直线与圆锥曲线的交点个数问题

1、直线与圆锥曲线的交点个数问题直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程组是否有实数解或实数解的个数问题，对于消元后的一元二次方程，必须讨论二次项系数和判别式:，若能数形结合，借助图形的几何性质则较为简便。一、直线与圆锥曲线的交点个数的探求设直线l : Ax By C =0，圆锥曲线C : f （x, y） =0，由A By C = 0，即将直线丨的 If （x, y） =0，方程与圆锥曲线C的方程联立，消去y便得到关于x的一元二次方程ax2 bx y=0 （当然， 也可以消去x得到关于y的一元二次方程），通过一元二次方程解的情况判断关系， 见下表：方程十从十

2、fT）的解/与£的关系石二（）尢解（倉1是双曲线的渐近线）无公典点6 *()f J懈（舍i与抛物线的M称轴 或与K曲线的渐近线平行一个交点两个不等的解两个交点J-0两个相等的解亍龙点_1<0r无宴数祁无龙点注意：（1）对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切；（2）有关直线与圆锥曲线公共点的个数问题，要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法。例1、讨论直线l : kx 1与双曲线c :x2 -y2 =1的公共点的个数.fy = kx 亠 1,2 2解：联立方程 22 整理得（1-k）x -

3、2kx-2=0 ,x -y =1,当 k ='1 时，x = ：1 .2 2 2当 k =二1 时，: =4k 8（1 - k ） =8 -4k ,若.：0，y 2 : k;若尺=：0,贝y k =适;若.：0，贝y k 2 或 k 2 .综上所述，当k二2时，直线与双曲线相切于一点；k二1时，直线与双曲线相交于一点；k ：_.2或k . .2时，直线与双 曲线没有公共点;仁:k 2或_：k ： 1或 -2 : k ： -1时，直线与双曲线有两个公共点.点评：直线与圆锥曲线有无公共点的问题，实际上就是相应的方程组有无实数解的问 题直线与双曲线公共点的个数，特别是只有一个公共点时，除了相

4、切的情况之外，还有直线与双曲线渐近线相平行时的情况抛物线同样也存在这样的问题，应特别引起注意.二、借助于直线与圆锥曲线的交点个数探求直线方程例2、已知双曲线 C: 2x2 y2=2与点Q(1, 1)，试判断以Q为中点的弦是否存在解：假设以Q为中点的弦存在，设为AB ,且A(Xi,yi),B(x2,y2),则2xi2 yi2=2,2x22 y/=2 两式相减得：2(xi X2)(x 什 X2)=(yi y2)(yi+y2)又t Xi+X2=2,yi+y2=2 ,. 2(xi X2)=yi yi, 即卩 kAB=2Xi X2但渐近线斜率为土 ,2 ,结合图形知直线 AB与C无交点，所以假设不正确，

5、即以Q为中点的弦不存在点评：解答利用了 点差法”但前提应是直线与曲线有交点，故求出斜率后必须进行 验证，本题的验证利用了数形结合法，也可利用判别式法进行验证。三、借助于直线与圆锥曲线的交点个数探求参数2 2例3、若直线y =kx i与焦点在x轴上的椭圆 =i总有公共点，求 m的取值范围.5 m解法一：考虑到直线与椭圆总有公共点，由直线与圆锥曲线的位置关系的充要条件可求. 解：由椭圆方程及椭圆的焦点在x轴上，知0：；m：5 .y = kx 亠 i, 由 x2 y2得(m 5k2)x2 iOkx 5(i-m)=0 .5 m又直线与椭圆总有公共点，上述方程=> 0对一切实数k成立，即(iOk)

6、2 -4 (n 5k)2 5(i-m) =0，亦即 5k2 > i-m对一切实数 k 成立.i-m < 0，即m > i.故m的取值范围为 m ：=i,5 .解法二：由于直线过定点(0,i)，而直线与椭圆总有公共点，所以定点(0,i)必在椭圆内部或边界上，由点与椭圆的位置关系的充要条件易求. 解：由椭圆的方程及椭圆的焦点在x轴上知0vm：:5 .又/直线与椭圆总有公共点.直线所经过的定点(0,1)必在椭圆内部或边界上.2 2mii,5.- < i,即m > i .故m的取值范围为5 m点评：解法一由直线与圆锥曲线的位置关系的充要条件求，思路易得，但计算量大;解法二

7、首先判断直线是否过定点，定点在椭圆内、外还是干脆就在椭圆上， 然后借助曲线特征判断，思路灵活，且简捷.总之，讨论直线与圆锥曲线的交点个数实际上就是讨论方程组的解的个数，在讨论方程组的解时需要对二次项系数及一次项系数进行讨论，体现了分类讨论和数形结合的思想方法的运用。练一练:1. 直线-与双曲线 :1的右支交于不同的两点 A、B,求实数k的取值范围。解：将直线I的方程y=kx+1代入双曲线C的方程. 丨后，整理得-.H o 依题意，直线I与双曲线C的右支交于不同的两点，故A = (2-8(-2)>0,£ 一Q疋-2，2 °-k1-2>，解得k的取值范围为一2 &l

8、t;上弋一迈2. 已知直线y =(a 1)x -1与曲线y2二ax恰有一个公共点，求实数 a的值.解：联立方程ly =(a 1)x -1,y2 ax,第5页共4页i x =1、(1) 当a=0时，此方程组恰有一解为 2y=0.(2) 当a =0时，消去x，整理得y2 y _1 =0 .ai x 1,若a = -1，则方程组恰有一解为 x 1若a = -1，令厶=0 ,可解得a二一4 .54所以，当a =0,-1, -时，原直线与曲线恰有一个公共点.52 2x y 一二 1A X3. 试确定的取值范围，使得椭圆： S上有不同两点关于直线对称.解:设椭圆丄上以 -为端点的弦关于直线 -对称，且以匚+丄=2'-'为中点是椭圆二 J： 内的点从而有匸=二+ <!才+4力二 12(1)(1)-(2)得 < I