56b.odab，onoc13cd12od16od23od23a23b，mnonom23a23b16a56b12a16b.综上，om16a56b，on23a23b，mn12a16b.(1)只要两个向量不共线，就可以作为平面向量的一组基底，基底可以有无穷多

7、组(2)利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算或数乘运算考点 2平面向量的坐标运算向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行计算若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则已知 a(2，4)，b(3，1)，c(3，4)设aba，bcb，cac，且cm3c，cn2b，5(1)求 3ab3c；(2)求 m，n 的坐标及向量mn的坐标解由已知得 a(5，5)，b(6，3)，c(1，8)(1)3ab3c3(5，5)(6，3)3(1，8)(1563，15324)(6，42)(2)设 o 为坐标原点，c

8、momoc3c，om3coc(3，24)(3，4)(0，20)m(0，20)又cnonoc2b，on2boc(12，6)(3，4)(9，2)，n(9，2)，mn(9，18)母题探究(变结论)本例条件不变，若 ambnc，则 m_，n_11mbnc(6mn，3m8n)，a(5，5)，6mn5，3m8n5，解得m1，n1.求解此类问题的过程中，常利用“向量相等，其对应坐标相同”这一原则，通过列方程(组)来进行求解1.已知四边形 abcd 的三个顶点 a(0，2)，b(1，2)，c(3，1)，且bc2ad，则顶点 d 的坐标为()a(2，72)b(2，12)c(3，2)d(1，3)a设 d(x，y)

9、，ad(x，y2)，bc(4，3)，又bc2ad，42x，32（y2） ，x2，y72，故选 a.2向量 a，b 满足 ab(1，5)，ab(5，3)，则 b 为()a(3，4)b(3，4)6c(3，4)d(3，4)aab(1，5)，ab(5，3)，a(2，1)，b(3，4)，故选 a.3.向量 a，b，c 在正方形网格中，如图所示，若 cab(，r)，则()a1b2c3d4d以 o 为坐标原点，建立坐标系可得 a(1，1)，b(6，2)，c(1，3)cab(，r)16，32，解得2，12.4.考点 3向量共线的坐标表示两平面向量共线的充要条件有 2 种形式(1)若 a(x1，y1)，b(x2

10、，y2)，则 ab 的充要条件是 x1y2x2y10；(2)已知 b0，则 ab 的充要条件是存在唯一实数，使得 ab(r)利用向量共线求向量或点的坐标一题多解已知点 a(4，0)，b(4，4)，c(2，6)，则 ac 与 ob 的交点p 的坐标为_(3，3)法一：由 o，p，b 三点共线，可设opob(4，4)，则apopoa(44，4)又acocoa(2，6)，由ap与ac共线，得(44)64(2)0，解得34，所以op34ob(3，3)，所以点 p 的坐标为(3，3)7法二：设点 p(x，y)，则op(x，y)，因为ob(4，4)，且op与ob共线，所以x4y4，即 xy.又ap(x4，

11、y)，ac(2，6)，且ap与ac共线，所以(x4)6y(2)0，解得 xy3，所以点 p 的坐标为(3，3)利用两向量共线的条件求向量坐标的方法：一般地，在求与一个已知向量 a 共线的向量时，可设所求向量为a(r)，然后结合其他条件列出关于的方程，求出的值后代入a 即可得到所求的向量利用向量共线求参数(1)已知向量 a(1sin ，1)，b(12，1sin )，若 ab，则锐角_(2)若三点 a(1， 5)， b(a， 2)， c(2， 1)共线， 则实数 a 的值为_(1)45(2)54(1)由 ab，得(1sin )(1sin )12，cos212，cos 22或 cos 22，又为锐角，45.(2)ab(a1，3)，ac(3，4)根据题意abac，4(a1)3(3)0，即 4a5，a54.如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab 的充要条件是 x1y2x2y1”解题比较方便已知 a(1，0)，b(2，1)(1)当 k 为何值时，kab 与 a2b 共线；(2)若ab2a3b，bca