矩阵可逆的若干判别方法

1、矩阵可逆的若干判别方法可逆矩阵是高等代数中不可缺少的一部分，也是矩阵运算中的重要组成部分，对解决数数学问题有重大意义，学习可逆矩阵，对我们解决一些代数问题有极大的帮助。如何判断矩阵可逆，主要有以下一种方法。一、矩阵可逆的基本概念(1) 对于n阶矩阵A,若存在n阶矩阵B,使得AB=BA=I则称矩阵A为可逆矩阵(或非退化或非奇异或满秩矩阵)，或A可逆，称B为A的逆矩阵，记作B= A-1。注：若矩阵可逆，则 A的逆矩阵由A唯一确定。(2) 矩阵A的行秩等于列秩。(3) 矩阵A经过一系列初等变换得到矩阵B,则A与B等价。(4) 记矩阵A中元素aj的代数余子式为 州，则A*= (Aij) Tnx“我们就

2、称A*为A 的伴随矩阵。二、矩阵可逆的性质1 1 1(1) 若矩阵A可逆，则A的逆矩阵A也可逆，且(Aj - =A。-1 -1 -1(2) 若矩阵A,B均可逆，则矩阵 AB也可逆，且(AB) =B A。(3) 若矩阵A可逆，则AT也可逆，且(AJ) -1= (A-1) T。(4) 若矩阵A可逆，"，则 A也可逆，且(，A)=±A1。k1(5) 若矩阵A可逆，则|A-1|=。I A|彳 A *(6) 矩阵A的逆矩阵A-=。I A|(7) 若A为mX n阶矩阵，P为m阶矩阵，Q为n阶矩阵，A,P,Q均为可逆矩阵， 则有 r(PAQ)=r(PA)=r(AQ)=r(A)。三、矩阵可

3、逆的若干判别方法(一) 定义判别法对于n阶方阵A,若存在n阶方阵B,使得AB=BA=I,则A可逆，且B为A的逆， 记为BZA1。100、例1. 判断矩阵A=001是否可逆？<010广100"Z1 0 0、证存在矩阵B=0 0 1，使得 AB=BA=0 1 0<0 1 0 丿<0 0 1 丿所以矩阵A可逆。注：此方法大多适用于简单的矩阵。（二）行列式判别法矩阵A可逆的充要条件是 A为方阵且|A|式0。'10 5、0 2 1例2.判断矩阵A=3 8 2与矩阵B=131是否可逆?J 1 3丿<4 0 -2丿证因为|A|=-3 -0，|B|=0，所以矩阵A可逆

4、，而B不可逆。（三）秩判别法n阶矩阵A可逆，则r （ A =n。证 因为矩阵A可逆，则|A| -0，可得到r（ A）=n,反之也成立。'1 3 5、*12 1、例3.判断矩阵A=2 1 0与矩阵B=1 1 0是否可逆?J 1 7丿<2 2 -1 丿125、q2509、证A=210T0-3-10T00-1617<0-12<0-12 >所以r(A)=3,A可逆。卩21、*0 2 1、00、B=100T1 0 0T021<221丿e 2 1丿<000丿所以r(B)=2 式 3,B不可逆。（四）伴随矩阵判别法A *若A可逆，则存在矩阵 B=,使得AB=BA=

5、EI A|（1例4.矩阵A=，判断它是否可逆，若可逆，求出它的逆。J43丿证因为|A|=35式0,则A可逆,718-26"A*=-7-316<7-2-1,所以118-2653535A* =-1-116|A|53351-2-1<53535丿注：求伴随矩阵时,要注意元素的位置与符号。（五）初等变换判别法对矩阵A施行行（列）初等变换，得到矩阵B,若B可逆，则A也可逆。证 因为A与B等价，则有r（A）=r（B），所以当矩阵B可逆时，矩阵 A也可逆。 注：也可用初等行（列）变换求 A的逆。用初等行变换：A E ：r f E B B为A的逆，B=A-1。（A（E y列初等变换：t B

6、为A的逆。冃lB丿巾0 2例5.求矩阵A= 311的逆。I。1 4解102100、02100、'102100 'q00-52-2、311010T01-5-310T01-5-310T01012-45e1400b1400b013-1he013-11 J(-522所以 A-1= 12 一4 5 2-11 丿（六）初等矩阵判别法若矩阵A可逆，则A可以表示为一系列初等矩阵的乘积，即A=PF2Ps证因为|A|=| P 1P2Ps| =0，所以矩阵A可逆，反之也成立。 同时，若矩阵 A可逆，则A可经过一系列初等变换化为单位矩阵。广012、例6.判断矩阵A= 114是否可逆？<2 -1

7、0>'0 1 2'114"*114 '*10 2"1 0 o'证 A=114T0 1 2T0 1 2T0 1 2T0 1 0<2-1 0<2-1 0-3 -8<00 -2><0 0 1所以矩阵A可逆。（七）矩阵的向量组的秩判别法若矩阵A可逆，则A的各行或各列所形成的向量组线性无关。 若矩阵A可逆，则有r（A）=n,且行秩等于列秩等于 n.（八）线性方程组判别法有方程组aiixi - ai2X2 -ainXn 二 bla21X1 - a22X2 川 ：(Ta2nXn = b2+annxn = bn方程组为齐次

8、线方程组,各1a21a12a22a1n "a2n上1、X2所以有aaaaaaaa9a.aman2 annJlXn=0时，设矩阵A各列形成的向量组为aniXl - an2X2 - 当 bl = b2=bn = 0 时,X1=X2=Xn=0,AX=0,当且仅当此方程组有零解时，即：； 1、貞一 2、：n，所以 XV 1 X22 -' Xn= 0 ,而 X1=X2=Xn =0,贝U ： 12、性无关，因此矩阵 A可逆。当bi =o时，即方程组为非齐次线性方程组时，方程组有唯一解时，矩阵A可逆。bnX1'£1 - X2、£2 亠亠 Xn、；n =:因为 |

9、A| -0，贝U xi、X2、Xn由：唯一确定。（九）标准型判别法任一 s x n阶方阵A都与形为ErOn -r准型，且r=r（A）,E为单位矩阵，0为零矩阵。 即若n阶方阵A可逆，则可化为标准型 （十）多项式判别法n 矩阵A可逆，则有多项式E。，满足的矩阵等价，此矩阵称为矩阵A的标=0，常数项不为零。证 (，)= n-(a n+a22+ann) n-1 + |A| -0,则（-1 ） |A| =0，常数项不为零。 反之也成立。（十一）特征值判别法n 阶矩阵A可逆，则矩阵A的特征值不全为零。(')=/-(a 11+322+ +ann)+ +(-1)|A|（r兰n），所以矩阵A可逆。则 |A|= T，2四、常见矩阵的可逆性（一）单位矩阵可逆，EE=E0 a （二）数量矩阵A=:99卫0 -1 1 1A=aE,A - =（aE） - = Ea'ai0 0 a2（三）对角阵A=：33i,000、0:可逆。a>0、0:可逆，主对角线上元素全不为零。an J证主对角线上元素全不为零，则|A| =0,所以A可逆。（四）分块矩阵可逆。（五）上三角与下三角矩阵可逆。（六）正交矩阵可逆，且 a"=at。（七）过