第六章-多元函数微积分6.8在直角坐标系下二重积分的计算

1、第六章第六章- -多元函数微积分多元函数微积分6.86.8在直角在直角坐标系下二重积分的计算坐标系下二重积分的计算一、一、 利用直角坐标计算二重积分利用直角坐标计算二重积分例例6.8.2例例6.8.3例例6.6.4二、二、 交换二次积分次序的步骤交换二次积分次序的步骤四、四、 内容小结内容小结 作业作业 习题答案习题答案例例6.8.1例例6.6.5三、三、 利用对称性和奇偶性化简二重积分利用对称性和奇偶性化简二重积分本节内容本节内容:例例6.6.6例例6.6.7例例6.6.8的计算的计算上一页上一页 下一页下一页 目目 录录1. x型区域型区域 与与 y 型区域型区域x型区域：穿过D内部且垂直

2、于x轴的直线与D的边界的交点不多于两个.xoyDy=2(x)y=1(x)axb一、一、 利用直角坐标计算二重积分利用直角坐标计算二重积分bxaxyxD)()(:21D表表示示为为：Dba)(2xy )(1xy 上一页上一页 下一页下一页 目目 录录y型区域型区域xoycdDx=2(y)x=1(y)ydycyxyD)()(:21cd)(2yx )(1yx D上一页上一页 下一页下一页 目目 录录yyxfxxxbad),(d)()(21xbad 设曲顶柱的底为bxaxyxyxD)()(),(21任取, ,0bax 平面0 xx 故曲顶柱体体积为DyxfVd),(yyxfxAxxd),()()()(

3、000201截面积为yyxfxxd),()()(21baxxAd )(截柱体的)(2xy)(1xy0 x),(yxfz zxyabDO记作记作 2.2.计算公式的推导计算公式的推导( (形式推导形式推导) )上一页上一页 下一页下一页 目目 录录ydcd dycyxyyxD),()(),(21同样, 曲顶柱的底为则其体积可按如下两次积分计算DyxfVd),(xyxfyyd),()()(21xyxfyyd),()()(21dcydOydcx)(2yx)(1yxy记作记作 上一页上一页 下一页下一页 目目 录录Oy)(1yx)(2yxxdc且在D上连续时, 0),(yxf当被积函数bxaxyxD)

4、()(:21Dyxyxfdd),(yyxfxxd),()()(21baxd由上面推导可知, （1）若）若D为为 X - 型区域型区域 则O)(1xy)(2xyxbyDax（2）若）若D为为Y - 型区域型区域dycyxyD)()(:21yxyxfyyd),()()(21dcydDyxyxfdd),(则结论：结论：上一页上一页 下一页下一页 目目 录录当被积函数),(yxf2),(),(),(yxfyxfyxf2),(),(yxfyxf),(1yxf),(2yxf均非负均非负DDyxyxfyxyxfdd),(dd),(1在D上变号变号时,因此上面讨论的累次积分法仍然有效 .由于Dyxyxfdd)

5、,(2注注：（1）二重积分的计算公式中）二重积分的计算公式中f (x, y) 为任意符号为任意符号.上一页上一页 下一页下一页 目目 录录型区域型区域又是又是型区域型区域既是既是yxD xyODcdabxyO型区域型区域又不是又不是型区域型区域既不是既不是yxD问题：积分区域为以下情况怎样计算？问题：积分区域为以下情况怎样计算？上一页上一页 下一页下一页 目目 录录xyOxyDO(2) (2) 若积分区域既是若积分区域既是 X - X - 型区域又是型区域又是Y Y - - 型区域型区域 , , Dyxyxfdd),(为计算方便为计算方便,可选择积分序可选择积分序, 必要时还可以交换积分序必要

6、时还可以交换积分序.)(2xyba)(1yx)(2yxdc则有x)(1xyyyyxfxxd),()()(21baxdxyxfyyd),()()(21dcyd(3) 若积分域较复杂若积分域较复杂,可将它分成若干可将它分成若干2D1D3DX - 型域或型域或Y - 型域型域 , 321DDDD则 上一页上一页 下一页下一页 目目 录录例例6.8.1计算二重积分计算二重积分 D因为因为 ,dxdyeDyx解解 所围成的矩形所围成的矩形. . 是由是由 其中区域其中区域 D0,x 1,x 0,y 1y所以所以 是矩形区域，且是矩形区域，且 ,yxyxeee1100 x yxyDedxdye dxe d

7、y11200(1) .xyeee上一页上一页 下一页下一页 目目 录录121221d y例例6.8.2 计算,dDyxI其中D 是直线 y1, x2, yx 所围的闭区域. 解法解法1. 将D看作X - 型区域, 则:DI21d xyyx d21d x2121321dxxx891221xyx解法解法2. 将D看作Y - 型区域, 则:DIxyx d21d yyyx222121321d2yyy891xy2xy 121 x2 xy21 yxy xyxyO及上一页上一页 下一页下一页 目目 录录例例6.8.3 计算,dDyx其中D 是抛物线2yx 所围成的闭区域. 解解: 方法一方法一, 先对 y后

8、对 x 积分,:Ddxyy Dyxd21dx 2222121dxxxyx 22511 (2) d2x xxx 84522xyx12x 2x2x 2yx及直线则 上一页上一页 下一页下一页 目目 录录方法二方法二, 先对 x 后对y 积分,用Dyxd845则 1y 把区域D分成 两部分 和 1D2D1, 01Dx yyxyy2,2, 14Dx yyxyy14012yyyydyxydxdyxydx上一页上一页 下一页下一页 目目 录录练习：练习：计算,dDyx其中D 是抛物线xy 2所围成的闭区域. 解解: 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分,:Dxyx dDyxd21dy212221d2yy

9、xyy845Dxy22 xy214Oyxy22yxy21y2y2y2 xy及直线则 思考：思考：求上述积分区域D的面积上一页上一页 下一页下一页 目目 录录注：练习题若选择先对y后对x的积分顺序，则必须对D进行划分. , 10| ),(1xyxxyxD,2, 41 | ),(2xyxxyxD则10412xxxxxydydxxydydxDxydxdyI21DDxydxdyxydxdy855用x=1将D分成两个区域D1和D2：上一页上一页 下一页下一页 目目 录录二、二、 交换二次积分次序的步骤交换二次积分次序的步骤110sinyxdydxx例例6.8.4 计算OxyD11x xy 因此取D 为X

10、 - 型域 :0:01yxDx 10sin dx x 1cos0 x 210sindxxxx 说明说明: 有些二次积分为了积分方便, 还需交换积分顺序.解解: 由被积函数可知, 先对 x 积分不行, 110sinyxdydxx100sinxxdxdyx 上一页上一页 下一页下一页 目目 录录例例6.8.5 交换下列积分顺序解解: 积分域由两部分组成:21DDD将:D视为Y - 型区域 , 则2yxy01y xxdyyxfdxdyyxfdxI2021010),(),(1( , ) 01, 0,Dx yxyx2( , )12,02Dx yxyx12120( , )( , )yyDDIf x y d

11、dyf x y dx上一页上一页 下一页下一页 目目 录录例例6.8.6 证明证证:等式左端二次积分的积分限为 积积分分限限可可改改写写为为画出积分区域D的图形()()000( )()( )ayab x ab x adyef x dxax ef x dx其中 均为常数,且 ., a b0a0, 0yaxy0,xa xya所以所以()00( )ayb x adyef x dx()()00( )( )aaaab x ab x axxdxef x dyef xdy dx()0()( ).ab x aax ef x dx上一页上一页 下一页下一页 目目 录录三、三、利用对称性和奇偶性化简二重积分的计算

12、利用对称性和奇偶性化简二重积分的计算1. 如果积分区域如果积分区域D关于关于y轴对称，则轴对称，则(1) 当当 时，有时，有 .),(),(yxfyxf0),(Ddxdyyxf(2) 当当 时，有时，有 .(, )( , )fx yf x y 1),(2),(DDdxdyyxfdxdyyxf2. 如果积分区域如果积分区域D关于关于x轴对称，则轴对称，则(1) 当当 时，有时，有 .0),(Ddxdyyxf(2) 当当 时，有时，有 .),(),(yxfyxf),(),(yxfyxf2( , )2( , )DDf x y dxdyf x y dxdy上一页上一页 下一页下一页 目目 录录例例6.

13、8.7 计算解解 积分域为椭圆，D关于x轴、y轴对称，利用对称性,因因为为积积分分域域关关于于 轴轴对对称称，且且函函数数 关关于于 是是奇奇函函数数其中所以所以,) 1(dxdyxyID. 44:22 yxD.DDdxdyxydxdyIxxxyyxf),(. 0DxydxdyDdxdy.2.2I又又故故上一页上一页 下一页下一页 目目 录录例例6.8.8 计算下列二重积分上一页上一页 下一页下一页 目目 录录1D2D3D上一页上一页 下一页下一页 目目 录录P244 P244 1.1.（2 2） 2.2. 3. 3.（3 3） 4.4.（4 4）（）（5 5）（）（6 6） 5. 6.5.

14、6.（2 2）（）（3 3） 7.7.（1 1） 8.8.（1 1） 9. (1)9. (1) 作业作业上一页上一页 下一页下一页 目目 录录Oy)(1yx)(2yxxdcbxaxyxD)()(:21Dyxyxfdd),(yyxfxxd),()()(21baxd（1）若）若D为为 X - 型区域型区域 则O)(1xy)(2xyxbyDax（2）若）若D为为Y - 型区域型区域dycyxyD)()(:21yxyxfyyd),()()(21dcydDyxyxfdd),(则1. 二重积分化为累次积分的方法二重积分化为累次积分的方法内容小结内容小结直角坐标系情形直角坐标系情形 :上一页上一页 下一页下

15、一页 目目 录录2.计算步骤及注意事项计算步骤及注意事项 画出积分域 选择坐标系 确定积分序 写出积分限 计算要简便域边界应尽量多为坐标线被积函数关于坐标变量易分离积分域分块要少累次积好算为妙图示法不等式( 先积一条线先积一条线, 后扫积分域后扫积分域 )充分利用对称性应用换元公式上一页上一页 下一页下一页 目目 录录:,( ) , .Daxb aybf xa b 其其中中是是矩矩形形区区域域在在上上连连续续1.1.（2 2）( , ),xDx yaxb ayb 采采用用型型区区域域因此因此( ,)d d( ) ( )d dbbaaDf x yx yf x f yyx ( )d( )dbbaa

16、f yyf xx ( )d ( )dbbaaf yy f xx 2( )d baf xx 解解6.8 部分习题答案部分习题答案上一页上一页 下一页下一页 目目 录录上一页上一页 下一页下一页 目目 录录2.2.上一页上一页 下一页下一页 目目 录录4(4)4(4)上一页上一页 下一页下一页 目目 录录4(5)4(5)上一页上一页 下一页下一页 目目 录录4(6)4(6)上一页上一页 下一页下一页 目目 录录xy 1解解积分区域如图积分区域如图上一页上一页 下一页下一页 目目 录录6.6.(1)(1)上一页上一页 下一页下一页 目目 录录6(2)6(2)上一页上一页 下一页下一页 目目 录录xy 222xxy 解解积分区域如图积分区域如图上一页上一页 下一页下一页 目目 录录6.6.(4)(4)上一页上一页 下一页下一页 目目 录录解解只只能能用用 Y Y- -型型. . 210d yyey1(1)2e 2110.yxdxe dy上一页上一页 下一页下一页 目目 录录解解先先改改变变积积分分次次序序.121()dxx eex .2183ee 2xy xy 上一页上一页 下一页下一页 目目 录录8(1)8