空间向量与立体几何复习技巧

1、空间向量与立体几何难点再析1空间向量加减法运用的三个层次 空间向量是处理立体几何问题的有力工具，但要用好向量这一工具解题，必须熟练运用加减 法运算.第1层用已知向量表示未知向量例1如图所示，在平行六面体 ABCD AiBiCiDi中，设AAi = a, AB = b,AD = c, M , N, P分别是 AAi, BC, Ci Di的中点，试用 a, b, c表示以 下各向量：(1)AP ； (2)AiN；(3)MP + NC1.解（1） / P是CiDi的中点,二 AP = AAi+ A1D1 + DiP= a + AD + ?DiCi1 t1=a + c+ 2AB = a+ c+ 3 b

2、./ N是BC的中点，Ai N = AiA+ AB + BN = a + b+ 3BC1 t1=a+ b+ §AD = a + b+ 3c./ M是AAi的中点，-t-t -t 1 -t-tMP = MA + AP= 2AiA + AP1, K i i=?a+ a+ c+ 2 b = 2 a+ ?b+ c,例2 如图，已知空间四边形 ABCD，连接AC、BD 设M、G分别是BC、又 nCi = NC + cCi = qBC + AAi1 f f 1=，AD + AA i = 2 c+ a, MlP + NCi =+ 2b+ c + a+313=2 a+ 2 b+ 2c.点评 用已知向

3、量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键要正确 理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的 始点指向末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则在立体几 何中要灵活应用三角形法则，向量加法的平行四边形法则在空间仍然成立.第2层化简向量CD的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果的向量.ff f(1)AB + BC + CD ;f 1f ff 1f f(2)AB + 2(BD + BC) ； (3)AG ?(AB+ AC).解 (1)AB+ Bc + Cd = Ac+ Cd = Ad.f 1 f ff 1 f 1 f(2)A

4、B + 2(BD + BC) = AB + §BC + 严f ff f=AB + BM+ MG = AG.f 1 f f(3)AG 2(AB + AC) =AgAm = Mg.AD、AG、MG如图所示.点评 要求空间若干向量之和，可以通过平移，将它们转化为首尾相接的向量，如果首尾相 接的若干向量构成一个封闭图形，则它们的和为0两个向量相加的平行四边形法则在空间仍成立，求始点相同的两个向量之和时，可以考虑运用平行四边形法则.第3层证明立体几何问题例3 如图，已知 M、N分别为四面体 ABCD的面BCD与面ACD的重；fi心，且 G为AM上一点，且 GM : GA = 1 : 3求证：B

5、、G、N三点共线.证明设AB= a, AC= b, AD = c,>->->3 则 BG = BA+AG = BA + 4am1311一 a+ 4(a + b+ c) 4a + 4b+ 4c, -> -> -> -> 1 -> ->BN= BA+ AN = BA+ -(AC + AD) 3=-a+1 b+ |c= 3bG. Bn / BG,即卩b、g、n三点共线.易错辨析q2空间向量易错点扫描易错点1对向量夹角与数量积的关系理解不清"ab<0”是"a, b为钝角”的条件.错解a b<0? cos a, b&g

6、t;=业|a|b|<0? a, b为钝角，所以“ab<0”是"a, b为钝角”的充要条件.错因分析 错解中忽略了两个向量共线且反向的情况.剖析 当a, b> = n时，a b<0，但此时夹角不为钝角，所以“ a b<0”是"a, b>为钝角” 的必要不充分条件.正解必要不充分 总结 a b<0? a与b夹角为钝角或 a与b方向相反，a b>0? a与b夹角为锐角或 a与b方向 相同.易错点2忽略两向量的夹角的定义例2 如图所示，在 120°的二面角 a AB中，AC? a BD? 3,且AC丄AB , BD丄AB,

7、垂足分别为 A, B.已知AC = AB= BD = 6,试求线段 CD的长.解 / AC丄 AB, BD 丄 AB, CA AB= 0, Bd AB = 0,二面角 a AB 3 的平面角为 120° CA, BD= 120°2 2 > -> 2CD = CD = (CA+ AB + BD)=CA2+ AB2+ BD2+ 2CA AB + 2CA BD + 2BD AB = 3X 62+ 2 X 6很 cos 120°= 72, CD =6,2.错因分析 错解中混淆了二面角的平面角与向量夹角的概念.向量CA, BD的夹角与二面角a AB 3的平面角互

8、补，而不是相等.正解 / AC丄 AB, BD 丄 AB, CA AB= 0, BD AB = 0,面角 a AB 3的平面角为120°BD >= 180° 120° = 60°2 2 -> > 2 CD2= CD2= （CA+ AB + BD）2=CA2+ AB2+ BD2+ 2CA AB + 2CA BD + 2BD AB= 3 X 62 + 2 X 62X cos 60 = 144, CD = 12.易错点3判断是否共面出错例3 已知0、A、B、C为空间不共面的四点，a = OA+ OB + OC, b= OA+ OB OC，则与

9、a、 b不能构成空间的一个基底的是 （）a.Oa b.ob c.Oc d.Oa或0B错解 a = 0A+0B+ Oc, b= 0A+0BOc,相加得：0A+ OB = 2（a + b）,所以0A、0B都与a、b共面，不能构成空间的一个基底，故选D.剖析 0A + OB = 2（a+ b）,说明OA+ 0B与a、b共面，但不能认为 OA、 0B都与a、b共面.对A、B :设 0A =xa+ y b, 因为 a= OA + OB + Oc, b= OA + OB Oc,代入整理得（x+ y 1）OA + （x+ y）OB + （x y）OC= 0，因为 0、A、B、C 不共面,所以OA、OB、OC

10、不共面，所以 x+ y 1 = 0, x + y= 0, x y= 0, 此时，x、y不存在，所以a、b与OA不共面，故a、b与OA可构成空间的一个基底.同理a、b与0B也可构成空间的一个基底.对 C:因为 a = 0A+ 0B+ OC, b= 0A+ Ob OC，相减有 OC = 2(a b)，所以 OC与 a、b 共 面，故不能构成空间的一个基底.正解 C易错点4混淆向量运算和实数运算例4阅读下列各式，其中正确的是 ()A. a b= b c(bM 0)? a = cB . a b= 0? a= 0 或 b= 0C. (a b) c= a (b c)D. OA BO = |OA|°

11、;O|cos(180 Z AOB)错解 A(或B或C)剖析 想当然地将向量的数量积运算和实数运算等价，以致出错向量的数量积运算不满足消去律、结合律 ，故A、C错误；若a b= 0? a= 0或b= 0或a丄b,故B错误；OA BO的夹角是 180° Z AOB.正解 D易错点5忽略建系的前提例5 四边形ABCD是边长为2的菱形，Z ABC= 60° AE丄平面ABCD , AE= 2, F为CE 中点，试合理建立坐标系，求 AF、BC所成角的余弦值.错解 以a为坐标原点，以Ab、Ad、Ae的方向分别为x、y、z轴的正方向，建立空间直角 坐标系Axyz.o-o-o -o f

12、3此时 AF = (1,1,1), BC = (0,2,0)，所以 cos < AF , BC= g.3剖析 空间直角坐标系的建立的前提是三条直线两两垂直，而本题中直线AB与AD不垂直.正解 设AC、BD交于点O,则AC丄BD.因为F为CE中点，所以OF / AE ,因为AE丄平面ABCD , 所以OF丄平面 ABCD , OF丄AC, OF丄BD , 以O为坐标原点，以OC、OD、OF的方向分别为x、y、z轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxy乙此时AF = (1,0,1), BC = (1,3, 0),所以 cos Af , BC=方法策略3空间直角坐标系构建三策略利用空间向量的方法解

13、决立体几何问题，关键是依托图形建立空间直角坐标系，将其它向量 用坐标表示，通过向量运算，判定或证明空间元素的位置关系，以及空间角、空间距离问题 的探求所以如何建立空间直角坐标系显得非常重要，下面简述空间建系的三种方法，希望 同学们面对空间几何问题能做到有的放矢，化解自如.1 .利用共顶点的互相垂直的三条棱例1 已知直四棱柱中，AA1= 2,底面ABCD是直角梯形，/ DAB为直角，AB / CD , AB = 4, AD = 2, DC = 1,试求异面直线 BC1与DC所成角的余弦值.解 如图以D为坐标原点，分别以 DA, DC, DD1所在的直线为x轴，y ； : 轴，z轴，建立空间直角坐

14、标系，则 D(0,0,0), C1(0,1,2), B(2,4,0), C(0,1,0),所以 BC1= (- 2, 3,2),Cd = (0, - 1,0).拱 、 BC 1 CD 3 17所以 cos BC 1, CD= _» _» = 17 .|BC1|CD|故异面直线BC1与DC所成角的余弦值为 齐尹点评 本例以直四棱柱为背景，求异面直线所成角求解关键是从直四棱柱图形中的共点的 三条棱互相垂直关系处着眼，建立空间直角坐标系，写出有关点的坐标和相关向量的坐标， 再求两异面直线的方向向量的夹角即可.2 .利用线面垂直关系例2 如图，在三棱柱 ABC AiBiCi中，AB

15、丄面BB1C1C, E为棱CiC的中n点，已知AB = 2, BBi= 2, BC= 1，/ BCCi = 3试建立合适的空间直角坐标系，求出图中所有点的坐标.解过B点作BP垂直BBi交CiC于P点，因为AB丄面BBiCiC，所以BP丄面ABBiAi, 以B为原点，分别以 BP, BBi, BA所在的直线为x, y, z轴，建立空间直角坐标系.n因为 AB = 2, BBi = 2, BC = i , / BCCi = 3,3所以 CP = i, CiP = 3, BP = # 则各点坐标分别为B(0, 0,0), A(0,0,2), Bi(0,2,0), 5学i3 33 i2, 0), Ci

16、(F, 2 , 0), E(芬,2 , 0), Ai(0,2 , ,2).点评 空间直角坐标系的建立，要尽量地使尽可能多的点落在坐标轴上，这样建成的坐标系，0 ,也为后续的运算带来了方既能迅速写出各点的坐标，又由于坐标轴上的点的坐标含有便本题已知条件中的垂直关系“AB丄面BBiCiC” ,可作为建系的突破口.3.利用面面垂直关系例3 如图i,等腰梯形 ABCD中，AD / BC, AB= AD = 2, / ABC = 60° , E是BC的中点.将 ABE沿AE折起，使平面 BAE丄平面 AEC(如图2),连接BC , BD .求平面 ABE与平面 BCD 所成的锐角的大小.图I图

17、2解取AE中点M ,连接BM, DM.因为在等腰梯形 ABCD中，AD / BC , AB = AD , / ABC = 60° E是BC的中点, 所以 ABE与厶ADE都是等边三角形， 所以BM丄AE , DM丄AE.又平面 BAE丄平面AEC ,所以BM丄MD .以M为原点，分别以 ME, MD, MB所在的直线为x , y , z轴,建立空间直角坐标系 Mxyz，如图,则 E(1,0,0), B(0,0,.3), C(2,3, 0), D(0,.3, 0),所以 DC = (2,0,0), BD = (0,3,-3),设平面BCD的法向量为 m = (x, y, z),| m

18、DC = 2x= 0,由 取 y= 1，得 m= (0,1,1),!m BD = y >/3z= 0.又因平面 ABE的一个法向量 MD = (0,3, 0),所以 cos m, MD >m MD 2t 2 , |m |MD|所以平面ABE与平面BCD所成的锐角为45° 点评 本题求解关键是利用面面垂直关系，先证在两平面内共点的三线垂直，再构建空间直 角坐标系，然后分别求出两个平面的法向量，求出两法向量夹角的余弦值，即可得所求的两 平面所成的锐角的大小.用法向量的夹角求二面角时应注意：平面的法向量有两个相反的方 向，取的方向不同求出来的角度就不同，所以最后还应该根据这个二

19、面角的实际形态确定其 大小.方法技巧4用向量法研究"动态”立体几何问题“动态”立体几何问题是在静态几何问题中渗透了一些“动态”的点、线、面等元素，同时由于“动态”的存在，使得问题的处理趋于灵活本文介绍巧解“动态”立体几何问题的法 宝一一向量法，教你如何以静制动.1 .求解、证明问题例1 在棱长为a的正方体 OABC O1A1B1C1中，E、F分别是AB、BC上的动点，且 AE =BF，求证：A1F 丄 C1E.证明 以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,则 A1 (a,0, a), G(0, a, a).设 AE = BF = x, E(a, x,0), F(a x, a,0)

20、.-Ai F = (一 x,a，一 a),CiE= (a, x一 a, 一 a).-AiF CiE = (一 x, a, 一 a) (a, x一 a, 一 a)22=ax+ ax a + a = 0,- AiF丄 CiE,即 AiF 丄 CiE.2. 定位问题例2 如图，已知四边形 ABCD , CDGF , ADGE均为正方形，且边长为 i, 在DG上是否存在点 M ,使得直线MB与平面BEF的夹角为45°若存在， 求出点M的位置；若不存在，请说明理由.解题提示 假设存在点 M，设平面BEF的法向量为n，设BM与平面BEF 所成的角为0,利用sin 0=回严解出t，若t满足条件则存

21、在.|BM|n|解因为四边形CDGF , ADGE均为正方形,D为原点建所以GD丄DA , GD丄DC.又DA A DC = D，所以 GD丄平面 ABCD.又DA丄DC,所以DA, DG , DC两两互相垂直，如图，以立空间直角坐标系，则 B(1,1,0), E(1,0,1), F(0,1,1).因为点M在DG上，假设存在点M(0,0, t) (0 W tW 1)使得直线 BM与平面BEF的夹角为45 °设平面BEF的法向量为 n= (x, y, z).因为 BE = (0, 1,1), BF = ( 1,0,1),n BE= 0, y+ z= 0,则彳t即j令z= 1，得x= y

22、= 1,n BF = 0,一x+ z= 0,所以n= (1,1,1)为平面BEF的一个法向量.fIBM n|L 2 十 t|又BM = ( 1, - 1,t)，直线BM与平面BEF所成的角为45°所以sin 45 =1 =.|BM|n| 寸 t2+ 2/32，解得 t= 4±3 ,2又 OW t< 1 ,所以 t= 3 2 4.故在DG上存在点 M(0,0,3 ,2 4)，且DM = 3 2 4时，直线MB与平面BEF所成的角为45°点评 由于立体几何题中“动态”性的存在，使有些问题的结果变得不确定，这时我们要以 不变应万变，抓住问题的实质，引入参量，利用空

23、间垂直关系及数量积将几何问题代数化, 达到以静制动的效果.数学思想5向量与立体几何中的数学思想1 .数形结合思想向量方法是解决问题的一种重要方法，坐标是研究向量问题的有效工具，利用空间向量的坐 标表示可以把向量问题转化为代数运算，从而沟通了几何与代数的联系，体现了数形结合的 重要思想向量具有数形兼备的特点，因此，它能将几何中的“形”和代数中的“数”有机 地结合在一起.例1如图，在四棱柱 ABCD A1B1C1D1中，Aa丄底面ABCD , / BAD = 90° AD / BC,且"A = AB= AD = 2BC = 2，点 E 在棱 AB上，平面 A1EC与棱C1D1相

24、交于点F.(1)证明：A1F /平面 B1CE ;若E是棱AB的中点，求二面角 A1 EC D的余弦值；求三棱锥B1 A1EF的体积的最大值.(1)证明 因为ABCD A1B1C1D1是棱柱，所以平面 ABCD /平面A1B1C1D1.又因为平面 ABCD门平面A1ECF = EC ,平面A1B1C1D1Q平面AjECF = AF , 所以A1F / EC.又因为 A1F?平面B1CE ,EC?平面B1CE，所以 A1F /平面B1CE.解 因为AAi丄底面ABCD ,丄BAD = 90°所以AAi, AB, AD两两垂直，以 A为原点, 分别为x轴、y轴和z轴， 如图建立空间直角坐

25、标系.则 Ai (0,0,2), E(1,0,0) , C(2,1,0),所以AE =(1,0 , - 2),AiC= (2,1 , 所以二面角A1 EC D的余弦值为3.解 过点F作FM丄A1B1于点M，因为平面 A1ABB1丄平面A1B1C1D1,FM?平面 A1B1C1D1, 所以FM丄平面A1ABB1，所以 1VB1 A1EF = VF B1A1E= 3x § A1B1EX FM=3 X 寸 fm = |fm. 因为当F与点D1重合时，FM取到最大值2(此时点E与点B重合), 所以当F与点D1重合时，三棱锥 B1 A1EF的体积的最大值为3.设平面 AiECF的法向量为 m

26、= (x, y, z),由 AiE m = 0, AiC m= 0,x 2z= 0,得2x + y 2z= 0.令 z= i,得 m= (2, 2,1).又因为平面 DEC的法向量为n= (0,0,1),所以 cos m, n >m n 1=|m| |n|= 3，由图可知，二面角AA1 EC D的平面角为锐角,2 .转化与化归思想空间向量的坐标及运算为解决立体几何中的夹角、距离、垂直、平行等问题提供了工具，因此我们要善于把这些问题转化为向量的夹角、模、垂直、平行等问题，利用向量方法解决.将 几何问题化归为向量问题，然后利用向量的性质进行运算和论证，再将结果转化为几何问题.这种"

27、从几何到向量， 再从向量到几何”的思想方法，在本章尤为重要.例 2 如图，在长方体 ABCD AiBiCiDi 中，AAi = AB= 2AD = 2, E 为AB的中点，F为DiE上的一点，DiF = 2FE.证明：平面 DFC丄平面DiEC;求二面角A DF C的平面角的余弦值.分析求二面角最常用的办法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两 个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角.解(1)以D为原点，分别以 DA、DC、DDi所在的直线为 x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系， 则 A(1,0,0), B(1,2,0), C

28、(0,2,0), Di(0,0,2). E为AB的中点， E 点坐标为 E(1,1,0),T DiF = 2FE,p 2 f 2-DiF = 3D1E = 3(1,1 , 2)224=(3, 3， 3)，f>->2 24 DF = DDi + DiF = (0,0,2) + (3, 3, 3)2=(3,2 23, 2)，设n = (x, y, z)是平面DFC的法向量,n DF = 0, 则$ pp.c,n DC= 0,22 2“ 3x+3y+ 3z= 0，2y = 0.取x= 1得平面FDC的一个法向量为 n= (1,0, - 1).设p= (x, y, z)是平面EDiC的法向量，pD?F = 0,则$ tIp DiC = 0,取y= 1得平面DiEC的一个法向量 p= (1,1,1),2y 2z= 0,n p= (1,0, 1) (1,1,1) = 0,平面DFC丄平面D1EC.设q= (x, y, z)是平面ADF的法向量，q DF = 0,则彳DA = 0,4解由题意知0,得一4W tw,3又 c= ( 1,1,3) + t(1,0, 2)= (- 1 +1,1,3 2t),冏=“1 + t2+ 3 2t2+ 1当t _ 4, 3 1时，f(t)= 5t