2022届高三数学一轮复习（原卷版）第五节 第1课时 系统知识牢基础——空间向量及其应用 教案

1、1第五节第五节空间向量及其应用空间向量及其应用第第 1 课时课时系统知识牢基础系统知识牢基础空间向量及其应用空间向量及其应用知识点一知识点一空间向量的概念及有关定理空间向量的概念及有关定理1空间向量的有关概念空间向量的有关概念名称名称定义定义空间向量空间向量在空间中，具有在空间中，具有大小大小和和方向方向的量的量相等向量相等向量方向方向相同相同且模且模相等相等的向量的向量相反向量相反向量方向方向相反相反且模且模相等相等的向量的向量共线向量共线向量(或平行向量或平行向量)表示空间向量的有向线段所在的直线互相表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行平行或或重合重合的向量的向量共面向量共面向量平行于

2、平行于同一个平面同一个平面的向量的向量2.空间向量的有关定理空间向量的有关定理(1)共线向量定理共线向量定理：对空间任意两个向量对空间任意两个向量 a a，b b(b b0 0)，a ab b 的充要条件是存在实数的充要条件是存在实数，使得使得 a ab b.(2)共面向量定理共面向量定理：如果两个向量如果两个向量 a a，b b 不共线不共线，那么向量那么向量 p p 与向量与向量 a a，b b 共面的充要条件是共面的充要条件是存在存在唯一唯一的有序实数对的有序实数对(x，y)，使，使 p pxa ayb b.(3)空间向量基本定理：如果三个向量空间向量基本定理：如果三个向量 a a，b

3、b，c c 不共面，那么对空间任一向量不共面，那么对空间任一向量 p p，存在有序，存在有序实数组实数组x，y，z，使得，使得 p pxa ayb bzc c，其中，其中，a a，b b，c c叫做空间的一个基底叫做空间的一个基底重温经典重温经典1(教材改编题教材改编题)若若 o，a，b，c 为空间四点为空间四点，且向量且向量 oa， ob， oc不能构成空间的一个不能构成空间的一个基底，则基底，则()a oa， ob， oc共线共线b oa， ob共线共线c ob， oc共线共线do，a，b，c 四点共面四点共面解析解析：选选 d向量向量 oa， ob，oc不能构成空间的一个基底不能构成空间

4、的一个基底，向量向量 oa， ob，oc共共面，因此面，因此 o，a，b，c 四点共面，故选四点共面，故选 d.2 已知正方已知正方体体abcda1b1c1d1中中， 点点e为上底为上底面面a1c1的中心的中心， 若若 aeaa1x aby ad，则则 x，y 的值分别为的值分别为()a1,1b1，12c.12，12d.12，12解析：解析：选选 caeaa1a1eaa112a1c1aa112( ab ad)，故故 x12，y12.3(多选多选)如图所示，如图所示，m 是四面体是四面体 oabc 的棱的棱 bc 的中点，点的中点，点 n 在线在线段段om 上上， 点点 p 在线段在线段 an

5、上上， 且且 ap3pn，on23om， 设设 oaa a，obb b， occ c，则下列等式成立的是，则下列等式成立的是()aom12b b12c cb an13b b13c ca ac ap14b b14c c34a ad op14a a14b b14c c解析：解析：选选 bd对于对于 a，利用向量的四边形法则，利用向量的四边形法则，om12ob12oc12b b12c c，a 错；错；对于对于 b，利用向量的四边形法则和三角形法则，得，利用向量的四边形法则和三角形法则，得an on oa23om oa2312ob12oc oa13ob13oc oa13b b13c ca a，b 对；

6、对；对于对于 c，因为点，因为点 p 在线段在线段 an 上，且上，且 ap3pn，所以所以 an43ap13b b13c ca a，所以所以 ap3413b13ca14b b14c c34a a，c 错；错；对于对于 d， op oa apa a14b b14c c34a a14a a14b b14c c，d 对，故选对，故选 b、d.4.如图所示如图所示， 在长方体在长方体 abcda1b1c1d1中中， o 为为 ac 的中点的中点， 用用 ab， ad，aa1表示表示oc1，则，则oc1_.解析解析： oc12ac12( ab ad)， oc1 occc112( ab ad)aa112

7、ab12adaa1.答案：答案：12ab12adaa15.如图所示，在四面体如图所示，在四面体 oabc 中，中， oaa a， obb b， occ c，d 为为 bc3的中点，的中点，e 为为 ad 的中点，则的中点，则 oe_(用用 a a，b b，c c 表示表示)解析：解析： oe oa aea a12ada a12( od oa)12a a12od12a a1212( ob oc)12a a14b b14c c.答案：答案：12a a14b b14c c6设设 a a(2x,1,3)，b b(1,3,9)，若，若 a ab b，则，则 x_.解析：解析：a ab b，2x11339

8、，x16.答案：答案：167(易错题易错题)给出下列命题：给出下列命题：若向量若向量 a a，b b 共线，则向量共线，则向量 a a，b b 所在的直线平行；所在的直线平行；若三个向量若三个向量 a a，b b，c c 两两共面，则向量两两共面，则向量 a a，b b，c c 共面；共面；已知空间的三个向量已知空间的三个向量 a a，b b，c c，则对于空间的任意一个向量则对于空间的任意一个向量 p p，总存在实数总存在实数 x，y，z 使使得得p pxa ayb bzc c；若若 a，b，c，d 是空间任意四点，则有是空间任意四点，则有 ab bc cd da0.其中为真命题的是其中为真

9、命题的是_(填序号填序号)解析解析：若若 a a 与与 b b 共线共线，则则 a a，b b 所在的直线可能平行也可能重合所在的直线可能平行也可能重合，故故不正确不正确；三个向量三个向量 a a，b b，c c 中任两个一定共面，但它们三个却不一定共面，故中任两个一定共面，但它们三个却不一定共面，故不正确；只有当不正确；只有当 a a，b b，c c 不共面不共面时时，空间任意一个向量空间任意一个向量 p p 才一定能表示为才一定能表示为 p pxa ayb bzc c，故故不正确不正确；据向量运算法则可据向量运算法则可知知正确正确答案：答案：知识点二知识点二两个向量的数量积及其运算两个向量

10、的数量积及其运算1空间向量的数量积及运算律空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念数量积及相关概念两向量的夹角：已知两个非零向量两向量的夹角：已知两个非零向量 a a，b b，在空间任取一点，在空间任取一点 o，作，作 oaa a， obb b，则，则aob 叫做向量叫做向量 a a 与与 b b 的夹角的夹角，记作记作a a，b b，其范围是其范围是0，若若a a，b b2，则称则称 a a4与与 b b 互相垂直互相垂直，记作，记作 a ab b.非零向量非零向量 a a，b b 的数量积的数量积 a ab b|a a|b b|cosa a，b b(2)空间向量数量积的运算律空间向量

11、数量积的运算律结合律：结合律：(a a)b b(a ab b)；交换律：交换律：a ab bb ba a；分配律：分配律：a a(b bc c)a ab ba ac c.2空间向量的坐标表示及其应用空间向量的坐标表示及其应用设设 a a(a1，a2，a3)，b b(b1，b2，b3).向量表示向量表示坐标表示坐标表示数量积数量积a ab ba1b1a2b2a3b3共线共线a ab b(b b0 0，r r)a1b1，a2b2，a3b3垂直垂直a ab b0 0(a a0 0，b b0 0)a1b1a2b2a3b30模模|a a|a21a22a23夹角夹角a a，b b(a a0 0，b b0

12、0)cosa a，b ba1b1a2b2a3b3a21a22a23 b21b22b23重温经典重温经典1在空间四边形在空间四边形 abcd 中中， ab cd ac db ad bc的值为的值为()a1b0c1d2解析解析：选选 b如图如图，令令 aba a， acb b， adc c，则则 ab cd ac db ad bc ab( ad ac) ac( ab ad) ad( ac ab)a a(c cb b)b b(a ac c)c c(b ba a)a ac ca ab bb ba ab bc cc cb bc ca a0.52.如图所示如图所示， 已知已知 pa平面平面 abc， ab

13、c120， paabbc6， 则则| pc|等于等于()a6 2b6c12d144解析解析：选选 c pc pa ab bc， pc2 pa2 ab2 bc22 ab bc363636236cos 60144，| pc|12，故选故选 c.3(教材改编题教材改编题)已知已知 a a(1,2，2)，b b(0,2,4)，则，则 a a，b b 夹角的余弦值为夹角的余弦值为_解析：解析：cosa a，b bab|a|b|2 515.答案：答案：2 5154已知已知 a a(2,3,1)，b b(4,2，x)，且，且 a ab b，则，则|b b|_.解析：解析：a ab b，86x0，解得，解得

14、x2，故故|b b| 4 222222 6.答案：答案：2 65 已知已知 a a(cos ， 1， sin )， b b(sin ， 1， cos )， 则向量则向量 a ab b 与与 a ab b 的夹角是的夹角是_解析：解析：a ab b(cos sin ，2，cos sin )，a ab b(cos sin ，0，sin cos )，(a ab b)(a ab b)(cos2sin2)(sin2cos2)0，(a ab b)(a ab b)，则，则 a ab b 与与 a ab b 的夹角是的夹角是2.答案：答案：26(易错题易错题)如图所示，在大小为如图所示，在大小为 45的二面角

15、的二面角 aefd 中，四边中，四边形形abfe，cdef 都是边长为都是边长为 1 的正方形，则的正方形，则 b，d 两点间的距离是两点间的距离是_解析：解析： bd bf fe ed，| bd|2| bf|2| fe|2| ed|22 bf fe2 fe ed2 bf ed111 23 2，故，故| bd| 3 2.答案：答案： 3 2知识点三知识点三空间中的平行与垂直的向量表示空间中的平行与垂直的向量表示61直线的方向向量和平面的法向量直线的方向向量和平面的法向量(1)直线的方向向量：如果表示非零向量直线的方向向量：如果表示非零向量 a a 的有向线段所在直线与直线的有向线段所在直线与直

16、线 l 平行或重合平行或重合，则称，则称此向量此向量 a a 为直线为直线 l 的方向向量的方向向量(2)平面的法向量：直线平面的法向量：直线 l，取直线，取直线 l 的方向向量的方向向量 a a，则向量，则向量 a a 叫做平面叫做平面的法向量的法向量2空间位置关系的向量表示空间位置关系的向量表示位置关系位置关系向量表示向量表示直线直线 l1，l2的方向向量分别为的方向向量分别为 n n1，n n2l1l2n n1n n2n n1n n2l1l2n n1n n2n n1n n20直线直线 l 的方向向量为的方向向量为 n n， 平面平面的法向量的法向量为为 mmln nmmn nmm0ln

17、nmmn nmm平面平面，的法向量分别为的法向量分别为 n n，mmn nmmn nmmn nmmn nmm0重温经典重温经典1已知已知 a(1,0,0)，b(0,1,0)，c(0,0,1)，则下列向量是平面，则下列向量是平面 abc 法向量的是法向量的是()a(1,1,1)b(1，1,1)c.33，33，33d.33，33，33解析：解析：选选 c设设 n n(x，y，z)为平面为平面 abc 的法向量，的法向量，则则n ab0，n ac0，化简得，化简得xy0，xz0，xyz，故选，故选 c.2已知直线已知直线 l 与平面与平面垂直垂直，直线直线 l 的一个方向向量为的一个方向向量为 u

18、u(1，3，z)，向量向量 v v(3，2,1)与平面与平面平行，则平行，则 z 等于等于()a3b6c9d9解析：解析：选选 cl，v v 与平面与平面平行，平行，u uv，即，即 u uv0，13(3)(2)z10，7z9.3平面平面的一个法向量为的一个法向量为(1,2，2)，平面，平面的一个法向量为的一个法向量为(2，4，k)若若，则，则 k等于等于()a2b4c4d2解析：解析：选选 c，两平面的法向量平行，两平面的法向量平行，2142k2，k4.4(教材改编题教材改编题)已知平面已知平面，的法向量分别为的法向量分别为 n n1(2,3,5)，n n2(3,1，4)，则，则()abc，

19、相交但不垂直相交但不垂直d以上均不对以上均不对解析：解析：选选 cn n1n n2，且，且 n n1n n2230，相交但不垂直相交但不垂直5.如图所示如图所示， 在正方体在正方体 abcda1b1c1d1中中， o 是底面正方形是底面正方形 abcd 的中心的中心，m是是d1d的中点的中点， n是是a1b1的中点的中点， 则直则直线线on， am的位置关系是的位置关系是_解析：解析：以以 a 为原点，分别以为原点，分别以 ab， ad，aa1所在直线为所在直线为 x，y，z 轴，建立轴，建立空间直角坐标系空间直角坐标系(图略图略)，设正方体的棱长为，设正方体的棱长为 1，则则 a(0,0,0

20、)，m0，1，12 ，o12，12，0，n12，0，1.am on0，1，12 0，12，10，on 与与 am 垂直垂直答案：答案：垂直垂直6(易错题易错题)如图所示，在四棱锥如图所示，在四棱锥 pabcd 中，底面中，底面 abcd 是正方形，侧是正方形，侧棱棱 pd底面底面 abcd，pddc，e 是是 pc 的中点，过点的中点，过点 e 作作 efbp 交交bp 于点于点 f.(1)证明：证明：pa平面平面 edb；(2)证明：证明：pb平面平面 efd.证明：证明：如图所示，以如图所示，以 d 为坐标原点，射线为坐标原点，射线 da，dc，dp 分别为分别为 x 轴、轴、y 轴、轴、

21、z 轴的正方向轴的正方向建立空间直角坐标系设建立空间直角坐标系设 dca.(1)连接连接 ac 交交 bd 于点于点 g，连接，连接 eg.依题意得依题意得 a(a,0,0)，p(0,0，a)，e0，a2，a2 .因为底面因为底面 abcd 是正方形，是正方形，所以所以 g 是此正方形的中心，是此正方形的中心，8故点故点 g 的坐标为的坐标为a2，a2，0，所以，所以 pa(a,0，a)， ega2，0，a2 .则则 pa2 eg，故，故 paeg.而而 eg平面平面 edb，pa 平面平面 edb，所以，所以 pa平面平面 edb.(2)依题意得依题意得 b(a，a,0)，所以，所以 pb(

22、a，a，a)又又 de0，a2，a2 ，故，故 pb de0a22a220，所以，所以 pbde.由题可知由题可知 efpb，且且efdee，所以，所以 pb平面平面 efd.知识点四知识点四利用空间向量求空间角利用空间向量求空间角1异面直线所成角异面直线所成角设异面直线设异面直线 a，b 所成的角为所成的角为，则则 cos |a ab b| a a |b b|，其中其中 a a，b b 分别是直线分别是直线 a，b 的方向向量的方向向量2直线与平面所成角直线与平面所成角如图所示，设如图所示，设 l 为平面为平面的斜线，的斜线，la，a a 为为 l 的方向向量，的方向向量，n n 为平面为平

23、面的法向量，的法向量，为为 l 与与所成的角，则所成的角，则 sin |cosa a，n n|a an n|a a|n n|.3二面角二面角(1)若若 ab，cd 分别是二面角分别是二面角l的两个平面内与棱的两个平面内与棱 l 垂直的异面直线垂直的异面直线，则二面角则二面角(或其补角或其补角)的大小就是向量的大小就是向量 ab与与 cd的夹角，如图的夹角，如图 a.(2)平面平面与与相交于直线相交于直线 l，平面，平面的法向量为的法向量为 n n1，平面，平面的法向量为的法向量为 n n2，n n1，n n2，则，则二面角二面角l为为或或.设二面角大小为设二面角大小为，则，则|cos |cos

24、 |n n1n n2|n n1|n n2|，如图，如图 b，c.重温经典重温经典1(易错题易错题)已知两平面的法向量分别为已知两平面的法向量分别为 mm(0,1,0)，n n(0,1，1)，则两平面所成的二面角为则两平面所成的二面角为()a45b135c45或或 135d909解析解析：选选 ccosmm，n nmmn n|mm|n n|11 222，即即mm，n n45，两平面所成的二面两平面所成的二面角为角为 45或或 135.2 (教材改编题教材改编题)已知向量已知向量 mm， n n 分别是直线分别是直线 l 和平面和平面的方向向量和法向量的方向向量和法向量，若若 cosmm，n n12，则，则 l 与与所成的角为所成的角为()a30b60c120d150解析：解析：选选 a由于由于 cosmm，n n12，所以，所以mm，n n120，所以直线，所以直线 l 与与所成的角所成的角为为30.3在正方体在正方体 abcda1b1c1d1中，中，bb1与平面与平面 acd1所成角的正弦值为所成角的正弦值为()a.32b.33c.35d.25解析：解析：选选 b设正方体的棱长为设正方体的棱长为 1，以，以 d 为坐标原点，为坐标原点，da，dc，dd1所在直线分别为所在直线分别为 x 轴轴、y 轴轴、z 轴轴，建立空间直角坐标系建立