第6章线性方程组的迭代法教案汇总

1、第六章解大型稀疏线性方程组的迭代法教学目的1.1.掌握 JacobiJacobi 迭代法，G-SG-S 迭代法解大型线性方程组的方法及其收敛性的判别方法；2.2.掌握 SORSOR 迭代法及收敛的必要条件(0(0 3 22 ) ); 3.3. 了解三种迭代法之间的改进 关系从而掌握该思想方法；4.4.理解迭代法基本定理。教学重点及难点重点是三种迭代法及收敛性的判别方法；难点是迭代法基本定理及三种迭代法收敛定理的证明。教学时数 8 8 学时教学过程第六章解大型稀疏线性方程组的迭代法迭代法是一种不断套用一个迭代公式，逐步逼近方程组的精确 解(真解)的方法。适合解大型稀疏线性方程组。大型稀疏线性方程

2、组直接法：解低阶稠密线性方程组,?电工学中的网络问题；Wf- - -?用差分法或有限元法解偏微分方程边值问题时得到的方程组。迭代法优点：计算量：计算量小，近似解精度高。占用内存单元较少。设计程序简单(适合计算机计算)。考虑问题：如何构造解Ax=b 的有效迭代法？收敛性与收敛速度怎样？ 1 1 引言、例子设 A Rnn为非奇异阵， 方程组Axb 的精确解为X*,即Ai=b迭代法的定义：定义 1 (1)用逐步代入(构造向量序列)X( (0) )任取初始向量_二B是迭代矩阵J _=B + _二工二是 的k步近似_ .(1.10)x +三Bx(k)廿f ,(k刁1,2厂)求近似解的方法，称为迭代法(或

3、称为一阶定常迭代法)。(2)如果对任意初始近似 x( (0,都有叩公=x*，称迭代法(1.10)为收敛，否则称迭代法为 发散。-迭代法研究的问题：2(1)构造各种解Ax =b的有效迭代法( (有效：x(k)收敛)。(2)研究迭代法的收敛性及收敛速度| 3注：(1.10)为迭代公式，简记为：0 2 基本迭代法问题：用迭代法解线性方程组 Ax-b。2）设ARnn非奇异 基本思想：令 A=bj ）述,aj&0,将A分离（裂）为三部分，即10丑10ana22012一a1nai,n如T,n丄_an J,n0=D _L_U(2.2)常用的是将 A 分裂为 A =M N其中M为可选择的非奇异阵使种近

4、似,于是若记B=MN并取初始向量?x（0），注：M的选法不同，得到各种不同的迭代法。(2.3)Mx二d容易求解,一般M选为A的某Ax二b= Mx = Nx b或 x =MNx Mb。二M(M -A) = l -MA?f二Mb，X；：)?(可任意取)x(k=Bx(k)f (k?0,1,)B=1-MJAf = M -bJ（o）B 是迭代矩阵-(2.4)2.1 雅可比（Jacobi 迭代法（2.3）A二M N (2.4) B = I - MJA1.理论分析：若取M二q对角阵)，则由(2.3)得 A = D N,1 1 1由(2.4)得B =1 -D A二D D - ADL U三J?，f =Mb =

5、DbJacob迭代法:称为 JacobiJacobi 迭-代法的迭代阵x(k1)=Bxk)f B；D(L+U)三J DJbx(0)1)=Bx(k)- f (k=0,1,)(2.5)A三D-L-Ux(k1)=Bx(k)f (k=0,1,)若记 Jacob 迭代法的分量形式：x(k)= (x1k)，x(k)，xnk)T由(2.5)有Dx(k=(L U)x(k)b，即i _1nnaiixF) )=b -瓦ajX(k)-瓦ajX(k)=bi-瓦aijx) )?i = 1,2,，n)j：1j七1j=1j式当aii =0时，得到丁- 一.， OLJacob 迭代法计算公式02.求解Ax = b的 Jaco

6、b 迭代法计算公式：空(0)=仪0),xn) ) )TW=JL(b&aijX(k) ?aii崔( (i=i,2，,n(2.6)此公式还有另一种推导方式k =0,1,表示迭代次数。注：(1) Jacob 迭代法,每迭代一次主要是计算一次矩阵乘向量2)计算过程中，原始数据 A 始终不变。 计算中需要两组工作单元x(n), y(n)用来保存x(k及 x(k。 公式推导(另外方法)aiiXiai2X2 amXn =6a2ixia22x2*a2nxn = P”? . . ?. .? ? ? ?Bx。Ax = b aniXia“2X2亠亠annXn =0aiiXi二bi -ai2X2 -ainXn

7、a22X2二 一a2IXi-_a2nXn .? .?. . ?. .?. ? . ? - - - -iannXn=bn于是x(0)给定，aii =0XiX2aiixi =bai2X2二八a1nxna22x2= b2-a2ixi -32nxn. . .?.? ? ? ? ?.? ?.?.annXn二bn a“2X2 anr?JXnjin(bi ai jxj)aiii-2ina22(b2- a2 jXj)i -4-j2? ?-an2X2Onn?丄Xn _1In(k)、Xi= (b - aijXj)aijj鬥i =i,2，说明：(1) Jacob 迭代法实际上是由近似解 的 n-1 分量xik)/,

8、x(kl,x(ki)-,x!1k)计算x(ki)=(xi的第 i (i=i,2，,n)个分量。(2)若x(k)收敛于 x*,则 x(k i)比 x(k)更接近于 x*。则 x(k i)比 x(k)更接近于 X*0考虑问题：叶计算X(k i)=(xiki),婷巧,x)：T分量 Xi(ki),“打)均已求出，设想用 迭代法中的X(k)=(xik)，x(k)，Xi寸Xn -(bn乙 anjXj)iann7,n)x x( (k)_(_(x x( (k)x x(k)X X(k)Tx(xi,xi,xn)口( (k比z(kdi)亠( (k*)( (kTi)算x(=(xi),x(), ,xn)n-1)T的第

9、i 个分量x(i) )时,它的前 i-i 个(k i) . (k i)xi, ,Xi,代替 Jacobink) )T的前 i -i 个分量：xik)，用望2. 2 高斯-塞德尔迭代法(G-S)A三D LU(2.3)A =MN取分裂阵 M 二 D L(下三角阵),由(2.3)得 A二D-L - N。由(2.4)得B =1 -(D -L)A =(D L)(D L)A)=(D L)U 三 G于是得到解 Ax = b 的 G-S 迭代法：其中 G 称为 G - - S迭代法的迭代阵x(0)x( (z) )=Bx( (k)+f1(2.7)B=(D_L)-UwG f=(D L)b1(2.4) B= I -

10、M Ax(k=Bx(k)f (k =0,1,)f =Mb=(D-L)b若记 G-S 迭代法的分量形式：x(k)=(x1k),卅),乂“,由(2.7)式有(D _L)x( (k 1Ux(k)b或Dx(kLx(k d)- Ux(k)- b当3i0时得到以下解Ax = b的 G-S 迭代法计算公式：x(0)1(0),冷)T (M1)1Xiaii1 =(b aijXjj2(k 1)-aijXj j丄1其中 k =1,2,=1,2,表 占二示迭代次数ijXj(k)(=1,2, ,n)(2.8)(2.8)( (F) )_ 1其中 k =1,2,=1,2,Xi表示迭代次数-m- *皿)讪：(kT) )第 i

11、 个分量时，利用已经计算出的最新Xi(k+)就可冲掉或写成增量修正的形式：xi=X(k) )(bi-士 aijX(jk41)aiij二优占.八由(2.8)可知，计算 x 分量x(jk1)(j =1,2, ,i-1),因此，计算 用 G-S 迭代法解只需要一组工作单元，用来保存x(k H1)i _1n(k 1)(k).(biLajXj jaijxj)aii(k)j 4X(k) j壬卅 x(i=1,2,n)1(2.9)xi),于是利x(k分量。G-S 迭代存贮少。(2) G-S 迭代法每迭代一次主要计算一次矩阵乘向量。计算量小,(3) 当 J-迭代与 G-S 迭代都收敛时，G-S 迭代的收敛速度快

12、。 G-S迭代法可看作 J 迭代法的一种修正或改进。例 2 用 Jacob 迭代法，G-S 迭代法解下述方程组8x!- x2x3=82x110 x2_x3=11 或 Ax = bXiX2- 5x3- -3(1)Jacobi迭代公式：其中,x(k)= (x1k), x2k), x3k)T,(k =0,1,)，计算结果见表 6-1。表 6-1严x(1)x(2)x(3)x(4)x(5)x1k)01.1.06250.99250.9981251.0006938x2k)01.10.960.98951.001951.000015x3k)0061.021.00450199641.000015且有|x(5) x

13、 I，C0.0007精确解x J(1,1,1)T二(8 - x2k)_x3k)/8= (11 2x1k)x3k)/10=(3 - x1k)- x2k)/5x1k 1)x2k 1)x3k+)(2)G-S 迭代公式,严=(8+x2k)- x3k) )/8“严=(11-2x1) )+x3k)/10 x 严) )=(3 + x1k4h)+x 严) )/5其中，x(k)=(x1k),x2k),x3k)T,(k=0.1,),计算结果见：表 6-2(0)x(1)x(2)x(3)x(4)x01.0.991.0002500.91.0.99975 1.000082!00.980.9981.(0.(999995且有

14、 | x-x*|：工 0.00025|x-x*|严 3.2 10 x(5)x仃0.0007注：由此例看出，用 G-S迭代法解此方 程组比用 Jacob 方 法解此Ax=bft敛快（即在初始向量x（0）相同，达到同样精 度，所需迭代次数 较少），这个结论 只当 A 满足一定条 件时才是对的。有 些方程组,用 J-迭 代法收敛，而用 G-S 迭代法却是发散的。 例如P347习题6 中1.（ b）02. 3 解大型稀疏线性方程组的逐次超松弛迭代法(SOR)推导方法 一：1A = D _LU (2.4) B lMA理论推导：取M=(D-小)，其中0 为可选择的松弛因子。迭代阵为B=l - MA = I

15、 - (D - L)A二D - LD - L - A于是得逐次超松弛迭代法=D -丄1 -D U = L(0)x(5 =L.jxf)+f?k = 0,1,) )x(r=Bx(k)+f (k=0,1,) ) t =(DYL)(1-co)D PU)f=MbF(DvL尸b fP(D_mL)b(2.10)=(D - L)x(k 1)=(1 -) )D U )x(k)b或Dx(k 1)=Dx(k)(b Lx(k 1)Ux(k)一Dx(k)若令X(k)=(x1k),x2k), ,xnk)T，且aii(i =1,2, ,n)，则得(i =1,2, n) (k =0,1,)Dx(k=Dx(k)(b Lx若令x

16、(k)=(x1k),x2k), ,xnk)T，且aiiSOI 迭代法：,(0) )=x(0) )x(0)Txx1, ,xn /八i -1n(k书( (k) )亠仁v(k州丿xi =Xi+(b2ajXjaiijii =1,2，n)(k =0,1，) )或写成增量修正的形式：,xn0)T LXiiA-z ajX阳)j1(k 1)Ux(k)- Dx(k)-0(i ,2,n)，则得(k)、-ajXj)j仝(2.11)Ona220_a!21 -0_a210 x(0)=(x10),xi(=x(k)wAx：=(biaii(2.12)an丄n0n-zj 4(k)aijx(j)松弛法是简单迭代法的一个改进。对A

17、Xb,令 A = 1 - B,则 x 二 Bx b,A B=l。推导方法二：简单迭代：xk 1二 Bxkbk 步迭代后的剩余向量：r( (k)=b-Axtb b=Ax( (k) )+r( (k) )则xk1二BxkAxkrk= A Bxkrk二xk1=xkrk.因此，作一次迭代相当于在第 k次近似解的基础上，用剩余向量进行了修正。 可以设想， 或许在修正项前乘一个因子会使迭代收敛得()()=x)+时(b - Ax t )= (| -ccA Jx* )+ob其中迭代阵为 I-DA。能否寻找一个适当的D，使| I -DA|尽可能小一些，也就是增加收敛速度呢？用此方法改进 G-S 方法在修正项上乘一

18、个因子来加速收敛，这就是松弛法的基本思想。于是由(2.9)式推得(2.10)式。注：032 是松弛法收敛的必要条件。当 1D2 时,称为超松弛收敛；当 0D1 时，称为低松弛收敛; 当D=1 时，则为 G-S 方法。SOR 迭代法:X(0)=X1(0),，X(n0) Tii _fl(k 1)(k)(XiXi (bi aijijXjj3iijj：m(k 1)7(k).j ajijXj)1jji(i =1.2,，n)(k =0,2,)(2.11)高斯-塞德尔迭代法(G-S)(0),(0)(0) TX=( (X1，Xn)i1(k+)(k)1(k+)Xi=Xi+(bi送aijXj-ZaijXj)、an

19、 x(2.8)(k)注:(1)当取 CD =1 时，解Ax=bBSOR 方法就是 G-S 迭代法。SOR 方法是 G-S 迭代法的一种修正。(2)每迭代一次主要是 计算一次矩阵与向量的乘法。计算量小(3) 需一组工作单元存放 x(k)或 x(k1的分量。 存贮量少。(4) 为让计算机停 算，加一功能判断x(*k1)-八；，而X未知，因此判断-。快一些。X例 3用 SOR方法解下述方程组-411141111_41X21X31严一11111-4精确解x” =(_1,_1,_1,_1)T解：取初始向量x(0)=(0.0,0.0,0.0,0.0)T,SOR 迭代公式为P( (1+4x1k)x2k)-x

20、3k)-x4k)”4一，(1x1k1)4x2k)-x3k)-x4k)4一，(1x1k1)x2k1)4x3k)-x4k)4一.(1x1k1)x2k1)-x3k1)4x4k)4(k) 1(k) =X2(k)讣(k)二X4(k =0,1,)选取x(11)且满足：|x(11)-Xx1k1) )(k1) )松弛因子1.01.11.21.31.41.51.61.71.81.9满足Ix（k）x*10-的迭代次数22171211（最少迭代次数）1417233353107k 1)= 1.3，第 11 次选代结果为：=(-0.99999646, -1,00000310, -0.99999953,-0.999999

21、12)丁046 10-作业: :P.3471 (b)1、 理解三种迭代法及它们之间的改进（修正）的思想方法。2、会用 Jacob 迭代法，G- S 迭代法解方程组。3、掌握 SOR 迭代法收敛的必要条件（03x ( ：)？1、误差向量：；(k)=x(k)-x”称为 k 步迭代的误差向量。 于是由(3.2)减去(3.1)式得到误差向量的递推公式目(k=B(k)(k =0,1,)于是；(k)=B；(k1)=B22) )Bk；(0),其中；(0)=X(0)-x“为初始向量 x(0)的误差，则有x(k)T严T0un Bkd0)T0u= BkT0(W(0),kT 克)2、矩阵序列的极限定义 2 设有矩阵

22、序列AkNaj) Rnn(k = 1,2,)及人二佝)，Rnn, 若 n2个数列极限存在，且有叭的aij(i, j1,2, ,n)则称Ak收敛于 A,记limAAj：: 仇11丄kr?:1 且有矩阵序列A= e 0),00 J(kT吟_0_0显然，当3、矩阵序列收敛的充要条件定理 1 limAk二 A = AR- A 0 (当 k=) 证明：由范数的等价性，只证.AR-AARTA即匈 LimZ j V:k厂jJ(k = 1,2,)即lAk_A| o。aijnk-“ijkaij-aijo:k_,Lg0 i = 1,2，=0,=0,定理 2pmAk= A证明：“二一”是显然的。现证仁”，由设对任意

23、的X Rn都有 AkXr Ax(kr ),取 x =ej( j=1,2，n)，则有誡)_aijlj引一或对i, j都有 aj r3ij(kr),即AkrA(当k1：)。定理 3设 B =(bj)n n，则 Bk 0 阵( (当 k：) )二=B 所有特征值满足|i(B)1,或 B 谱半径：(B)1(i 1,2,n)0证明：B 为可对角化矩阵,即存在非奇异阵p使或 B = PDP二 B2二 PD2P，Bk= PDkP。Dk= P，BkP。1其中 Dk=于是 Bk； 0 阵=Dk； 0 阵(J(kfj=i(B)1,(i=1,2,n)。若 B 为一般矩阵，即存在非奇异矩阵 p,J11几 11J 2扎

24、+?Ji- _ 1-J-n垢L人J二nn对任意 n 阶矩阵 B 都可化为 Jordan标准型,使B二PJP,其中 j 为 Jordan 标准型，即knr，、m =n，id二对任意向量Rn,都有kimAkX =Ax。k) )：:a(jk) )二AkejAej二aij数列收敛PBP二=D，其中i为 B 特征值。i!J11侶11J2+Ji =Xi+ 1-J-Jk】J二5ni或J J；而且 Bk二 PJkP, Jk故当 lim Bk=0 时，必有pm Jk=0,因 Bk=PJJkP， |Bk|=| P -JJ二反之亦成立。=Bk) )0=|Bk| , 0= |Jkp|即 p, | |Jkkk 1k|J

25、 |=|PB P|_|P| |Bk若设J2扎2I0A入30I0k| 0、0 二二 J| |P|PJ0。1IIininiA.-、A、1% 1A310人1，J3 =0為1，Ji =+_0)20/-3J1L丸i5若设 J2kJk(k -1) 23则J2kfr. k/-2L0 kk2k2F-. kA 20 0，即kimx(kx0必要性 由设对任意取x(0) Rn，都有kimx(kx，且x JBx” f(3.3),由(*)及(3.3)式得到；(k)=B ；(W=Bk；(0),又由题设对任意x(0)都有0；(0)=0 ；(k)=Bk；(0)(k：)， 由定理 2,则有Bk 0, (k)。又由定理 3,得到

26、R(B)|1或 P(B)1(i=1,，n)。说明：迭代法的基本定理在理论上是重要的，它是迭代法收敛 性的基本准则，但在实际计算中要验证；(B)：1是否成立，当 n 较大时是有困难的，给出利用 B 范数判别迭代法收敛的充分条件。定理 5 设有方程组 x 二 Bx f 及一阶定常迭代法|x( (k1)Bx(k)f如果有 B 某种范数|B|=q：1，则(1)迭代法收敛，即limx(k)二x，且x” =Bx” f;k,(2)|xx(k)匠旦 |x(k)-x(2) )|;(3)误差估计|J-X(k)|qllx-x(0)|01 q证明(1)因为|B|=q：1,由 P281定理 25,知，(B2|B：1,再

27、由定理 4(迭代法基本定理)得kmx(k)=x。(2)由(3.1)及(3.2)，得x x(k1)及 x(k1)-(k)”( (a)lXJb)|x则 |x(k 1)_X( (k) )|( (；|*_x(k)虑吕 |x(k)_x(7|1 _q=Bx f=Bx(k)+fB(x -x(k)-X(k)= B(X(k)-X(kj)-X(k|徑q|x -X(k)|(k1)-x(k)|Z|x(k)-x(k)|x _x(k)_(x _x(k 1)|-|-|x -x(k)|q|(x -X(k)|二|X -X(k)|1|X(k_X(k)|乞q|x(k)_X(k)|。1 _q1_q(3)由(2)反复利用(b)式可得例

28、 5 考察用 Jacobi 迭代法，8x1-X2X3= 8 2x! +10 x2-x3=11Xt +x25x3= -3xx(k1)(3.1)(3.2)(k)|B卜q 1(k)(k 1)|T|(X- X )|OG-S迭代法解例2中的方程组的收敛性。8 10 1-0 1 -1110-2 00 1一5一-1一1 0一0解首先将 A 写为:A二=D LU1Jacob 迭代法迭代矩阵为8x1- X2X3= 8“ 2x!+10 x2x3=11X1 +X25x3=3(a)解Ax = bx0J =D(L U)二2_ _101518081100，则| J |孑max2/8,3/10,2/5=2/5c1,所以用

29、Jacobi 方法解例 2 方程组收敛。(b)解 Ax -b的 G-S 迭代法的迭代矩阵为G =(D -L)AU二18丄40150181812 _6 _3_、440 50= 1/4：1,所以用 G-S 迭代法解例2 方程组收敛。25，则|G|犷 max说明：由定理 5 可知当|B|=qv1愈小，迭代法收敛愈快。例 5| J |2/5|G|_ = 1/4,则 G-S 迭代法收敛较快。当q1时，迭代法收敛将是缓慢的。因为由 |x X（k）眶旦|x（k）-x（k）|,既使 |x（k）-X（k）|：;，q q1_q但q较大，则|x”_x（k）|可能较大。1 q（3）可利用误差估计式（3）事先确定迭代次

30、数，以保证误差|xxkZk事实上，欲使|x*_x（k）|严q|X（I）X（0）K；3.23.2 关于解特殊线性方程组迭代法的收敛性主要讨论：方程组|Ax 二 b 的系数矩阵 A 为对角占优阵，A 为 不可约阵，A 为对称正定矩阵等时的解法的收敛性。1、对角占优阵定义 3设入=2 訂是 n n 矩阵。（1）如果 A 的元素满足|aii对角占优阵（或强占优阵）。（2）如果 A 的元素满足乜菇有一个不等式是严格成立，则称 2 可约与不可约阵定义 4P， 使PTAP二置换阵卩卩使（3.4 ）式成立，则称 A 为不可约矩阵叩-q）q ”|x（1）-x（0）|d迭代次数应取 k _ In/lnq 成立的最

31、小正整数。卜二丨対二1,2，,n），则称 A 为严格j=1j#|_、Taj| （i =1,2,n）， 且上式至少 冃A 为弱对角占优阵=（玄：）是 n n 矩阵。（3.4）其中A11为r阶方阵，A22为 n-r阶方阵（1n），则称 A 为可约矩阵，否则，如果不存在这样的0n 2，如果存在 n 阶置换矩阵设 A :A11A12 ii0A22说明：2、若 A 可约，求解Ax二b可化为两个独立的低阶方程组 求解。事实上，求解Ax二 b = 求解 PTAP（PTx） = PTb,T分Ufdi、甘其中yi,di - R，=b二二求解 PTAP(PTx)二 PTb,PHdJ，其中yi，dR，由上式第 2

32、个方程组求 y2，再代入第 1 个方程组求 yi注：如果 A 所有元素都非零，则 A 为不可约阵。4-1-10_-140-1例 6 设 A=A 为强对角占优阵，但 A 为不可j04-1约阵。0-1-14韦123-5 213_3-12-13 2-1 -10204_CZC3T0 0240307i0 037解：AR2R3 所以A为可约阵。=I23AI23,说明：1 矩阵 A 为可约阵，即对 A 施行若干次行列重排（即对 A在交换两行的同时，交换 A 相应的两列元素，称为对 A 施行一次行 列重排）能化为（3.4）式12-13o202034-17(3.4)PTAP =1llA120A22,则A为可约阵

33、。事实上，求解Ax记DT分块yi记 P x = y =，y2A,?A22ly2丿d2丿或求解Aiiyi +Ai2y2=diA22y2d2-03、Jacobi 迭代法 G-S 迭代法的收敛条件定理 6 （对角占优定理）设 A 为 n 阶严格对角占优阵，或为弱对 角占优矩阵且为不可约阵，则 A 为非奇异矩阵。证明只证明第 1 部分结果设 A 为严格对角占优阵，则 A 为非奇异矩阵。用反证法T若 det（A）=0,于是齐次方程 Ax=0 有非零解，记为 x=（片 人）式 0,1人I討Xk |鼻0,考查第 k 个方程akkxk= 为akjXj,贝yakk |xk|n,（1）如果A为严格对角占优阵， 则

34、解Ax=b的Jacobi迭代法、 G-S迭代法均收敛。（2）如果 A 为弱对角占优矩阵且为不可约阵，则解 Ax=b 的Jacobi 迭代法、G-S 迭代法均收敛。证明：先证（1 ）的 Jacob 迭代法收敛解人乂力的 Jacobi 迭代法的迭代阵为J=D（L U） ,法迭代阵的特征0竺西 值绝对值小于 1即 a | |3j|(i=1,2,n)，j1从而 L|3J|：1,( (i =1,2, ,n)= IIJ II：-：1，且记 max只要证 Jacobi 迭代则D1(L U)=321a22a110an32n322an13nni _1a.n亠，|j|dmax(zJh|-J4aiiJ仝41aiin

35、ai.1n=max送|二尸鳩|aij|，1幻-匕i1虫|aiiJ因为A为严格对角占优阵,1n|aii|j仝J式由定理 5 知 Jacob 迭代法收敛。以下证明，当detC = 0时，|人|1假设丨丨.：1,则 |5 |=| 3 |_| | (、|aij|、|aij|)iJLnjn屮二I，ajI亠二Iaj1= I &j I，(i= 1,2,，n)。j二y 七且至少有一个不等式严格成立。i _1n假设 I 1.1,贝 V |Cii1=1Vii|_I C laijIv|aij|)iJLnj-n一、丨aj丨、1引lI |,(i =1,2,n)。j4jJ 1j=1且至少有一个不等式严格成立。jJ

36、：所以当，一 1 时，矩阵 C 为弱对角占优阵且为不可约阵。由定理 6，知detC)=0。所以假设/_1不成立，则| .1,故解 Ax=b 的 G-S 迭代法 收敛。4、SOR 方法收敛的必要条件定理 8设解 Ax b，A Rn n的 SOR 方法收敛，则 0 ： 2。证明 解 Ax二b 的 SOR 方法迭代阵为L.=(D-L)(1-)D -U)由设有 SO 方法收敛，则讥 八1,于是det(L| 1n(L )n(i(i =1,2/ ,n)*L 的特征值) )即 det(L,n(L ) 1(3.5)另一方面，卿此) )二det(D - L)det(1 -) )D U) = (1 -) )证明：再证(2)的 G-S 迭代法的收敛，其他可作习题。解 Ax=bBG-S 迭代法的迭代阵为G=( (D_L)u，(AD L U)G 的特征方程的根满足：(_ _ _ )det( I _G) =det( I _(D _L)U)=由设=0(i =1,2厂,n)，于是 det( Ddet(h(D L) U ) = 0n1= det(D_L) det( (D _L)