线性代数课后习题答案

1、线性代数陈建龙版课后习题答案摘自:张小向.陈建龙.(饯性代数学习指导(ISBN:9787034)21门7«4).科学出版 社,2008年3月。习题1(A)1.01-23/20I 07.E+A4.1-1/2005/21/21/3、2.3心212/3.3.0<33/2丿11/20'5.-1/2106.-11 00&8.40.002 -3/210.-1/70.11. -(A + 2E).9. abed.I -I0 10 00 012.0-1100()-I ©A1丿J1/200 13.01014.0.15. 1.< -10-1/2；16. 2.17.-3

2、.订;二h< 1 -n<-> 2 丿二.选择题l.C.2. D.3.B.4. A.5.C.6. C.7. D.8. D.9. B.10. c.11C.12. A.13. C.14. B.15. C.16D17. B18. D.习题KB)r i 12、1.11 -3J4 6 6 /一21322、"()5 X94 -2 -17 200-5 6429 -2丿(2 9 0)f-2-4"X =-6zl -z2 +5心3. 才2 =】2Z| _2©+7石.Xj = 一10勺 一5右 +20.(-2 3 从(-4 6；34以64：35>dax dxa2

3、(也、5. (1)6(2) (0 6 8).(3)心勺 d2b2 d2b349x 7”3。23。3 丿Mj M?C2J2 CAj工佝佔 iJT0 1 0、1V 1 (Pr0 1 0、0 0 10 0 1二()0 10 0 1二0 0 00 0 04 0 00 0 00 0 0r0 10 00 0oY(7)出 > 3时，0 10 00 0 O'10=opn加-"5一" 乂舁2nr4000、04000nAH 1(8)004000An/0()4丿0、22,7.都不成立&r0 1、J) o7T 01J) -fl。丿q0、()丿0J)0、()',Y =J

4、)6.0 (2)9（1） （AA）T = （"）W = AAt.（2）捉示：设/4 =（佝）"仅“，考察a川的土对角线元素.10.捉示：比较ABUAB."10 0、'a h cy0 0 0、11.提示：令A二0 1 2，二u v w满足=再令6?二0 0 23 1 。1厶丿(3 1 1JAB = BAoCB = BC从iftf推得一切与矩阵A可交换的更阵如卜:0、016.()、01J-301(0()10-201°，其屮”*二为任意常数.101CT10-10o'0 0、13.10A0114.01-1000 0丿243300010J13ly&

5、lt;0()()()LX'l'y.z为任意常数.12.0015.17略.r-l1/21/2、'1 -1-2/3、-2 1 )（2）30-1-2/317/913/2 -I/2J /-1/21/2,< 一1 11 >18.(1)l©A19.(1)、 Q -1 -3 3/2)j " I 3丿(I 00-4-2(一2 1 2)20.()-1 -3 J21,(1)X = EX = (A *A)X = A-AX)=A-l(AY)= (A_,4)y = EY = Y. (2) X = XE = X(AA_,) = (XAWX = (YA )A_I =

6、Y(AA)= YE=Y.22. At(A_,)t = (AlA)r = ET = E=> (A_,)T = (4T)_I = A1.23. A2 = (PBP ')(PBP X) = PB(P 'P)BP 1 = PBEBP 1 二 PB】P 依此类推，对于任意的正整数kQp时.询(工)=ClnX' + 4|兀+仏)，贝IXA) = Mm+ + aJE = dnPB'P1 +. 4-+ aP1=P(a,.Bl + .+“ + mQP=PJIB)P.24. A1I=PA,P_,J 27312732、-683 -684;25.(1) 27.(2) 160.(3

7、) -29400000.(4) (-fny2aan-i a2a.(5)d“ + (l)T/A(6)(1)”(7)/7+1.J#、(8) (q - V k/2心.(9) atl +(h-x +21 + x.I«2 ai26. 提示:用课本第29页性质1.3(2).27. 的=3,“1 =-, «2 = 2,«3 =-.2 228. 16. 20,0.29. 提示:1411(34f1 一 24*1 = IA(34-2A*I = I-AA一244*1 = I丄E-E33=1-El83327r2955-19、30.52317、262l（）丿31 提示：A4* = AE =

8、> (ArlA)A 二 E 二> (4*)"1 = L4F'A.(A)(/T屮= lA-'lE= lAF'E n (A*1)* = lr'A.32略.53033.00 1/200020、00 (提示:用课本第39页定理1.10）.(000-3 8 丿34.A3-2A2 + 94-F=O=> 4(42 - 24 + 9E) = E.43-Z42 + 94 -E = O=> (A2 + 9E)(4 - IE) = -17E.35 fl) X 1 兀2 = 1 X? 1 $ X4 = 1 小、 S_b a. -b an-bb-a a.

9、-b a -b(2) x =,M = “2-4an -a a2 -ax a3-ax an -a.b-a b-ciyb _ 36 (1)2.(2)3.37. 2 = 5,/= I.38.设二L QA = K其中P为m阶可逆炉阵.Q为$阶可逆炉阵.U. V 均为行阶梯行矩阵.则（P O（A C(1),0 Q)O BcBU PC、O VU PC、0 V> r(U) + r(¥) = r(A) + x(B>.P O、(A OfU O、0 00 B、0匕故B，X39.提示:（充分性）4的筲价标笊形祁是凤：；.（必要性）初等变换不改变 矩阵的秩.习题2（A）一 填空题I (-9. 一

10、4, 7, -4)t.2. 2.3. 5.4.无.5.« = 2b.6.相.7. a H 2.9（0, 1,0,4），（2, a 6 5）, （003,6）.io.（i,o,-i）,（o, 1,-1）.（i±：本题答案不唯一） ll（o. 1.-1）（注：本题答棠不唯一）1/311/3丿1rr1r r15.-32-il-i丿123)(注:木题答案不唯一）4. C. 5. D.9B.10D.16.« = I ? b = 0, c = 0 二.选样题I.C.2. D.3.A.6.B.7D8. A.习题2(B)1. (1) r(a , a-a_J = 2 v 3,可见a

11、2.是线性相关的.(2) r(a, a, a3) = 2 < 3,可见如g, a是线性相关的.(3) r(ar , a2, a)- 3,可见a, a2,的是线性无关的.(4) r(a, «2,= 2 < 3,叫见偽,a?.他是线性相关的.2-(I=T3.Z0HX1/3.4.a := 2,/?=3.5.略.'001)r 100n6.提不：（尸1,屍屈，冈）= (ah 如 4,攵)1 0110100,而r10110100<4.、0011丿<0011ri1 r11 、7.提示:，仇，爲）= («b G,as)01 1,且01 1可逆.0 I0 I_

12、 （a 0 b>8. ,02用线性无关OdHb.提示:（0|,怪,届）=（01,如a） b a 0 0 b a j9. I咯.10. （方法一）对、使用数学归纳法.参见习题2（C）的第6题.（方法二）因为向呈组6, G,.，心线性柑关，所以存在一组不仝为零的 数仏,血，,人使得也 + k2az +低偽=0.设，.&冲最后一个不为零的数是松则ka + km + + kj-af- + k ta, = 0.由此口J 得6=-丄6-学a, -a-.11（方法一）因为对于矩阵A =（如02,，偽）来说,它的每个IF零子式所占 的列向量构成的向最组的秩就等丁这个：1卜零于式的阶数，也就是这个

13、菲零子式所占的列向量的个数.因此，A的每个菲零 子式所斤的列向最构成的向量组都是线性无关的.反之,若 a, a，a的某个线性无关的部分组屮含右f个向呆，则这个 部分组的秩就是人因而这/列屮必然存在 个/阶的非零了式. 丁是r（aiT 02,.» a）=r<=> A中存在j阶的非零子式,但任意 高升阶的子式都为零o如如，a小存在厂个线性无关的 向昴，但任点多升个向竝的部分组祁是线性相关的.（方法二）（=>）若r（ai a?as）=几则A = （a. a?偽）中存在rP介的扉零子式，（口任意高升阶的干式都为零.因此那个r阶 的非零子式所占的r列就构成了a, a?珞的-个

14、线性无关的部分组.假若a, G,，企还冇/个向虽的部分组都是线 性无关的，其屮f > r.那么这个部分组屮必然有一个f阶的非 零子式,而这个阶的非零了式同时也是4的/阶的非零子式. 但这与Kai,如，a、j = r（< r）矛盾.因此a,a中任意多干7个向帚的部分绢都杲线性相关的.（U）因为a, s,a川存在/个线性无关的向最，这厂个 列向最所在的列屮必然存在一个尸阶的零子式.J是r（a. as,aj = r. 假若4 = （«i,如.»偽沖还冇一个f阶的非 零子式,其屮f >厂，那么这个粉的非零子式所占的r个列向量 的部分组祁是线性无关的.但任意乡丁/个

15、向呆的部分组都是 线性相关的,矛盾! 0JIL4 = a, ai a）屮任意高丁用介的 于式都为零.综合和可知（a,处，a）二匕12. 略.13.略.14(二>)设k a + kifxi +人a、= 0,帀=/回 十bs十十则 i-(k + l)a + 伙 2 +12)02 + 十伙 s + /$)a 由丁刀由向量组，,a线性农示的方式足唯的，所以 A1 +/ = ?1,人2十/? = /2,，心十人=厶由此可得=kz = . =k5 = 0.故a】,竝,%线性无关.(<=)设q=Jiai+厶金2 + + 厶a 二Kia+ &2他十 + k$a、则 (上一 l)a + (&

16、amp;2 Ii)(Xi + . +(Aj-ls)a5 = 0.由于a, s., a、是线性无关的，故RI = &2 ?2 =匕一厶=0.即 可见帀由向最组6,如，2线性表示的方式是唯一的.15.提示:r（A+） r（A） + r（），其i|l4 = （a,如，）丿= （,圧，.,0）. 16见本章典型例题赏析中的例3.儿;u.()a-1的极大无关组f aZ 、 a若"=1,则 r(A) = r(B) = 1,此时1就是向量组1若a工1.则r（A） = MB） = 3此时向量组1 U 就是它木身；1I 的一个极大无关组.-2、3 =C.由此可得 r(4) = r(C) = 2

17、, 1L 0丿Z 、 a5a就是向量组1丿1K丿1的一个极大无关组.18. (1)不构成应的子空间.(2)构成R'的子空间不构成应的子空间.19. (1) a= (6, 3, 2)是 V 的一组菇,di mV = 1.(2) a=(2, 1,0几戸=(-3, 0, 1卩是U的一组基,dimV =2.(3) 6, 6是”的一组基,dimV =2.(4) ct,偽是"的一组基,dimV = 2.20. 见本章典型例题赏析屮的例5.21.0 =(1,0. 2)血=(0, 1,3)T是"的一组基a在这组基下的坐标为(1, 1)T.22. (1)证明略.(2) 令A = (&

18、#171;i，4),从d Q到偽，J心的过渡矩阵就是A.(-3/21/2 3/2、(3) 从ah a：, a?到的过渡矩阵就是4 " =10-11/2 -1/2 1/2 丿1 0 I1 ()25.提示:23.恒成立,1)0()丿设a= (ai.a厶,c切)丁丿=(i,晁，九)T因为£ a;十2 儿 £-0 十 z2 £ 勺 =£ (耳十 Ab,)2>0 /-I/-I所以A = (2X)2-4£fl/2 £厅".i«l(»1/!24.1/3 4/3、4/3 1/3,°(1、rj =

19、2在釦81. 6卜的坐标就是234丿;在0 4, ©卜的坐标为f 42二-2(3丿1 /4-14!191V613，T1-1J，T26.(1)%，几是一些形如EQJ)的初等矩阵.30. 提示：= (E - 2aay)'E - 2aay) = (E- 2oa')(E - 2aal) = E31. 略.32 略.33. 提示:IE+AI = Li1A +AI = IAT + EIIAI = -L47 + El= -IE + AL34. 捉示：fli fii - (Aa)(Aa2)= a A r)(Aar2) = aTAlA)a ajar.习题3(A)一. 填空题1. (-2

20、, 1,0).2. (b-小(c-a)(c-b) = 0.3. w-1.4.(1, 1,1)T.5. A= 1.6. abc 0.7. “ = R(0,2, 4,6)丁+(1, 1, 1, 1)丁 伙为任意数).8. n.二. 选择题1. D.2. C.3. C.4.C.5. C.6D.7. D.8B.9.B.1(). C习题3(B)3. (1)基础解系：£ = (-3/2, 1,0,0)= (1/2,0, 1, Of,事=(5/2, 0, 0. 1)T.(2) 基础解系：= (7,-11, l,0)T，G = f 10,0, 1)T.(3) 基础解系：彳=(一2, 1,1,0, 0

21、)T, $ = (-1,-3,0,1,0)T,旨=(2, 1,0. 0, 1)T.(4) 没有基础解系.4. (1) >lU= 0或-1时，原方稈纟冃右非零解.2以=0 时，垄础斛系：§=(2,2,1, 1)T.当兄=-1时,基础解系:Q(0,-1,0, 1)(2)当« = 0H'J ,基础解系：勾=(-1, 1, 0.» 0) 6 = (-1,0,1, .,0)T,£_i = (-1, 0, 0,if. 当“二-呼时，菇础解系:“(上严，半，牛,_|).5见木章第3鼻話Jij 7.6. 见本章第3节的例&7. 见本章第3节的例9.

22、&见本章第3节的例1().(3)无解.9. 见本章第3节的例11./ 、'-65/3、3)14/311C1/3"F-2 1 ><0 J其屮c为任意数.2'-3/2、(1/2、10.(1)兀2=Ci1+ C20+0,其中5"为任意数g丿1 ° J110< /5/8、=0A yX'-9/5)0()6/5=51+ 50+0711丿1 0其屮°,6为任意常数.11. (1)当亦,c互不相筹时，该方程组有唯一解；半且(c - b)(c - a) = (d - b)(d-«) = 0时，该方程组冇无穷多解;

23、 当a = b时， 若d=c,则该方程组有无穷多解； 若"c,则该方程组无解.(2)当 “ =1 时， 若b工1且c工1,则该方程组有唯一解; 若"1或e=l,则该方程组右无穷多解.当心1时, 若2_(4 + + c) + «bcH0，则该力程纽.冇唯一解； 若2-(d + b + c) + “bc = 0且b=l,则该方程组有无穷多解; 若2 - (“ + + c) +么加=0且b工1,则该方程组无解.(3)当"2时,该方程组有唯一解;当；1 = 2且“二-1时,该方程组有无穷多解; 当店2而“工-1时，该方程组无解.12. 当且”-2时，该方程组右唯

24、一解;”i八1时，该方程组有无穷多 解;当心-2时,该方程组无解.当八 1 时,x = C(-l, 1,0)t + c2(-1,0, 1)t + (1,0,0)t,其屮5 C2为任意 数.13. A = -2.x = c(l, 1,0)' +(1,0. 0)',其中 e 为任意数.14. 见本章第3节的例4.15. (1) Mu/# -4时戸能用6, a2,偽唯一地线性表示.(2) 卅 =-4但乃工2 +刊、|,0不能用a , a：、G线性表示.(3) 洱“ =-4 K/7 = 2 + c时，用E用a, a： ©红性表示，但表示方法不唯一.此时P= ca - (2cM

25、'lk*为任意数.16. aH ©是a?i, a：.8心的一个极大无关组，且a2 = 2«i, «| = 一a + a5 = 2a -ay.17. (l)a = 0, b = -l,c = 1.(2) a, a?是a, a2t a的一个极大无关绢.逸；;)1X.(1)A的第1.2.4行构盛4的行空间的一组基M的行空间的纟隹数为3. (2)A的第1,2,3列构成4的列空间的一组基，人的列空间的维数为3 19见本章第3节的例13.20与上一题类似.21 见本章第3节的例14.22.见本章第3节的例12.习题4(A)一.填空题f 0 0、1. ()10.2. 2

26、=刃,乂2 =石二=儿=0.3. (1,3).(0 0 1 丿4. 2.5才22 十 |6.A + 3E的特征侑是 4. 2. 5: IA + 3EI = 40.7. 24.8.0.一选择题I.A.2. B.6. B.7. D.3. B. 4.D.5. A.8. B. 9. B. 10. B.习题4(B)p。丫 m, oyp o o Q) o A：(o Q1. 提示:AAB)A=(A'A)BA=BA.2. 提示：役P A1P = B1，e 兔20 = ,.验口3. 提示:(厂久卩)(卩 力P)= P 'AlPP)BP = P ABP = P'BAP.4. 提示：iA2

27、= A.P AP=B.则2 = (P l4PK P AP)=.5. 提示:E(iJ)-'AE(iJ) = E(iJ)AE(iJ) = B.6. (1)对应TA = 2的全部特征向量为:R(1,1)T,其屮“0；对应于2 = 4的全部特征向量为其屮2 0.；(2) 对应于1= 1的全部特征向量为1)T,其屮“0; 对应丁几二2的全部特征向量为:A (0,0, 1)T H屮"U.(3) 对应TZ= 0的全部特征向最为其中“0; 对应于2 = -1的全部特征向呈为:A(-1,1,0)t,其屮“0; 对hVT2 = 9的全部特征向量为:&(1/2, 1/2, 1)其屮&quo

28、t;0.(4) 对应于;I二I的全部特征向量为：侑(0丄1,0；丁 +血(l,0,0,l)T,其中灯血 不全为0;对应T2 = -l的全部特征向量为:A|(0-l,1.0)T+fc2(-l,0,0,l)T,其中 血不仝为0.(5) 对hV：TZ= 1的金部特征向呆为：岛(一2l()Jk2(Ol)TH?l询&不 金为0.对应于儿二10的全部特征向量为其中"0.(6) 对应于久=-1的全部特征向量为:上1，其屮“0；(1丿对应T-A = 0的仝部特征向量为:其屮“0；对应于2= 1的全部特征向量为:2(1, 1, I)1,其中"0 对川于2 =-6的全部特征向掃:为：k

29、(-l/2,-l)T,其屮2().对应于;I = 3的全部特征向量为:広(一2,0)T + fe(0,l,l)T,其屮也怎不全为0.(8)对应T2 = na的全部特征向就为:A(l,l,., 1)T,其中"0. 对应于2 = 0的全部特征向疑为：&l(-l,l,0,0)T + p2(-l,0,l,0)T+.+H0，,0,l)T, 其屮灯,炫,化不全为0.7. 提示:由C 0 以及(才一3久+2)§= = (A2-3A+2E)= OQ 0 得才一3店2 = 0.则4满足&2-3A十2E = O,但2不是*的特征佰.WJA/£A2-3A4-2£

30、; = O, (B 1 不是A的特征值.8. 1,3,-1 是 A 的全部特征值.提示:IE-AI = I3E-AI = IE+AI = O.9. a = 1,4 = 3.10. (l)-2, &-4(2)64. (3)-72.11.提示=L4*+3A+2EI = I6PA "+3PA/+2PEP *1 = I-6A 1 +3A + Ml = 25.12. Tx3x5x.x(2" - 3)= 一【一 3)!.14. (I)凡)为/V的一个特征值，对应的一个特征向芹为儿|为A的一个特征俏，对应的一个特征向量为纟仏为P AP的一个特征值，对应的一个特征向量为卩蔦.15.

31、 (1)处为屮的一个蒔征値,x2 + 2/1+3为A2 + 2A +3E的一个特征值.(2)厂为4一】的一个特征值；沪为A*的一个特征值；1为E -A-'m-个特征值.16. (1)提示:设话 则由(才_1)§=世 _§= U 得 22-1 =0.(2)提示:(-l)"IE+AI = l(-l)E-AI*0.4 - £ = (4 + E)(A - E)(A -E) 1 = O(A - E)'1 = O.17. 假若人洁+A痔是X的特征向量，对应的特征值为入kZ +届笔=久(右$1 十层氏)二/4%$=+ A?42=Q话+心遥：由此可得&a

32、mp;1(几儿)6 +人2(儿几2)§2 = 0.(口是鼻冬为炉阵4的愿Z、冋待征值九弘的特征向钛它们必然是线 性无关的,所UUi(X- Ai) = k2(2-12)= 0.又因为也"，所以久-2产2 -山=0,从而4|=4=22,这与“九几2是 不同的特征值”矛盾!1/30 (Tf- 0 0>18.(1)P =2/3 5/2 0,PAP=0-3 0< 1 1 1丿(0 0 2丿(2)A的特征伯为入=1弘=几3 = 34貝有2个线性无关的特征冋量.<1 = (-1,-1/3, l)r; = (-1,-1,1)T所以人不可以相似对角化.19. "(

33、： ,P'lAP = A=(； ； ,A=PAP-心冷化；囂.=, = 0,即A = O.因而A=PAF二POP=O.20. F=C ：),PW = A=G即心屮+灯+叫盂謝.1 1 1 >V 0 0、2LP二0 1/2 -2,则p Up"二()5 0,A =PAP l,3】1丿()0 -5丿10 5叫 1、4100 = (PA/* _1)1U，J = 0 5,0°0J)05100 ,22.设A为阶幕零矩阵.屮=。加M为一个正整数.假若 /= A =鼻00、,则000人”0 0、0舟. 0= (PAP l)k = PAkP<00 = P()P l=O.山

34、此可得兄1 =几2 =23. (1) x = -1, « = -3, b = 0(2) l/i£-AI = (A+ I) A的特征值为：Z)= =1,A3 = 2.A只有2个线性无关的特征向量所 以4不与对角矩阵相似.26. (1) = 0,y = - 2.假若4能柑似对角化，则A右三个线性无关的特 征向量5 = -1对应，因而(肚-4圧=()的基础解系屮应该含冇三个线性无关的解向気故3-侶-4) = 3宙此可得r(z£-A) = 0.即肱了一3 1A = O (fl事实上AE-A = -5 2 k I ()-2一3HO此牙盾衣明A不能相似对角f0 1 12 0

35、0、24.今P =1 1 1 . A =0-2 0JI oj、0 0 1J化.则P354A = PKP-3、 -3 .一2:0 0 -1、(2)P= -2 I 01 1 1；-1 0 0、PAP= () 2 00 0-2,(227. (1)。=0VIk 2'-1 ()()'0-10.008X/J262“3J26(2)0 =(3)0 二4414 -43g_o V22OV22loo、 丿 2-3 丄3 2-3 返 62V23 46 -40 40 5 0o 0-2o u-4r1 0 0、f2 0 0、25.(1心()1 1/2,PlAP =0 3 0J o 1丿()0 1丿1/2 0

36、 1、(2 0 0)(2)0 =1 -1 0,灿r血二0 2 0ill,.0 0 -1X/2 ¥ -打200、(4)0 =豆 _JL -1263 QQ =0 2 04242l 20J 丿0 0 -1 i29.跖3 =(X|, X2,是对应干乂3的特征向量，与01,卩2正交，可取小=(10 0、(2.-2, 1)1 令P = (pi, P2, P3), P'AP = A= 0-10.l() 0 ()丿r-i o 打A = PAP 1 = 0 * * .30. 设a. = (ai, A2, a)1 It对丿'V丁T的特征向帚则a山a】，必正交.可取ay fl 0 0、(一

37、1, l,0)T令卩=(a,如 6),!<ijPrlAP = A= 0 1 0 屮 0 一1,( 2 -1、2S. a = b = 0. Q =0100、 0LA = PAP = I 21习题5(A)<1 1 2(yaa22.1 1 13.(l2 a2U,2 1 3；“S a丿7.2.一 填空题1 心,X2, Xj) = X12 + X2 + 2X3 - 2X1X2 + 4心3 + 2X2X3.4. 2.5.2, 1.孑a226yi +力一旳一.选择题I.D. 2.B.3.A.4. D.5. B.6. B.习题5(B)(dx 3.提示：验算(E(1)E(1J2).E(1MJ)E(l

38、,i|)E(l,/2).E(l,U.ri 2 n'1 -1 -2、V 3 5'1.(1)2 4 2 (2)-11-2.3 5 7J 2 u1-2 -2 -7y5 7 9丿1-1-120 -100(P0(4)0-1200 ()0o2-1000-114. E(ij(k)AE(j. f(A) = B.5. 提示:(1)两个冋阶矩阵A与等价的充分必要条件是r(A) = r(/T);(2) 若两个同阶矩阵A与相似,则r(A) = r()HlAI = ll/l:(3) 若两个同阶对称炉阵A与合同，则r(A) = r(B) H.A与的正惯杵 指数相等.<-2/3 -1/36. (1)0

39、 二-2/3 -2/32/3-1/3 , x = QyJ= 5yi2 + 3y2 + y-2/3(2)(2 =1/V21/J20-1/V21/V2-1/V2/y/200UO=aa/巧，x =+力 f-yf.l/Qf 1/V20)0= '半001/V21/V2-1/2 1/21/2 -1/2-1/2 -1/21/2 1/2 )> x = QyJ=yi2 + y2 +- 3yJ1/32/3I227(1) O2 = y2 + y3, 皿“2山3)二广一力二h =儿，fXx =h +?2 _Z3X2-Z1Z2 Z3, f(xi,心，X3)= Zl2 - 7.2 - Z3,X、=儿，&am

40、p;捉示：参考本15 4.3节的例2.9. P =1/、伍 i/vr-1/V2 l/V2?0 、-1"1/V2 ?，010.4 = 2. Q 二 1/V2、1/GZ2/>/60-1/VT、 x/ /11. (1)0 =1/V6 -1/V2 1/V3y=0V1/V6 l>/21/3l丿w丿,f = 4w2 + 2v2 + w2.(2)量大值为4,量小值为1.lEm 一 Ml 二AEk -A O0入E厂B12.设4, 的阶数分别为R, l,A, B的特征值分别为九，几;"，,禺 记M=気，则M的阶数为刖= & + /.=（2 &i）.（2 儿）（2

41、/|）.（2 /；）,可也W的特征（ft为2】，,皿, 卜面我们用五种方法来证明该命题.（方法一）用定义.都是正定矩旳=对于任意非零的A维列向量X和妙列向屋K有 xvax o, y'Byo=对丁任意井零的点维列向肚Z =）（川1%y的维数分别为匕0.XrAX±YTBY>0zrA/z =（xT. rT）（K是正定矩阵.（方法二）用特征伯.祁是正定矩阵n人的特征值九以及的特征值妙，,“都大于零 二“二7的特征値凡'九、Z都大于零nM是正定矩阵.（方法三）用标准形.久祁是正定矩阵n存在可逆矩阵P,（?使得PTAP = Ek,QTHQ = El n存在可逆矩阵$）,使得

42、nM是正定矩阵.（方法四）用分解.久祁是正定里阵=存在可逆矩阵P, Q使得& = Pg B = QVQ n存在可逆矩阵$），使得nM是正定矩阵.（方法五）用顺序主子式.儿都是正定矩阵二久的外阶噸序主了式部大丁零= M = G 刖的各阶顺序主了式都大丁零（事实上，设4是M的祁介顺序主于式，则 R时，4也是A的£阶 顺序主子式,因而大丁零;当5时.4二 m,其中是的 s-kt顺席主子式，由于IAI和4"都大于零，故4大于零）=>M是正定矩阵.13. 提示：考虑特征侑.14. 提示:若心）=则对于任意的"维非零列向量§,都有工0,因而 （AtA）

43、= 3§）T（A§）= IIAI> 0.15. （必要性）因为M是实对称矩阵，所以存在正交矩阵0使得QrAQ = Q lAQ = h = diag九 A2，,4|, 其中"为A的阶数,九12,儿为A的特征值. 因 iU = QQl = QAQ'1. 若A是止定的，则九几2，九全是止数.于是令Q = diag（阿，施.,网,G = OC1OV = QQQ *,则Gji正定的，而11gtg=（oq0）t（qm）=（e）g© i（en（f）=«JQOT）（CnfiT） = Qd Ot（）QOt = QQDJf=f；Q2Qr = （） A

44、QT"g2 = （enc1 xoni?1）= oqio'ow' = eooe1=QAQV = A （充分性）由丁正定阵的行列式大丁 0,故正定阵一定是可逆的. 若存在正定阵G使4二Qg则A杲正定的.16. 提示：设2为A的一个特征低 即存在#零的句冷&史得A" 時丁 最（卫-422 + 5A- 2）J= （A3 - 4A2 + 54 - 2E）= 0=0.山此可得屮-422 + 5A - 2 = 0,即（4 一 1）2（2 - 2） = 0,故2 = 1 或 2.17. （法一）设乂为A的一个特征值，即存在非零的向星占吏得鸩二箱.因为A是正定矩阵，所以A>0.乂因为4是正交矩阵，即AtA = E,所以二 AtA）=二勾=才孑6其中£§>（）.【II此可得Z2= L 而/!>（）, itt2= I.这就長