2-2连续型随机变量及其概率分布(精)

1、证明1 = F(oo)=匸P( (x)d x.2-2连续型随机变量 及其概率密度一、 连续型变量的概率分布二、 正态分布三、 小结一、连续型变量的概率分布1定义设X为随机变量F(x)为X的分布函数若存在 非负函勤(兀)，使对于任意实数有 则称X为连续型随机变曲中p(x)称为X的概 率密度函数简称概率密度性质 对任意fi,p(x)0. 匚pCr)dx = l S=匸p(x)dx = 1S、=p(x)dx(3)PxxX x2 =F(X2)-F(Xj)= fpx)dxJx证明Px X X2 = F(X2)-F(X)=匚(兀)dxdx = Jvp(x)dx.同时得以下计算公式PXa = l-PX J_

2、8JaJa(4)若“(x)在点 X 处连续，则有Fx) = P(x).p(x)注意对于任意可能值4,连续型随机变量取4的概率等于零即PX = a =0证明PX =a= lim*4p(r)djr = 0由此可得PaX b PaX b = PaX b |I=PaXb.I连续型随机变量的概率与区间的开闭无关设X为连续型随机变量，XF是不可能 事件，则有PX =a =0 若PX=4 = 0,则不能确定X=a是不可能事件若X为离散型随机变量，X=0是不可能事件o PX =0 = 0 连续型离散型补充例设随机变量X具有概率密度kx.0 x 3,X/?(%) = 2-, 3 x 4,0,其它(1)确定常数；

3、(2)求X的分布函数7(3)求PX 4.3 V兀v 4,即x 0,正态分布1.正态分布2其它连续型变量的分布定义设连续型随机变童的概率密度为(-“)2p(x) = -/-e2r, - oo x 0)为常数则称X服从参数为(7的正态分布或高斯分抚为X N( (W1.正态分高斯资F(x) =p(x)dx得正态概率密度函数的几何特征(3)当兀 T 土 8 时；p(x) 0;(4)曲线在兀=“土处有拐点曲线以兀轴为渐近线当定改变“的大小时卩(兀)图形的形状不釵是沿着兀轴作平移变换代X)不变而形状在改变7越小图形越高越瘦丁越大图形越矮越胖正态分布的分布函数当定“，改变的大小时卩（兀）图形的对称牟(X)1

4、-“）22 6正态分布的应用与背景正态分布是最常见最重要的一种分布，例如测量误差；人的生理特征尺寸如身高、体重等;正常情况下生产的产品尺寸:直径、长度、重量高度等都近似服从正态分布.正态分布下的概率计算原函数不是初等函数转化为标准正态分布査表计算2标准正态分布当正态分布中的“ =02 = 1时，这样 的正态分布称为标准正态分布，记为N(0,l) 标准正态分布的概率密度表示为12,oo X 2.58)(3) PIXI 2.58) = 1一P(X 2.58) = 1一(258)= 1-0.995060 = 0.00494PIXkl96= P(-l96vX vl96)=(D (1.96)-0(-1.

5、96)=0.97500一0.02500 = 0.95003正态分布与标准正态分布的关系1)若XN(“, /),则Z =N(0,1).a2)设X“心)，/(x) =丄0(4) b bF(x) = 0()即PcX d = 一引理 若X则2=兰二TV(O,I)r证明z=N的分布函数为aPZ x= x=PX + ma因而PcX FA(X) = PXx = pj例2假设X(1.5,4),计算：(1)/(5.5)(2) P(-4 v X v 2)解(1)f(5.5)=丄( (p(5515)=丄仅2)=丄x 0.05399 = 0.026995p(_4 X 2) = F(2) - F(-4)“2 1.5、4

6、 1.5= (一)一(-)2 2(0.25) 1)(2.75) =0.5987 - 0.00298 =0.59572例3假设XN(“，庆)，计算：(1) P(l X -“Iv 1.96c)解(1)P(l X “ lv 1.96c) =P(-l.96c v X “ v 1.96c)=P(ju 1.96b v X v “ +1.96b)=F( +l96b) F(“一1.96b)+1.96b“、“_1.96b_“、=0(- ) - 0)(-)bb= 0(1.96)-0(-1.96)= 0.975-0.025=0.95由标准正态分布的查表计算可以求得, 当 XN(0, 1)时，P(X1)=20)(1)

7、-1=0.6826P(X2)=2 0X2)-1=0.9544P(X3)=2(3)-1=0.9974这说明，X 的取值几乎全部集中在-3,3区间内，超出这个范围的可能性仅占不到 0 3% 将上述结论推广到一般的正态分布，x N(T)时，Y=N(0,l)bP(iy-/I 0-) = 0.6826P(Y-JLI 2a) =0.9544P(Y-JLL3b) = 0.9974可以认为，丫的取值几乎全部集中在)LI 3cr,/ + 3a区间内.这在统计学上称作“37准则”.例 4 设X试求X以95%的概率 所落入的区间解不妨假设X落入的区间是( (A-mcr,zz + ma)由题意可得P(/z ma 不

8、/ “ +mb LI土彳p mb p、 ecu( - ) = 0.95 =ber(加)一(加)=0.95 = 0(m) 1 = 0.95 =2(加)-1 = 0.95 =(加)=0.975反查表，可得m = 1.96所以X以95%的概率落入的区间为(/z 1.965).06n=10000.p=000505)0403)02013035 40 45 50 55 60 65二、常见连续型随机变量的分布1.均匀分布定义设连续型随机变量具有概率密盾1 .-,a x 3 .设丫表示3次独立观测中观测值大于3的次数,因而有由于P(A)则YPY220272.指数分布定义设连续型随机变量的概率密度为其中兄0为常

9、数则称X服从参数为I的指数分布某些元件或设备的寿命服从指数分布例如无线电元件的寿命，电力设备的寿命，动物的寿命等都服从指数分布.应用rx J223分布补充例4设某类日光灯管的使用寿命X服从参数为 入=1/2000的指数分布(单位:小时)(1)任取一只这种灯管,求能正常使用1000小时以上的概率.(2)有一只这种灯管已经正常使用了1000小时以上，求还能使用1000小时以上的概率.解X的分布函数为F(x)Jl-eX, xQ,0,x 1000= 1-PX 200qX1000PX2000,X1000=PX1000PX2000=PX1000l-PX2000=l-PX0兀ax0,x0,“为常数，则称X服从对数正态分布。此时lgXN(“y)。实际中，在验证某随机变量服从正态分布失败时, 通常考虑对数正态分布。/U)=3.韦布尔分布1定义：若随机变量X的概率密度函数为则称x服从韦布尔分布，其中加0为形状参数，Q为位置参 数，00为尺度参数。当zn = l,/? = l时，我们称之为指数分布。小4.厂分布定义：若随机变量X的概率密度函数为1丄_?_ xaepx0/(兀)彳0於T(” + l)9-0, x 1,00,则称X服