第4讲中点模型原卷版

1、-10 -中考数学几何模型4 :中点模型拨开云雾开门见山名师点睛中点模型，提到中点，我们需要想到关于中点的以下知识点：三角形中线平分三角形面积，等分点 等分面积；等腰三角形“三线合一”的性质；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；三角形中 位线平行且等于第三边的一半.这四点使我们已经深入学习过的有关中点运用的知识点，今天重点在结合四点的基础上探究另外一种中点模型，我们简称“平中对模型”，即“平行线+中点+对顶角”构造全等或相似模型，与倍长中线法相通。典题探究 启迪思维探究重点例题1.如图，在 ABC的两边AB、AC向形外作正方形 ABDE和ACFG，取BE、BC、CG的中点M、Q、 N.求证：

2、MQ = QN.£变式练习>>>1. 如图，在 ACE中，点B是AC的中点，点D是CE的中点，点 M是AE的中点，四边形 BCGF和四边 形CDHN都是正方形.求证： FMH是等腰直角三角形.例题2.如图，已知 BD、CE分别是 ABC的AC、AB边上的高，G、F分别是BC、DE的中点.求证：GF 丄DE .BGC变式练习>>>2. 如图，在 ABC中内取一点，使/ PBA =Z PCA，作PD丄AB于点D, PE丄AC于点E，求证：DE的垂 直平分线必过BC的中点M .例题3已知：AD为厶ABC的中线，AE是厶ABD的中线，AB= BD，求证：A

3、C= 2AE .（两种证法）BEDC变式练习>>>3. 如图，点0为线段MN的中点，PQ与MN相交于点0,且PM / NQ,可证 PMOQN0.根据上 述结论完成下列探究活动：探究一：如图 ，在四边形 ABCD中，AB / DC, E为BC边的中点，/ BAE = Z EAF , AF与DC的延长线 相交于点F .试探究线段 AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论；探究二：如图，DE、BC 相交于点 E, BA 交 DE 于点 A,且 BE： EC = 1:2,/ BAE=Z EDF , CF / AB .若图图P为AE例题4.如图，正方形 ABCD和正方形EFCG的

4、边长分别为3和1,点F , G分别在边BC, CD上, 的中点，连接 PG,则PG的长为 .ADBF C变式练习>>>FA=4. 如图，过边长为 3的等边 ABC的边AB上一点P,作PE丄AC于E, Q为BC延长线上一点，当 CQ时，连PQ交AC边于D,则DE的长为.BC Q例题5.如图1，在正方形 ABCD的边AB上任取一点 E,作EF丄AB交BD于点F,取FD的中点G,连接EGCG易证：EG=CG且 EG丄 CG.(1) 将厶BEF绕点B逆时针旋转90°,如图2所示，贝U线段EG和CG有怎样的数量和位置关系？请直接写 出你的猜想(2) 将厶BEF绕点B逆时针旋转

5、180 °，如图3所示，则线段 EG和CG又有怎样的数量和位置关系？请写 出你的猜想，并加以证明(3 )将厶BEF绕点B旋转一个任意角度a,如图 4所示，则线段EG和CG有怎样的数量和位置关系？请直 接写出结论变式练习>>>5请阅读下列材料：问题：如图1，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A、B、E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连结 PG、PC.若/ ABC=Z BEF = 60°,探究PG与PC的位置关系及数量关系.小聪同学的思路是：延长 GP交DC于点H，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决.请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：(1)

6、直接写出上面问题中线段 PG与PC的位置关系及一的值；PC(2) 如图2,在正方形 ABCD和正方形BEFG中，点A、B、E在同一条直线上， P是线段DF的中点，连 结PG、PC,探究PG与PC的位置关系及数量关系；(3) 将图2中的正方形BEFG绕点B顺时针旋转，原问题中的其他条件不变(如图 3),你在(2)中得到 的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明.领悟提升强化落实达标检测1.如图所示，M是厶ABC的边BC的中点，AN平分/ BAC, BN丄AN于点N，且AB = 8, MN = 3,贝U AC 的长是()A. 12B . 14C. 16D. 182.如图， ABD和AACE都

7、是直角三角形，其中/ ABD=Z ACE=90°,且点 C在AB上，连接 DE, M为DE 中点，连接 BM，CM，求证BM=CM.F是DA的中点，连接 BE，与CF相交于P,求证：AP= AB.4.如图，分别以 ABC的边AB、AC为斜边向外侧构造等腰直角 ABD和等腰直角 ACE ,M是BC中点.求 证：DM = ME , DM 丄 ME.5. 已知 ABC和厶ADE是等腰直角三角形，/ ACB = Z ADE = 90°,点F为BE中点，连接 DF、CF .(1) 如图1,当点D在AB上，点E在AC上，请判断此时线段 DF、CF的数量关系和位置关系，并说明理由.（2）

8、 如图2,将厶ADE绕点A逆时针旋转45°时，请你判断此时（1）中的结论是否仍然成立？若成立， 请证明：若不成立，请说明理由.（3）如图3，将 ADE绕点A逆时针旋转90。时，若 AD = 2, AC= 3_ 一：，求此时 FBC中CF边上的 高的长.（直接写出结果）6. 已知： ABC和厶ADE均为等腰直角三角形， / ABC =Z ADE = 90°, AB= BC, AD = DE ,按图1放置, 使点E在BC上，取CE的中点F，连接DF、BF .（1）探索DF、BF的数量关系和位置关系，并证明；（2） 将图1中厶ADE绕A点顺时针旋转45°,再连接CE,取

9、CE的中点F （如图2）,问（1）中的结 论是否仍然成立？证明你的结论；（3） 将图1中厶ADE绕A点转动任意角度（旋转角在0。到90°之间），再连接CE,取CE的中点F （如图3）,问（1）中的结论是否仍然成立？证明你的结论.匿II7. 如图：在厶ABC中，AB = AC, EF交AB于点E,交AC的延长线于点 F，交BC于D且BE= CF，求证:DE = DF .8. (1)已知：如图1,在厶ABC中，/ A = 90°, D为BC中点，E为AB上一点，F为AC上一点，ED丄 DF，连接EF，求证：线段 BE、FC、EF总能构成一个直角三角形；(2)已知：如图2,/ A

10、 = 120 ° , D为BC中点，E为AB上一点，F为AC上一点，ED± DF，连接EF, 请你找出一个条件，使线段 BE、FC、EF能构成一个等边三角形，给出证明.E, F 分别在 AC, BC 上,/ EDF = 90°,已知 CE = 4, AE = 2,9. 在Rt ABC中，D为斜边 AB的中点,BF - CF = ，求 AB.10. 在厶ABM中，/ ABM = 45°, AM丄BM,垂足为 M，点C是BM延长线上一点，连接 AC.(1)如图1，若AB = 3；:闯,BC = 5，求AC的长；(2)如图2，点D是线段AM上一点，MD = M

11、C,点E是厶ABC外一点，EC = AC,连接ED并延长交BC于点F，且点F是线段BC的中点，求证：/ BDF = Z CEF .11. ( 1)方法回顾在学习三角形中位线时，为了探索三角形中位线的性质，思路如下：第一步添加辅助线：如图 1,在厶ABC中，延长DE ( D、E分别是AB、AC的中点)到点F，使得EF = DE ,连接CF ;第二步证明 ADECFE，再证四边形 DBCF是平行四边形，从而得到 DE / BC, DE = BC.2(2) 问题解决如图2，在正方形 ABCD中，E为AD的中点，G、F分别为AB、CD边上的点，若 AG= 2, DF = 3,/ GEF = 90°，求 GF 的长.(3) 拓展研究如图3,在四边形 ABCD中，/ A= 100°，/ D= 110°, E为AD的中点，G、F分别为 AB、CD边上的 点，若 AG= 4, DF =：'：,/ GEF = 90°，求 GF 的长.12. 在厶ABC中，AB = AC,点F是BC延长线上一点，以 CF为边，作菱形 CDEF，使菱形CDEF与点A