三角形全等汇总

1、三角形全等一 倍长中线法1. 如图所示，AD是ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF。 求证：AC=BF。证明：延长FD至H，使得DH=FD，连结HC。 D为BC中点 BD=CD在BFD和CHD中 BFDCHD(SAS) H=BFH AE=FE HAC=AFE又 AFE=BFH H=HAC CH=CA BF=AC2.如图，中，是中线求证：【解析】 延长到，使，连结在和中 ，在中，3. 如图，在中，交于点，点是中点，交的延长线于点，交于点，若，求证：为的角平分线【解析】 延长到点，使，连结在和中，而又，为的角平分线4. 已知ABC中，AB=AC，BD为AB的延长线，且BD=AB，

2、CE为ABC的AB边上的中线求证CD=2CE【解析】 (等边、中点、线段倍数)(一)延长CE到K，使CE=EK，连接BK AECBEK AC=BK=BDA=3AB=AC 5=ACBKBC=3+5=A+ACB=4BC=BC CKBCDB CK=CD 2CE=CD5. 如图，在正方形ABCD中，E为AB边的中点，G、F分别为AD，BC边上的点，若AG=1，BF=2，GEF=90°，则GF的长为多少？解题思路：延长AD至E，使DE=AD，连接CE，可先证明ABDECD，则AB=CE，在ACE中，根据三角形的三边关系，得AE-ACCEAE+AC，即9CE19.则9AB19.6.如图，在ABC

3、中，AB=5cm,AC=3cm,AD是BC边上的中线，求AD的取值范围.7.如图，CE,CB分别是ABC,ADC的中线，且ACB=ABC,求证：CD=2CE.8.如图，在ABC中，D是BC的中点，AB=5，AD=6，AC=13.求证：ABAD.9.如图，点D,E三等分ABC的BC边，求证：AB+AC>AD+AE.10.如图，D是线段AB的中点，在AB上取异于D的点C,分别以AC,BC为斜边在AB同侧作等腰直角三角形ACE与BCF,连接DE,DF,EF,求证：DEF为等腰直角三角形.11.如图，已知在中，是边上的中线，是上一点，延长交于，求证： 解：延长到，使，连结，又，12. 已知为的中

4、线，的平分线分别交于、交于求证： 解：延长到，使，连结、易证，又，的平分线分别交于、交于，利用证明，在中，13. 如图所示，在中，是的中点，垂直于，如果，求证 解：延长至，使，连接、因为，则从而，而，故，因此，即，则，即因为，故，则为Rt斜边上的中线，故由此可得14. 如图所示，在中，延长到，使，为的中点，连接、，求证解：如图所示，延长到，使容易证明，从而，而，故 注意到，故，而公用，故，因此15.如图，是的边上的点，且，是的中线。求证： 思路：要证明“”，不妨构造出一条等于的线段，然后证其等于。因此，延长至，使。证明：延长至点，使，连接在与中(SAS)，又，在与中(SAS)又。思考：三角形中

5、倍长中线，可以构造全等三角形，继而得出一些线段和角相等，甚至可以证明两条直线平行。16.如图4-1：AD为ABC的中线，且1=2，3=4，求证：BE+CF>EF 证明：延长ED至M，使DM=DE，连接 CM，MF。在BDE和CDM中， BD=CD （中点定义） 1=5（对顶角相等） ED=MD （辅助线作法） BDECDM （SAS） 又1=2，3=4 （已知） 1+2+3+4=180°（平角的定义） 3+2=90°即：EDF=90° FDM=EDF =90°在EDF和MDF中 ED= MD （辅助线作 法） EDF=FDM （已证） DF=DF

6、（公共边） EDFMDF （SAS） EF=MF （全等三角形对应边相等） 在CMF中，CF+CM>MF（三角形两边之和大于第三边） BE+CF>EF17.已知ABC，AD是BC边上的中线，分别以AB边、AC边为直角边各向外作等腰直角三角形， 求证EF=2AD证明：延长AD,使AD=DM连接BMAD是角BC边上的中线,即BD=CDAD=DMBDM=ADCACDBDMDAC=BMAABE和ACF是等腰直角三角形BAE=CAF=90°AE=AB,AC=AFEAF+BAC=360°-(BAE+CAF)=180°BAC=BAD+DAC=BAD+BMFABM+B

7、AD+BMA=ABM+BAC=180°EAF=ABMAEFABM（SAS）EF=AM=AD+DE=2AD18. 在ABC中，AB5，AC3，则BC边上的中线AD的长的取值范围是_【答案】：1<AD<4【分析】:如图2，延长AD到点E，使DEAD，连结BE 可证得BEDCAD ， BEAC3 由三角形的三边关系定理，知 ABBE<AE<ABBE 即ABAC<2AD<ABAC 53<2AD<53 1<AD<4 BC边上的中线AD的长的取值范围是 1<AD<419.已知：中，,是中线 （1） 求证： （2）边上的中线A

8、M的长的取值范围是什么？ 【答案】如图所示，延长到，使，连结，AM为BC中线，BMMC 在ACM和DBM中 （SAS），在中， 【解析】将AM边放在某个三角形中，利用三边关系求出取值范围； 中线倍长法的具体应用：延长AM至D，使DM=AM，连接BD；利用SAS证明三角形全等； 将线段AC转换成BD，在ABD中利用三边关系求出2AM取值范围.20.如图，正方形ABCD中，E,F分别是AD,DC的中点，BF,CE相交于点M。求证：AM=AB二 截长补短法1已知：在等腰三角形ABC中，AB=AC，ADBC于点D以AC为边作等边三角形ACE，直线BE交直线AD于点F，连接FC（1）如图1，120

9、76;<BAC<180°，ACE与ABC在直线AC的异侧，且FC交AE于点M求证：FEA=FCA；猜想线段FE，FA，FD之间的数量关系，并证明你的结论；（2）当60°<BAC<120°，且ACE与ABC在直线AC的同侧时，利用图2探究线段FE，FA，FD之间的数量关系，并直接写出你的结论                          &#

10、160;                 图1                                           

11、0; 图22已知：在ABC中，ABC<60°，CD平分ACB交AB于点D，点E在线段CD上（点E不与点C，D重合），且EAC=2EBC（1）如图1，若EBC=27°，且EB=EC，则DEB=     °，AEC=     °；（2）如图2求证：AEAC=BC；若ECB=30°，且AC=BE，求EBC的度数                

12、60;              图1                                             图23在数学探究课上，老师出示了

13、这样的探究问题，请你一起来探究：    已知：C是线段AB所在平面内任意一点，分别以AC、BC为边，在AB同侧作等边三角形ACE和BCD，联结AD、BE交于点P（1）如图1，当点C在线段AB上移动时，线段AD 与BE的数量关系是：         （2）如图2，当点C在直线AB外，且ACB120°，上面的结论是否还成立？若成立请证明，不成立说明理由此时APE是否随着ACB的大小发生变化，若变化写出变化规律，若不变，请求出APE的度数（3）如图3，在（2）的条件下，以AB为边在AB另一侧

14、作等边三角形ABF，联结AD、BE和CF交于点P，求证：PB+PC+PA=BE                                                      &#

15、160;             4阅读下面材料：    课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，ABC中，若AB=5，AC=3，求BC边上的中线AD的取值范围.    小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使DE=AD，再连接BE，相当于把AB、AC、2AD集中在ABE中，利用三角形的三边关系可得2AE8,即可得到AD的取值范围.请你写出AD的取值范围；    小明小组的感悟：解题时，

16、可以通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中.请你解决以下问题：（1）如图2，在ABC中，D是BC边上的中点，EDDF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF.求证：BE+CFEF；若A=90º，请直接写出线段BE、CF、EF之间的数量关系为（2）如图3，在四边形ABDC中，B+C=180º，DB=DC，BDC=120º，以D为顶点作一个60º的角，角的两边分别交AB、AC于E、F两点，连接EF，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明.5阅读下面材料：小聪遇到这样一个有关角平分线的问题：如图1，在ABC中，

17、A=2B，CD平分ACB，AD=2.2，AC=3.6求BC的长小聪思考：因为CD平分ACB，所以可在BC边上取点E，使EC=AC，连接DE这样很容易得到DECDAC，经过推理能使问题得到解决（如图2）请回答：（1）BDE是         三角形（2）BC的长为     参考小聪思考问题的方法，解决问题：如图3，已知ABC中，AB=AC，A=20°，BD平分ABC，BD=2.3，BC=2求AD的长答案：1（1）证明：如图2    图2AB=AC，

18、1=2ADBC于点D，直线AD垂直平分BCFB=FCFBC=FCBFBC1=FCB2，即3=41分等边三角形ACE中，AC=AE，AB=AE3=54=5即FEA=FCA2分FE+FA=2FD3分证明：在FC上截取FN，使FN=FE，连接EN（如图3）FME=AMC，5=4，180°5FME=180°4AMC，即EFM=CAM等边三角形ACE中，CAE=60°，EFM=60°图3FN=FE，EFN为等边三角形FEN=60°，EN=EFACE为等边三角形，AEC=60°，EA=ECFEN=AECFENMEN=AECMEN，即5=6

19、0;                                   在EFA和ENC中，EFAENC4分FA=NCFE+FA=FN+NC =FCEFC=FBC+FCB=60°，FBC=FCB，FCB=60°=30°ADBC，FDC=90°，FC=2FDFE+FA=2FD5分（2）FE+2FD=

20、FA7分2解：（1）54，99；2分图2（2）证明：在CB上截取CF，使CF=CA，连接EF（如图2）CD平分ACB，1=2在ACE和FCE中，ACEFCE3分3=4，AE=FE4=5+6，3=5+63=26，5=64分FB=FEAE=FBAEAC=FBFC=BC5分解：连接AF（如图3）1=2=30°，图3ACF=1+2=60°AC=FC，ACF是等边三角形AF=AC，FAC=60°AC=BE，BE=AF 在BFE和AEF中，BFEAEF6分6=77+3=60°，6+3=60°3=26，6+26=60°6=20°即EBC=

21、20°7分3（1）AD =BE（2）AD =BE成立，APE不随着ACB的大小发生变化，始终是60°. 证明：ACE和BCD是等边三角形EC = AC，BC=DCACE=BCD=60°ACE+ACB =BCD+ACB，即ECB=ACD在ECB和ACD中，ECBACD（SAS）AD =BECEB=CAD设BE与AC交于Q又AQP=EQC，AQP+QAP +APQ =EQC+CEQ +ECQ=180°APQ =ECQ=60°，即APE=60°（3）由（2）同理可得CPE=EAC=60°   在PE上截取PH=

22、PC，连接HC，PCH为等边三角形HC=PC，CHP=60°CHE=120°又APE=CPE =60°CPA=120°CPA=CHE在CPA和CHE中，CPACHE（AAS）AP =EH   PB+PC+PA= PB+PH+ EH =BE4解：1AD4.     1分(1) 如图2，延长FD到G，使得DG=DF，连接BG、EG. BD=DC，1=2，BDGCDF（SAS）.CF=BG.2分EDDF，DG=DF，ED是GF的垂直平分线.EG=EF.    

23、  3 分在BEG中，BE+BGEG，BE+CFEF.   4分BE2+CF2=EF2.  5分(2)BE+CF=EF. 6分如图3，延长AB到G，使得BG=CF，连接DG. ABD+GBD=180°.ABD+C=180°, GBD=C.又DB=DC,BDGCDF（SAS）.   7分GD=DF，1=2.依题意可知：EDF=60°，3+2=BDC-EDF=60°.GDE=3+1=60°=EDF.  又DE=DE,EDGEDF（SAS）.  EF=EG=BE+BG=B

24、E+FC. 8分5解：（1）BDE是等腰三角形.1分.（2）BC的长为5.8.2分.    ABC中，AB=AC, A=20°，    ABC=C= 80°，BD平分B.    1=2= 40°，BDC= 60°，.    在BA边上取点E，使BE=BC=2，连接DE，. 3分    则DEBDBC，BED=C= 80°，    4=60°，3=60

25、6;，    在DA边上取点F，使DF=DB，连接FE，4分    则BDEFDE，5=1= 40°，BE=EF=2,    A=20°，6=20°，AF=EF=2,    BD=DF=, AD = BD+BC=4.3.5分.6.如图，在ABC中，B=60º，CE是ABC的角平分线，且交于点O,求证：AC=AE+CD.7.如图，ABC的角平分线AD,BE相交于点P,(1) 在图1中，分别画出点P到边AC,BC,BA的垂线段PF,PG,P

26、H,这3条线段相等吗？(2) 在图2中，ABC是直角，C=60º,其余条件都不变，请你判断PE与PF之间的数量关系？8.如图，AD是ABC的角平分线，AB>AC,求证：AB-AC>BD-DC.9.如图，ABCD,BE平分ABC,CE平分BCD,求证：BC=AB+CD.10.如图，正方形ABGE中，点D在EG的延长线上，点C在GB的延长线上，DAC=45°,求证：DE=CD+CB.11.如图，AD为ABC的高，ABC=2C，证明：CD=AB+BD”我们可以用“截长、补短”的方法将这类问题转化为证明两条线段相等的问题：在CD上截取DE=BD，连结AE（1）请补写完这

27、个证明：（2）运用上述方法证明：如图，AD平分BAC，ABC=2C，证明：BD=AC-AB解答：（1）证明：在CD上截取DE=BD，连结AE，ADBC，AB=AE，B=AEB，B=2C，AEB=C+EAC，C=EAC，EC=AE=AB， CD=CE+DE=AB+BD（2）证明：在AC上截取AE=AB，连接DE，AD平分BAC，1=2，在BAD和EAD中AD=AD1=2AB=AEBADEAD，DE=BD，B=AED，B=2C，AEB=C+EDC，C=EDC，DE=EC=DB，AC-AE=EC，EC=BD，AE=AB，BD=AC-AB12. 如图，在中，是的平分线，且，求的度数解：如图所示，延长至

28、使，连接、由知，而，则为等边三角形注意到，故.从而有，故.所以，13.已知中，、分别平分和，、交于点，试判断、的数量关系，并加以证明解：，理由是：在上截取，连结，利用证得，利用证得，14. 如图，已知在ABC内，P、Q分别在BC、CA上，并且AP、BQ分别是BAC、ABC的角平分线，求证：解：延长AB至D，使，连DP在等腰BPD中，可得，从而，ADPACP（ASA），故又，故 ，从而15.点，在等边三角形的边上运动，求证：解：延长至，使得 是等腰三角形，且， 是等边三角形 在和中， ., .又 ， .在与中， 16.如图,已知ACBD，EA、EB分别平分CAB和DBA，CD过点E，则AB与AC

29、+BD相等吗？请说明理由证明：在AB上取点N ,使得AN=AC CAE=EAN AE为公共,CAEEANANE=ACE又AC平行BDACE+BDE=180而ANE+ENB=180ENB=BDENBE=EBNBE为公共边EBNEBDBD=BNAB=AN+BN=AC+BD17.已知：如图1所示， AD为ABC的中线，且1=2,3=4。求证：BE+CF>EF。分析：要证BE+CF>EF ，可利用三角形三边关系定理证明，须把BE，CF，EF移到同一个三角形中，而由已知1=2， 3=4，可在角的两边截取相等的线段，利用全等三角形的对应边相等，把EN，FN，EF移到同个三角形中。证明：在DA上

30、截取DNDB,连接NE,NF,则DNDC,在DBE和DNE中： DN=DB,12,ED=EDDBEDNE （SAS）BENE（全等三角形对应边相等）同理可得：CFNF在EFN中ENFNEF（三角形两边之和大于第三边）BECFEF18.如图，已知在内，P，Q分别在BC，CA上，并且AP，BQ分别是，的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP 证明：延长AB到D，使得BD=BP,连接PD,则D=5AP,BQ分别是BAC, ABC的平分线，BAC=60°,ACB=40°1=2=30°,ABC=180°-60°-40°=80°,3=4

31、=40°=CBQ=QC又D+5=3+4=80°, D=40°在APD与APC中，AP=AP, 1=2, D=C=40°APDAPC(AAS)AD=AC即AB+BD=AQ+QCAB+BP=BQ+AQ19.如图，在中，为上任意一点求证： 原图 法一图 法二图思路：欲证，不难想到利用三角形中三边的不等关系来证明。由于结论中是差，故用两边之差小于第三边来证明，从而想到构造线段。而构造可以采用“截长”和“补短”两种方法。证明：法一：在上截取，连接在与中(SAS)在中，即ABAC>PBPC。 法二：延长至，使，连接在与中(SAS)在中， 。思考：当已知或求证中

32、涉及线段的和或差时，一般采用“截长补短”法。具体作法是：在较长的线段上截取一条线段等于一条较短线段，再设法证明较长线段的剩余线段等于另外的较短线段，称为“截长”；或者将一条较短线段延长，使其等于另外的较短线段，然后证明这两条线段之和等于较长线段，称为“补短”。20. 如图，ABC中，A=60°，点D在AC边上，且AB=CD，DEAB，CBE+CDE=180°(1)如图1，当ABC=90°时，求证点D时AC边中点 判断BCE的形状，并证明你的结论：(2)如图2，当ABC90°时，（1）中的结论是否成立？若成立，请验证；若不成立，请说明理由 

33、60;           第86页 共53页三 旋转法1. 正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求EAF的度数. 证明：将三角形ADF绕点A顺时针旋转90度，至三角形ABG则GE=GB+BE=DF+BE=EF又AE=AE，AF=AG，所以三角形AEF全等于AEG所以EAF=GAE=BAE+GAB=BAE+DAF又EAF+BAE+DAF=90所以EAF=45度2. D为等腰斜边AB的中点，DMDN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。(1)当绕点D转动时，求证DE=DF。(2)

34、若AB=2，求四边形DECF的面积。解：(1）连接DC， D为等腰斜边AB的中点，故有CDAB，CDDACD平分BCA90°，ECDDCA45° 由于DMDN，有EDN90° 由于 CDAB，有CDA90° 从而CDEFDA 故有CDEADF（ASA） 故有DE=DF（2） SABC=2, S四DECF= SACD=13. 已知四边形中，绕点旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于当绕点旋转到时（如图1），易证当绕点旋转到时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段，又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明（图1

35、）（图2）（图3）解：（1），（SAS）；，为等边三角形，（2）图2成立，图3不成立。证明图2，延长DC至点K，使，连接BKKABCDEFMN图 2则，即图3不成立，AE、CF、EF的关系是4. 如图，ABC是边长为3的等边三角形，BDC是等腰三角形，且BDC=120°，以D为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于M交AC于点N，连接MN，则AMN的周长为（）A5 B6C7D8解：BDC是等腰三角形，且BDC=120°，BCD=DBC=30°，ABC是边长为3的等边三角形，ABC=BAC=BCA=60°，DBA=DCA=90°，延长

36、AB至F，使BF=CN，连接DF，在BDF和CND中，BDFCND（SAS），BDF=CDN，DF=DN，MDN=60°，BDM+CDN=60°，BDM+BDF=60°，在DMN和DMF中，DMNDMF（SAS）MN=MF，AMN的周长是：AM+AN+MN=AM+MB+BF+AN=AB+AC=6故选B5. 以ABC的两边AB、AC为腰分别向外作等腰RtABD和等腰RtACE，BAD=CAE=90°，连接DE，M、N分别是BC、DE的中点探究：AM与DE的位置关系及数量关系（1）如图当ABC为直角三角形时，AM与DE的位置关系是AMDE，线段AM与DE的数

37、量关系是DE=2AM；（2）将图中的等腰RtABD绕点A沿逆时针方向旋转°（090）后，如图所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由（1）ED=2AM，AMED；证明：延长AM到G，使MG=AM，连BG，则ABGC是平行四边形，再延长MA交DE于HAC=BG，ABG+BAC=180°又DAE+BAC=180°，ABG=DAE再证：DAEABGDE=2AM，BAG=EDA延长MA交DE于H，BAG+DAH=90°，HDA+DAH=90°AMED（2）结论仍然成立证明：如图，延长CA至F，使FA=AC，FA交DE于点P，并连接BFDA

38、BA，EAAF，BAF=90°+DAF=EAD在FAB和EAD中，FABEAD（SAS）BF=DE，F=AEN，FPD+F=APE+AEN=90°FBDE又CA=AF，CM=MBAMFB，且AM=FB，AMDE，AM=DE6. 如图，等边ABC的边长为1 cm，D、E分别是AB、AC上的点，将ADE沿直线DE折叠，点A落在点A处，且点A在ABC外部，则阴影部分图形的周长为 cm【答案】解：将ADE沿直线DE折叠，点A落在点A处，所以AD=AD，AE=AE则阴影部分图形的周长等于BC+BD+CE+AD+AE，=BC+BD+CE+AD+AE，=BC+AB+AC，=30cm故答案

39、为：30四 角平分线法1. 如下图所示，已知ABC中，AC=BC，ACB=90°，BD平分ABC， 求证：AB=BC+CD.【分析】 要证AB=BC+CD，由BD平分ABC，我们想到翻折BCD，使得BC与AB重合，如上图，翻折了以后再证明AEDE就可以了.证明：BD平分ABC，将BCD沿BD翻折180°，点C落在BA上的E点，则有BC=BE，在BCD和BED中， BCDBED（SAS） DE=ACB=90°，CD=DE，（全等三角形对应边，对应角相等） DE=90°， ABC中，ACB=90°，AC=BC， A=45°， EDA=A=

40、45°， DE=EA， AB=BE+EA=BC+CD，即AB=BC+CD.2.在AOB的两边OA,OB上分别取OM=ON,OD=OE,DN和EM相交于点C.求证：点C在AOB的平分线上.3.如图，在ABC中，BM=MC,ABM=ACM,求证：AM平分BAC.4.如图，AP,CP分别是ABC的外角MAC,NCA的平分线，它们交于点P,PDBM,PFBN,垂足分别是D,F，则BP是MBN的平分线吗？5.如图，点D是锐角ABC内的一点，点M在边BA上，点N在边BC上，且DM=DN,BND=180º,求证：BD平分ABC.6.在ABC中，O是ABC与ACB的角平分线的交点，求证：点

41、O在A的平分线上.7.如图所示，BN平分ABC，P为BN上的一点，并且PDBC于D，求证：解：过点P作PEAB于点EPEAB，PDBC，BN平分ABC，在RtPBE和RtPBC中，RtPBERtPBC（HL），PEAB，PDBC，在PAE和RtPCD中，PAERtPCD，8. 如图，已知：，ADBC，P是AB的中点，PD平分ADC，求证：CP平分DCB解：作PECD，垂足为E，PD平分ADC，又，点P在DCB的平分线上，CP平分DCB9.已知：，OM是AOB的平分线，将三角板的直角顶点P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA、OB交于C、D（1）PC和PD有怎样的数量关系是_（2）请你证明（1）

42、得出的结论解：（1）（2）过P分别作PEOB于E，PFOA于F，OM是AOB的平分线，且，在CFP和DEP中，CFPDEP，10. 已知，AC平分MAN，点B、D分别在AN、AM上（1）如图1，若，请你探索线段AD、AB、AC之间的数量关系，并证明之；（2）如图2，若，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由解：（1）关系是：证明：AC平分MAN，又，则（直角三角形一锐角为30°，则它所对直角边为斜边一半）；（2）仍成立证明：过点C分别作AM、AN的垂线，垂足分别为E、FAC平分MAN（角平分线上点到角两边距离相等），又，CEDCFB（AAS），由（1）知

43、，11. 如图，中，平分交于点求证：解：在上截取点使，连结平分，在与中， ， ，又，12.如图,ABC中,AB=2AC,1=2,DA=DB.求证:ACD=90度。【规范解答】：如图所示，作DEAB于E，DA=DB，DEAB，AE=EB=AB，AED=90°AB=2AC，AB=2AE AC=AE在ACD和AED中，AC=AE，2=1，AD=AD，ACDAED（SAS）ACD=AED=90° ACD =90° 13. 如图，分别是外角和的平分线，它们交于点。求证：为的平分线。【答案】证明：过作于，于，于平分，于，于平分，于，于，且于，于；为的平分线。14. 如图，已知

44、在中，。求证：平分。【答案】证明：过点D作于E，于F故， 在与中（AAS）又于E，于F；平分。15.在ABC中，ABC=100，ACB=20，CE 平分ACB交 AB于 E，D在 AC上，且CBD=20。求CED的度数。解：作EF AC，延长CB，作EG CB，EH BD CE平分ACB，ACB=200，BCE=DCE=100， CBD=200， BDA=40 0 ABC=1000，CBD=200 ABG=800，ABD=800 ABG=ABD，EH=EG 可证BEH BEG（AAS）CE平分ACB，EF=EG（角平分线性质定理），EF=EHDE平分 BDA（角平分线的判定定理），EDA=20

45、0EDA=ECA+CED，CED=200 -100=10016. 如图所示，在ABC中，AD为外角平分线，P为AD上任意一点，AB+AC和BP+PC有什么关系【答案】解：AB+ACBP+PC理由如下：如图，在AE上取一点F，使AF=AC，连接PFAD为ABC外角平分线，FAP=CAP，在FAP和CAP中，FAPCAP(SAS)，PF=PC，在BPF中，BFBP+PF，AB+ACBP+PC当P点与A点重合时：AB+AC=BP+PC，所以结论应为：AB+ACBP+PC17.如图，在四边形ABCD中，BCBA,ADCD，BD平分，求证： 证明：延长BA,作DFBA的延长线，作DEBC1=2DE=DF

46、（角分线上的点到角的两边距离相等）在RtDFA与RtDEC中AD=DC,DF=DERtDFARtDEC（HL)3=C因为4+3=180°4+C=180°即A+C=180°18.如图，在ABC中，AD平分BAC，DGBC且平分BC于点G，DEAB于E，DFAC于F（1）证明：BE=CF；（2）如果AB=12，AC=8，求AE的长 考点：全等三角形的判定与性质,角平分线的性质专题：分析：（1）连接DB、DC，证明RtBDERtCFD即可得出结论；（2）由（1）可得出CF=BE，且AE=AF=AC+CF，而CF=BE=AB-AE，代入可求得结果证明：（1）连接DB、DC

47、，AD平分BAC，DEAB，DFAC，DE=DF，DGBC且平分BC于点G，DB=DC，在RtBDE和RtCFD中，DE=DF,BD=CDRtBDERtCDF（HL），BE=CF；（2）解：由（1）知BE=CF，且在ADE和ADF中EAD=FAD, DEA=DFA ,AD=ADADEADF（AAS），AE=AF=AC+CF，而CF=BE=AB-AE，AE=AC+AB-AE，2AE=AC+AB=8+12=20，AE=1019.如图，分别是外角和的平分线，它们交于点。求证：为的平分线 分析：要证明“为的平分线”，可以利用点到的距离相等来证明，故应过点向作垂线；另一方面，为了利用已知条件“分别是和的

48、平分线”，也需要作出点到两外角两边的距离。证明：过作于，于，于平分，于，于平分，于，于，且于，于为的平分线20. 已知：如图，AB=AC，1=2 求证：AO平分BAC 证明：连结BC因为AB=AC，所以ABCACB因为1=2，所以ABC-1ACB-2 即3=4，所以BO=CO因为AB=AC，BO=CO，AO=AO，所以ABOACO所以BAO=CAO，即AO平分BAC五 垂直平分线法1.如图，ACB=90°,AC=BC,D是BC的中点，CEAD,垂足为点E,BFAC交CE的延长线与点F,求证：AB垂直平分DF.【解析】 如图，E是AOB平分线上的一点，ECOA,EDOB,垂足分别为C,

49、D,求证：（1） ECD=EDC（2） OE是CD的垂直平分线3. 如图，在ABC中，B，C的角平分线相交于点D,过D作EFBC交AB于点E,交AC于点F,AB=8cm,AC=5cm,(1) 求证：BE+CF=EF(2) 求AEF的周长.4. 在ABC中，边BC上的垂直平分线DE交边BC于点D,交边AB于点E,若EDC的周长为24，ABC与四边形AEDC的周长之差为12，则线段DE的长是多少？5. 如图，在五边形ABCDE中，BAE=120°,B=E=90°,AB=AC,AE=DE,若BC,DE上分别找一点M,N使得AMN的周长最小，则AMN+ANM等于多少度？6. 已知：

50、如图，锐角ABC的两条高BD、CE相交于点O，且OB=OC，（1）求证：ABC是等腰三角形；（2）判断点O是否在BAC的角平分线上，并说明理由。答案：解：（1）OB=OC，OBC=OCB，锐角ABC的两条高BD、CE相交于点O，BEC=BDC=90°，BEC+BCE+ABC=BDC+DBC+ACB=180°，ABC=ACB，AB=AC，ABC是等腰三角形；（2）连接AO并延长交BC于E，AB=AC，OB=OC，AE是BC的垂直平分线，BAE=CAE，点O在BAC的角平分线上7. 已知：如图，BD=DC，EDBC,交BAC的平分线于E，作EMAB，ENAC求证：BM=CN【规范解答】证明：连接BE、EC， BE=EC （ED是BC