江苏省南通市启东市2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷（含答案）

2025・2026学年江苏省南通市启东市九年级（上）期中数学试卷

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.抛物线y=x2-1的顶点坐标是（）

A.(1,0)B.(-1,0)C.(0,1)D.(0,-1)

2.己知。。的半径为5。7儿若点尸在。。外，则点尸和点O的距离可以是（）

A.3cmB.4（?//zC.5cmD.6cm

3.在下列事件中，不可能事件是（）

A.投掷一枚硬币，正面向上B.从只有红球的袋子中摸出黄球

C.任意画一个圆，它是轴对称图形D.射击运动员射击一次，命中靶心

4.将抛物线y=3/向下平移2个单位，得到新抛物线的解析式为（）

A.y=3(%-2产B.y=3x2+2C.y=3(x+2)2D.y=3xz-2

5.如图，4B是。。的弦，。。148于点。.若88=8,OC=3,则。。的半径是（）

A.4

B.5

C.6

D.10

6.不透明袋子中有1个黑球，2个红球，3个白球和4个黄球，这些球除颜色外无其他差别.从中随机摸出

•个球，放回并摇匀后重复操作，某•颜色的球出现的频率如图所示，则此球的颜色最有可能是（）

01234567次数(百次)

A.红球B.白球C.黑球D.黄球

7.已知正六边形的半径是4c〃?，则它的边心距是（）

A.2(7??B.2y/~2cmC.2XT3CTHD.4(7〃

8.如果a>0,方程a/+bx+c=O的两个不相等的实数根与，不满足%十%2>0,那么抛物线y=Q/+

bx+c的顶点在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

9.如图，从•张圆形纸片上剪出•个小圆形和•个扇形分别作为圆锥的底面和侧面，其中小员的直径是大

10.已知函数y=—：/+%+4,当％=p时，y>4.下列结论：①0<pV2；②当％=p+1时，y>4；

③当x=p-3时，y<4；④当x=p+2时，0<y<4,其中正确的个数是（）

A.IB.2C.3D.4

二、填空题：本题共6小题，共22分。

11.若事件A为必然事件，则事件A发生的概率PJ）=—.

12.若开口向下的抛物线顶点在原点，则这条抛物线的解析式是_（写出一个即可）.

13.已知48是。。的直径，8c是。。的切线.若〃C3=50。，则=—度.

14.在平面直角坐标系中，若二次函数y=/+6无+c的图象与4轴有两个公共点，则常数c的取值范围

是.

15.下面的三个问题中都有两个变量:

①直角三角形两条直角边的和等于8,直角三角形的面积y与一直角边长心

②钢球从斜面顶端由静止开始沿斜面滚下，速度每秒增加1.5/n/s.钢球滚动的距

离vm与滚动的时间xs；

③用长度一定的篱笆围成矩形场地，矩形面积y与一边长工

其中，变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是一（填序号）.

16.如图，四边形人8c。是矩形，经过点A的圆分别与边8C,CO相切于E,尸两点.

⑴“融=度；

（2）若BE=2/2,DF=2,则图中阴影部分的面积是______.

三、解答题：本题共9小题，共98分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.（本小题10分）

已知二次函数y=ax2+2ax的图象经过点（一1,1）.

（1）求a的值;

（2）在所给的坐标系中画出这个函数的图象.

18.（本小题8分）

如图，A,8是。。上的两个点，C是标的中点.求证：^CAO=^CBO.

19.（木小题10分）

在投掷铅球时，球以一定的速度斜向上抛出，不计空气阻力，在空中划过的运动路线可以看作是抛物线的

一部分.如图，建立平面直角坐标系xO.v,铅球从出手到落地的过程中，它的竖直高度y（单位：巾）与水平距

离x（单位：m）近似满足二次函数关系，记出手点与落地点的水平距离为投掷距离.小亮投掷铅球时，记录

部分数据如下表.

x/m12467•••

9889

y/m3

4334

(1)求y与x的函数表达式；

(2)当铅球的投掷距离超过11〃?时，得分为满分.请通过计算说明小亮在此次投掷中是否得满分.

20.(本小题10分)

如图，已知△4BC.

(1)尺规作图：求作。。，使。。经过A,B,C三点;

(2)仅用没有刻度的直尺在O0上我一点。，使/BCD=90。(要求：保留作图或画图痕迹，不写作法)

21.(本小题10分)

为打造活力校园，某校在大课间开展了丰富多彩的活动，现有4种体育类活动供学生选择：4羽毛球，B.

乒乓球，。.花样跳绳，。.踢健子，每名学生只能选择其中•种体育活动.

(1)若小明在这4种体育活动中随巩选择，则选中“乒乓球”的概率是；

(2)请用画树状图或列表的方法，求小明和小聪随机选择选到同一种体育活动的概率.

22.(本小题12分)

如图，。。是△ABC的外接圆，D是AB延长线上一点.若_____,_______,则______.

(1)给出下列表述：®AB是。。的直径；②C。是。。的切线；③Z8CD=乙4.请从中选择适当表述，将对

应的序号填到横线上方，使之构成真命题，补全图形，并加以证明(写出•种情况即可)；

(2)在(1)的条件下，若。4=CD,。。的半径为4,则劣弧诧的长为.

23.(本小题12分)

为拓宽高端市场，某水产品养殖基地正规划开展特定高端水产品的专业化养殖项目.经过市场调查得到如下

信息：

(1)若该水产品的总产量为5760依，求x的值：

(2)养殖面积定为多少时，基地利泗最大？最大利润是多少？

信息1：该高端水产品的销位单价为0.05万元/kg.

信息2：当养殖面积为1亩时，养殖成本为(62+4%)万元.

信息3：当养殖面积为1亩时，旬亩产量为(960—4Or)kg.

24.(本小题13分)

如图，四边形4PBe内接于。。，延长/IP,CB相交于点。，E是AC上一点，PE交AB于点F,且48二

AC,PE=CE.

(1)若/PCD=20。，4。=50。，求乙4cB的度数；

(2)求证AF=P尸；

(3)若8。=PD=3,BC=6,求44EF的周长.

25.(本小题13分)

已知平面直角坐标系中，开口向上的抛物线y=mx2+nx经过点

⑴当h=2,＜=0时,求该抛物线的对称轴；

(2)当0＜九＜2时，女的值始终为负数，证明：2m+nW0；

(3)在(2)的条件下，该抛物线经过也力)，(3£,%)两点，且当£〉：时，都有力一力＞0,试用等式表示

〃?，〃之间的数量关系，并说明理由.

参考答案

一、选择题:

\.D

2.D

3.B

4.D

5.B

6.A

7.C

8.0

9.1)

10.C

二、填空题：

11.1

l2.y=--(答案不唯一)

13.40

14.C<9

15.①③

16.45；12-3TT

三、解答题：

17.#-(1)•,•二次函数y=ax2+2ax的图象经过点(一1,1),

••1=a-2a,

解得a=-1.

•••Q的值为一1；

(2)由(1)可知函数为y=-x2-2x,

列表：

X-3-2-101

y-301()-3

描点、连线作图如下:

y

18.证明:连接AB,

•••C是弱的中点，

AAC=BC.

AAC=BC»

Z.CAB=Z.CBA,

vOA=OB,

£OAB=Z.OBA,

乙CAB+Z.OAB=Z-CBA4-Z.OBA,

即，&4。="BO.

证明：连接48,

・•・c是初的中点，

/**ss

:.AC=BC.

•••AC=BC,

:.4CAB=Z.CBA,

VOA=OB,

Z.OAB=乙OBA,

Z.CAB+Z.OAB=Z.CBA+Z.OBA»

艮|J/G4。=乙CBO.

19.解:(1)由题意得，抛物线顶点为(4,3),

•••可设抛物线的为y=a(x-4尸+3.

又将X=l,y=孑弋入上式,

9

7=9Q+3.

4

.••y=一七(无一4)2+3,即〉=一七/+|%+*

(2)将y=0代入y=-*(x-4)2+3,

1,

-(X-4)2+3=0.

?JL乙7

%1=10,x2=-2(不合题意，舍去).

•••10<11,

.・・小亮在此次投掷中没有得满分.

20.解：(1)如图，分别作线段5C,AC的垂直平分线,相交干点O,以点O为圆心,OA的长为半径画圆,

则0。即为所求.

(2)如图，连接并延长，交。。于点。，连接C。，

可知为。0的直径，

:.乙BCD=90°,

则点。即为所求.

21.解：⑴;;

(2)树状图如F所示:

开始

小明

八小

小聪ABeDABCDABCDABCD

由上可得，•共有16种等可能性，其中小明和小聪随机选择选到何•种体育活动的可能性有4种,

••・小明和小聪随机选择选到同一种体育活动的概率为微=i

22.解：（1）若①②，则③.

证明：如图，连接OC,

••・48是。。的直径,

A/.ACB=90°,即24C。+乙BCO=90°,

是00的切线,

Z.0CD=90°,即JNBCD+4BCO=90°,

Z.ACO=乙BCD,

OA=OC,

Z.A=Z.ACO,

乙BCD=乙4；

故答案为：①；②；③（答案不唯一1；

(2)、•若以=CD,

Z.A=zD,

•,乙BCD=乙4,

,.乙BCD=Z.D,

,•/.ABC=乙BCD+Z.A=2乙BCD，

,•/.ABC=2z.A,

••LACB=90°,

•./.ABC=60°,

•.LAOC=120°,

公,内上斗120/1X48

4C的长为：-——=-n

loU5f

故答案为：^n.

•J

23.解:(1)由题意，得(960-40幻％=5760,

•••Xi=%2=12.

答：X的值为12.

(2)设基地利润为y万元，

:.y—0.05(960—40x)x-(62+4%)

=-2x2+44x—62.

=-2(x-ll)2+180.

.栏》=11时，y有最大值180.

答：养殖面积定为11亩时，基地利润最大，最大利润是180万元.

24.⑴解：­：AB=AC,

:.乙ABC=Z-ACB.

•••AC=AC,

AZ.APC=Z-ABC.

Z.APC=Z-ACB.

vZ.APC=ZD+乙PCD=50°+20°=70°,

•••NACB=70°；

(2)证明：vPE=CE,

:.乙EPC=乙ECP.

由(1)知，Z.APC=Z.ACB,

Z.APC-乙EPC=乙ACB-乙ECP.

即/4PE=乙PCD.

•••PB=PB.

:.Z.PAB=乙PCD.

:.Z.PAB=Z.APE.

:，AF=PF.

(3)解：过点A作垂足为，.

A

E

-AB=AC,

1

:.BH=CH=^BC=3.

,:BD=PD,

£DBP=乙DPB.

•••匹边形AP8C内接于OO,

LAPS+LACD=180°.

•:乙DPB+乙APB=180°.

Z.ACD=Z.DPB.

同理，^DAC=乙DBP.

•••Z.ACD=Z.DAC.

=DC=3+6=9.