均匀带电圆盘转动下的磁场分

1、均匀带电圆盘转动下的磁场分布西南交通大学机械工程学院 20090994朱鹏飞摘要文章通过麦克斯韦方程导出电磁辐射公式在圆盘上任取一个 带电小圆环小圆环转动形成电流电流产生电磁场利用场强叠加原理 得整个带电环产生的电磁场再计算整个圆盘绕对称轴匀速转动产生 的电磁场并进行适当的讨论，在此基础上增加了数字模拟下的均匀带 电圆盘转动下的磁场立体分布，并加以讨论。关键词均匀带电圆盘 麦克斯韦方程 推迟势 磁感应强度引言人们在生活和生产中利用圆盘转动数不胜数，这些圆盘一旦带上电后就成为绕对称轴转动的均匀带电圆盘，由于转动产生电流，电流激电磁场这种情况可看作若干环形线电荷所激发的电徽场的叠加，这是 电磁学中

2、的一个较重要的问题。本文采用矢势对其进行求解先通过麦克斯韦方程，达朗贝尔方程和洛伦兹变换条件推导出了载流圆盘周 围空间的磁场分布完整的解析表达式。进而求解转动带电圆盘的磁 场，并对结果讲行讨论.1原理和公式的推导1. 1波动方程绕对称轴转动在均匀带电圆盘的电磁辐射场应满足麦fr克斯韦方程组di-ilim*.在真空中 n：上二“川，取(i)式第一式的旋度并利用第二式及得：V2£-o| = Oot(3)同样在(1)中消除电场，可得磁场的偏微分方程：1.2电磁场的矢势和标势 在恒定场中，由 的无源性引入矢势 使:B = VxA在变化情况下电场与磁场发生直接关系因而电场的表达式必然包含矢势

3、在内，把(4)代入(1)第一式得:=0v (仇丽)V x E + 彷Jdt因此，一般情况下电场的表达式为：1.3达朗贝尔方程及求解现在由麦克斯韦方程组推导矢势代入(1)中第二式和第二式并应用c2 dt2 ?V+=dt/和所满足的基本方程,；%注二 L得：1 d(p 7把(4)和(5)采用洛伦兹规范由(6)和(7)式得：2 71 A(8)Of' £°丹-丹pv = 0用洛伦兹规范时，；和的方程具有相同形式，其意义也特别明显。方程(8)称为达朗贝尔方程，它是非齐次的波动方程，其自由项为电流密度和电荷密度。由（8）式，电荷产生标势波动，电流 产生矢势波动。离开电荷电流分布

4、区域后，矢势和标势都以波动形式在空间中传播，由它们导出的电磁场和也以波动形式在空间中传播.对（8）式进行求解得P F,f 二旦 M P4叭 r2匀速转动时的空间磁场2. 1推导矢势"表达式设圆盘在xoy平面，对称轴为z轴，转动的角速度恒定不变，圆盘（厚度不计）均匀带电,电量为Q,圆盘半径为a,则电荷密度图1薄圆盘匀速转动时的空间电磁场在圆盘上任取一细圆环，设圆环的半径r'宽度为dr',则由于圆环转动 时产生的电流为：出岭dQ2疔(10)=_ _Q-. 2nr' dr'In 7iu271U由定义可知，沿闭合回路流动的电流I在r点产生的矢势为:(11)对圆

5、环电流I来说，由于对称性，在以Z轴为中心的周围（圆周Z=常数的平面内)上.任何一点，Y的大小A都应相同.因此，A应与方位 角卩无关，为方便，我们求。=0处",'小丨点的：，如图所示，电 流元加L的线元为：d"=hd0(-Bn0 耳 +COS0 可)(12)电流元到P点的距离为:r+a2 -2arcosa式中仗为尸和"之间的夹角。球坐标系中任意两矢量 尸"'卫')之间夹的公式为：(13)cosq = cos0cos0'+sin&sinOcos(d-0)(14>0 =三令故cos a = sincos1将(12

6、), (13), (15)代入(11)得:7卜_讣 产上巴空竺空曲 他Jf+严一2卅血0CO叩(15)(16)(16)式中-sin 0 ' ed 'r2 + r，2- 2rr' sin 0 cos=Jr2 + r，2- 2rr * sin cos 1 :rr9sin&y0二 0于是(16)得：(17)(18)川儿也心产 COS0W0（卜 4”J/*宀2；爲0迹0，由图可知，在球坐标电P点的 '二J，故川/）可写作:A（f） = e厂s%4打 订 卩 +严-2Esin&cos矿2.2具体求解BJ盘矢势A（f）把（10式代入（18）中得此圆环产生的矢

7、势为砂）=缨严骨C丿 赵矿即'14穴3 r2+r,1-2rr1sinffcos积分便得IB盘養转时在戸处的P点所产生的矢弊积分表达式为cos矿d矿42a(20)利用幕级数:+丄4宀也*22*4246知）監句X）（20）式的分母利用幕级数展开，同时设 P点在中、远区，r>>r'级数只 取二级近似值：1 r2 + r 2rr J sin 0 cos+ 2 sin 0 cos 6 f r(21)r91 + sin 8 cos 0 ' r把(21)式代入(20)式中得1+sin0cos0 cos0r卯*/o0fiw2sinet16”16w22.3求解磁感强度厮)于是

8、得：(22)由(4)式计算磁感强度 W'如下:酢卜Vx布卜凹型x(警乙16 I r2 #(23)其中由(23)式有(24)酢卜彳鬻(2cos硯+ sin為)由球坐标与直角坐标转换公式：e厂 exsin，cosey sin= sinezcos=e 二-exsiney cose 二 excos= cosey cos= sin - ezsin =3sinsin2可将结果表示成直角坐标下的磁场表达式：3cossin22Bxy,z)=oQ a 216 r3 3cos21I +sinx2cos=x2y2sin 2 二2sin coscos 2：=2acossinein 申-ysin1 y2cos

9、二x22十y2x262+y2zB(x,y,z)= 6 oQa2xz32 (x22 22y z)2ex6 °Q a2yz32 (x22 22y z)2ey0Q a2(4z - 2x2 2y2)/32 (x2 y2 z2)2巳(26)利用DTP平台制作旋转带点盘磁场三维模型如下:图二只画两个磁场面时rpl.叶T图三多磁场面时磁场分布3结果分析3.1在轴线上时，由式（25）可得B(0,0, z)二3zez该关系在图二中可清晰表示，在圆盘轴线上，随其离圆盘距离增加， 磁场线分布越稀少，磁场强度越小，在圆盘中心附近磁场线密集，则 此时磁场强度很大.3.2在z=0平面上时，由式（25）可得t3B

10、（x, y,0p0Q a2/16 （x2y2）2ez在圆盘上的磁场在图三中也可清晰表示，在盘上磁场方向竖直向下， 磁场在半径小时分布密集，磁场强度很大，而半径增大时，磁场分布 稀少，磁场强度较小，磁场大小随半径增大而减小。3.3由数字模拟的结果可判断空间任意一点的磁场方向并间接由该点 磁场密集程度判断磁场强度.3. 3适用条件本文的理论仅适合圆盘移去负电荷后成为的带正电体， 对于由多余电 子形成带负电体不适用，因为电子在高速转动时电荷会重新分布.另 外，也只适用离圆心较远的空间，即讨论中、远区的电磁辐射场，即 只使用于宀厂的情况，a越大，电磁场强度越大，离圆心 o越远， 电磁场强度越小，在无穷远处磁感应强度为 o.3.4结论 由(23)式及以上讨论，并结合图 2、图 3 可知，绕均匀带电圆盘对称 轴匀速转动时产生的电磁场是一个相当于一个平面螺线管产生的电 磁场，为稳恒磁场，没有辐射的电磁场。4 讨论通过数字模拟的方式实现了磁场的可视化， 进而将磁场的各项性质同 时表达于一个图中， 这种方式将复杂的公式与