2009中考数学辅导之—圆

1、.2009中考数学辅导之圆本次我们一起来复习几何的最后一章圆.该章是中考中考查知识点最多的一章之一.本章包含的知识的变化、所含定义、定理是其它章节中所不能比的.本章分为四大节:1.圆的有关性质;2.直线和圆的位置关系;3.圆和圆的位置关系;4.正多边形和圆.一、基本知识和需说明的问题: (一)圆的有关性质,本节中最重要的定理有4个. 1.垂径定理:本定理和它的三个推论说明: 在(1)垂直于弦（不是直径的弦）;(2)平分弦;(3)平分弦所对的弧;(4)过圆心(是半径或是直径)这四个语句中,满足两个就可得到其它两个的结论.如垂直于弦（不是直径的弦）的直径,平分弦且平分弦所对的两条弧。条件是垂直于弦

2、（不是直径的弦）的直径，结论是平分弦、平分弧。再如弦的垂直平分线,经过圆心且平分弦所对的弧。条件是垂直弦,、分弦,结论是过圆心、平分弦.应用:在圆中,弦的一半、半径、弦心距组成一个直角三角形,利用勾股定理解直角三角形的知识,可计算弦长、半径、弦心距和弓形的高.2.圆心角、弧、弦、弦心距四者之间的关系定理：在同圆和等圆中, 圆心角、弧、弦、弦心距这四组量中有一组量相等,则其它各组量均相等.这个定理证弧相等、弦相等、圆心角相等、弦心距相等是经常用的.3.圆周角定理：此定理在证题中不大用,但它的推论,即弧相等所对的圆周角相等；在同圆或等圆中,圆周角相等,弧相等.直径所对的圆周角是直角,90°

3、;的圆周角所对的弦是直径,都是很重要的.条件中若有直径,通常添加辅助线形成直角.4.圆内接四边形的性质:略. (二)直线和圆的位置关系 1.性质:圆的切线垂直于经过切点的半径.(有了切线,将切点与圆心连结,则半径与切线垂直,所以连结圆心和切点,这条辅助线是常用的.)2.切线的判定有两种方法.若直线与圆有公共点,连圆心和公共点成半径,证明半径与直线垂直即可.若直线和圆公共点不确定,过圆心做直线的垂线,证明它是半径(利用定义证)。根据不同的条件,选择不同的添加辅助线的方法是极重要的.3.三角形的内切圆:内心是内切圆圆心,具有的性质是:到三角形的三边距离相等,还要注意说某点是三角形的内心.连结三角形

4、的顶点和内心,即是角平分线.4.切线长定理:自圆外一点引圆的切线，则切线和半径、圆心到该点的连线组成直角三角形,还要注意, A图形中有射影定理的基本图形. O D P B5.弦切角是与圆有关的第三种角,当条件是切线时,往往找弦切角,看弦切角所对的弧,再找弧所对的圆周角得两角相等.6.和圆有关的比例线段：理解定理,会用. (三)圆和圆的位置关系 1.记住5种位置关系的圆心距d与两圆半径之间的相等或不等关系.会利用d与R,r之间的关系确定两圆的位置关系,会利用d,R,r之间的关系确定两圆的位置关系.2.相交两圆,添加公共弦,通过公式弦将两圆连结起来. 相切两圆,添加公切线,利用两圆的公切线将两圆连

5、结起来.3.公切线的长的计算 A B L O1 O2 R-r d外公切线：两圆半径差R-r,公切线的长L分别是Rt的两直角边，圆心距d是斜边.内公切线： R+r l d两圆半径和R+r,内公切线L和圆心距d构成直角三角形.可围绕这个三角形的三边进行计算.(四)正多边形和圆 注意:公式的应用 1.已知R,求边长,求边心距若已知边长,求边心距,可先利用求出半径,再利用,求边心距.如已知正三角形的边长是,求边心距.解: 2.同圆的内接正n边形和外切正n边形的边长、半径、边心距、周长之比是cos.如同圆内接正六边形和外切正六边形的面积之比是.3.弧长公式扇形面积公式要求熟练应用公式,如怎样利用圆心角、

6、半径求弧长或扇形面积,怎样利用弧长和圆心角求半径.二、本次练习:(一)填空题:1. 已知OC是半径,AB是弦,ABOC于E,CE=1,AB=10,则OC=_.2. AB是弦,OA=20cm,AOB=120°,则SAOB=_.3. 在O中,弦AB,CD互相垂直于E,AE=2,EB=6,ED=3,EC=4,则O的直径是_.4. 在O中弦AB,CD互相平行,AB=24cm,CD=10cm,且AB与CD之间的距离是17cm,则O的半径是_cm.5. 圆的半径是6cm,弦AB=6cm,则劣弧AB的中点到弦AB的中点的距离是_cm.6. 在O中,半径长为5cm,ABCD,AB=6,CD=8,则A

7、B,CD之间的距离是_cm.7. 圆内接四边形ABCD中,A:B:C=2:3:6,则四边形的最大角是_度.8. 在直径为12cm的圆中,两条直径AB,CD互相垂直,弦CE交AB于F,若CF=8cm,则AF的长是_cm.9. 已知PA切O于点A,PA=4cm,PCD是割线,PC=CD,若CD垂直平分半径OF,则O的半径OF=_. D F O C P A 10.已知CD切O于D,割线CBA交O于B,A,且CBA过O点,切线BE交CD于E点,若DE:EC=1:2,则AC:CD=_. E D C B O A 11.已知:AB是O的直径,P是AB延长线上一点,PC切O于C,CDAB于D,PB=4,AB=

8、12,sinAPC=,则CD=_. 12.已知PA,PB分别切O于A,B两点,AC是O的直径,PC交O于D点,APB=60°AB=cm,则AC=_cm,PD=_cm. 13.两圆半径分别是4,12,外公切线长是15,两圆的位置关系是_. 14.两圆相交于A,B,外公切线与两圆切于C,D,则CAD+CBD=_度. 15.两圆半径分别是R,r,(R>r)内公切线互相垂直,则内公切线长是_,圆心距是_. 16.两圆半径长是方程的两根,圆心距是2,则两圆的位置关系是_. 17.如图:PT切O于T,PAB是过圆心O的割线,如果PT=4,PA=2,则cosBPT等于_. O B A P T

9、 18.已知CD是半圆的直径,ABCD于B,设AOB=,则的值是_. A C O B D 19.正三角形的边长是,则内切圆与外接圆组成的环形面积是_. 20.在RtABC中,C=90°,O是ABC的内切圆,切点是D,E,F.AD交BC交于G,若AC=3,CG=1,则O的半径是_. C D E G O A F B 21.已知扇形的圆心角是120°,扇形弧长是20,则扇形=_. 22.边长是的正三角形的边心距是_. 23.已知正六边形的半径是6,则该正六边形的面积是_.(二)证明题:1. 已知AB是O的直径,AC是弦,直线CE切O于C,ADCE,垂足是D,求证:AC平分BAD.

10、 B O A E C D2. 已知AB是O的直径,P是O外一点,PCAB于C,交O于D,PA交O于E,BE交PC于F点 求证:CD2=CF·CP P E D F A O C B 3. 在ABC中,AB=AC,以AB为直径做O,交BC于D,过D点做O的切线交AC于E,连结BE交O于F求证: (1)OEAC; (2)AE·EC=BE·EF A O F E B D C4. 已知PA是ABC外接圆珠笔的切线,P是BC延长线上一点,求证:PB:PC=AB2:AC2. A P C B5. 已知AB是大圆直径,CE切O于C,BC是小圆直径求证:(1)DEAC; (2)DE

11、83;AC=2CD2; C (3)DE=36,cosCDE= O E 求O的半径. A O D B6. 已知O1和O2外切于点P,BH切O2于B,C求证:(1)BCPHAP H (2)若AP:PB=3:2,且C为 B HB中点,求HA:BC的值. O1 O2 A7. 如图: O和O1,内切于P,PA,PB交 P O1于A,B,AB切O于D,AD交O1 1 2 于E,AG切O1于A,AG,AD的延长线交于G, M O N 证明:(1)1=2; O1 D B (2)PA·PB=PD·PE; A (3)PA·PB=PD2+AD·BD; E (4)AB=2AH;

12、 H (5). G8. 如图:AB是O的直径,PB切O B 于B,PA交O于C,APB的平分 线分别交BC,AB于点D,E.交O 于点F,A=60°且线段AE,BD 的长 F E D P 是方程 C求证:(1)PA·BD=PB·AE; A (2)O的直径长为常数; (3)的值.三、本期答案(一)填空题: 1.13 2. 3. 4.13cm 5. 6.1或7cm 7.135° 8. 9. 10. 11. 12. 13.外离 14.180° 15.R+r,(R+r) 16.内切 17. 18.1 19. 20. 21. 22.1 23.54(二)证明题: 1.略 2.连结AB,BD,由射影定理得CD2=AC·CB,再证BCFAPC. 3.(1)连结OD,则ODDE,OBD是等腰三角形,OBD=ODB=C,ODAC,ODAC. (2)由切割线定理得ED2=BE·EF,连结AD,由射影定理得DE2=AE·EC,AE·EC=BE·EF. 4.ACPBAP 5.(1)ACB和CDB都Rt CAD=BCD=EDB DEAC(2)ACDCDF . 6.(1)略 (2)设BP=,AP=,由割线定理得: BH=2BC2BC2= .由ABHAHP